Introduction aux matrices : guide pour débutants

Qu’est-ce qu’une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, appelés coefficients, rangés en lignes et en colonnes. Une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes est de taille $m \times n$, ce qui se lit « m par n », et l’on indique toujours les lignes en premier. Le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de la matrice $A$ se note $a_{ij}$. Par exemple :

Une matrice à une seule colonne est un vecteur colonne, et une matrice à une seule ligne est un vecteur ligne. Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes ; ce sont les matrices carrées qui peuvent avoir un déterminant et une inverse. Deux matrices sont égales seulement si elles ont la même taille et si tous leurs coefficients correspondants sont égaux.

Somme de matrices et produit par un scalaire

Les matrices de même taille s’additionnent coefficient par coefficient : le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ de $A + B$ est $a_{ij} + b_{ij}$. La soustraction fonctionne de la même façon. On ne peut pas additionner des matrices de tailles différentes, car il n’existe aucune façon raisonnable d’apparier leurs coefficients.

Multiplier une matrice par un scalaire, c’est-à-dire par un nombre ordinaire, multiplie chaque coefficient par ce nombre. Ces opérations se comportent exactement comme l’arithmétique habituelle : l’addition est commutative et associative, et $k(A + B) = kA + kB$.

Le produit matriciel : ligne par colonne

Le produit de deux matrices ne se fait pas coefficient par coefficient. Chaque coefficient du produit $AB$ est le produit scalaire d’une ligne de $A$ par une colonne de $B$ :

Pour cela, le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$. Si $A$ est de taille $m \times n$ et $B$ de taille $n \times p$, le produit est de taille $m \times p$. Pour le vérifier rapidement, écrivez les tailles côte à côte : les nombres intérieurs doivent coïncider et les nombres extérieurs donnent la taille du résultat. Une matrice $2 \times 3$ multipliée par une matrice $3 \times 4$ donne une matrice $2 \times 4$, mais le produit d’une matrice $2 \times 3$ par une autre matrice $2 \times 3$ n’est pas défini.

L’ordre compte : AB est rarement égal à BA

Si l’on inverse l’ordre dans l’exemple précédent, on obtient $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$, qui est une matrice différente. Le produit matriciel n’est pas commutatif. Avec des matrices non carrées, c’est encore pire : un ordre peut être défini et l’autre non, ou les deux produits peuvent avoir des tailles différentes.

D’autres règles familières restent vraies. Le produit est associatif, $(AB)C = A(BC)$, et distributif par rapport à l’addition, $A(B + C) = AB + AC$. Il faut toutefois retenir deux mises en garde. Le produit de deux matrices non nulles peut être la matrice nulle, et de $AB = AC$ on ne peut pas simplifier par $A$ sauf si $A$ est inversible. C’est pourquoi le calcul matriciel demande un peu plus de soin que le calcul sur les nombres.

En développant des expressions comme $(A + B)^2$, respectez l’ordre : le résultat est $A^2 + AB + BA + B^2$, et non $A^2 + 2AB + B^2$.

La matrice identité et la transposée

La matrice identité $I$ est la matrice carrée qui a des uns sur la diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Elle joue le rôle du nombre 1 en arithmétique : $AI = IA = A$ pour toute matrice carrée $A$ de taille adaptée. La matrice nulle, dont tous les coefficients sont nuls, joue le rôle du 0.

La transposée $A^T$ échange les lignes et les colonnes : le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ de $A^T$ est $a_{ji}$. Une matrice $2 \times 3$ devient une matrice $3 \times 2$. Une règle utile : transposer un produit inverse l’ordre des facteurs.

Une matrice égale à sa propre transposée est dite symétrique. Les matrices symétriques apparaissent sans cesse en statistique et en physique, et leurs valeurs propres se comportent particulièrement bien : elles sont toujours réelles.

Matrices et systèmes d’équations

L’un des usages les plus importants des matrices est d’écrire un système d’équations linéaires de façon compacte. Le système $2x + y = 5$ et $x - 3y = -1$ devient :

En effectuant le produit du membre de gauche, on retrouve exactement les deux équations, ce qui est un bon moyen de vérifier que la matrice est correctement posée. La solution est $x = 2$, $y = 1$. Écrire un système sous cette forme permet d’utiliser les mêmes méthodes, le pivot de Gauss ou la matrice inverse, pour résoudre deux équations comme deux mille. Notre guide pour résoudre des systèmes d’équations détaille les méthodes à la main, et la calculatrice de systèmes d’équations les résout étape par étape.

À quoi servent les matrices

• Infographie : les rotations, les homothéties et les projections des modèles 3D sont des produits matriciels appliqués à chaque sommet.
• Science des données : un jeu de données est une matrice avec une ligne par observation et une colonne par variable, et des techniques comme l’analyse en composantes principales travaillent directement dessus.
• Réseaux : une matrice d’adjacence indique quels nœuds sont reliés, et ses puissances comptent les chemins d’une longueur donnée.
• Économie et ingénierie : les modèles entrées-sorties et l’analyse des circuits électriques mènent à de grands systèmes linéaires.
• Apprentissage automatique : les couches d’un réseau de neurones sont, pour l’essentiel, des produits matriciels.

La calculatrice de matrices additionne, multiplie et transpose des matrices de toutes tailles compatibles et affiche chaque calcul ligne par colonne, ce qui la rend pratique pour vérifier ses devoirs.

Puissances et matrices diagonales

Une matrice carrée peut être multipliée par elle-même, donc des puissances comme $A^2 = AA$ et $A^3 = AAA$ ont un sens. Les matrices non carrées n’ont pas de puissances, car les tailles ne seraient pas compatibles. Les puissances d’une matrice apparaissent dès qu’un processus se répète : si une matrice décrit comment une population se déplace entre des régions en un an, sa puissance dixième décrit le déplacement sur dix ans.

Les matrices diagonales, dont les seuls coefficients non nuls sont sur la diagonale principale, sont particulièrement simples à manipuler. Le produit de deux matrices diagonales s’obtient en multipliant leurs coefficients diagonaux, donc élever une matrice diagonale à une puissance revient à élever chaque coefficient diagonal à cette puissance. Par exemple, le carré de la matrice diagonale de coefficients 2 et 3 est la matrice diagonale de coefficients 4 et 9. Une bonne partie de l’algèbre linéaire avancée consiste à réécrire une matrice sous forme diagonale pour que ce genre de calcul devienne simple.

Erreurs fréquentes avec les matrices

• Confondre lignes et colonnes en indiquant la taille. Les lignes viennent toujours en premier.
• Multiplier coefficient par coefficient au lieu de ligne par colonne.
• Supposer que $AB = BA$, ou changer l’ordre des facteurs en simplifiant une expression.
• Essayer d’additionner des matrices de tailles différentes ou de multiplier des matrices dont les tailles intérieures ne coïncident pas.
• Oublier que la transposée d’un produit inverse l’ordre des facteurs.

Une vérification rapide des tailles avant tout calcul évite la plupart de ces erreurs. Écrivez la taille sous chaque matrice, confirmez que l’opération est définie et prévoyez la taille du résultat avant de calculer le moindre coefficient.

Questions fréquentes