Valeurs propres et vecteurs propres expliqués avec des exemples

L’équation qui les définit

La plupart des vecteurs changent de direction quand on les multiplie par une matrice. Quelques vecteurs particuliers, non : la matrice se contente de les étirer, de les contracter ou de les retourner sur la même droite. Ce sont les vecteurs propres, et le facteur par lequel chacun est multiplié est sa valeur propre. En symboles, un vecteur non nul $\mathbf{v}$ est un vecteur propre de la matrice carrée $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ lorsque :

On exclut le vecteur nul, car il vérifierait l’équation pour n’importe quel $\lambda$. Les valeurs propres, en revanche, peuvent être nulles, négatives ou même complexes. Une valeur propre égale à 2 signifie que les vecteurs de cette direction doublent de longueur, $-1$ qu’ils sont retournés et 0 qu’ils sont écrasés sur le vecteur nul, ce qui arrive exactement quand la matrice est singulière.

Trouver les valeurs propres avec l’équation caractéristique

Réécrivez l’équation sous la forme $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Pour qu’il existe une solution non nulle, la matrice $A - \lambda I$ doit être singulière, donc son déterminant doit être nul. On obtient ainsi l’équation caractéristique :

Pour une matrice $n \times n$, c’est une équation polynomiale de degré $n$ en $\lambda$ : il y a donc $n$ valeurs propres, comptées avec leur multiplicité et en admettant les valeurs complexes. Pour une matrice $2 \times 2$, le polynôme est du second degré, et vous pouvez le résoudre avec les méthodes de comment résoudre une équation du second degré.

Un exemple complet en 2 par 2

Tout multiple non nul d’un vecteur propre est aussi un vecteur propre : $(3, 3)$ ou $(-2, 4)$ seraient des réponses tout aussi justes. Ce qui compte, c’est la direction, pas la longueur. Remarquez aussi que les deux lignes de $A - \lambda I$ étaient proportionnelles dans les deux cas. C’est garanti quand $\lambda$ est vraiment une valeur propre, et c’est une vérification très utile de vos calculs.

Deux raccourcis : la trace et le déterminant

Les valeurs propres de toute matrice carrée sont liées à deux nombres faciles à obtenir. Leur somme est égale à la trace, la somme des coefficients diagonaux, et leur produit est égal au déterminant :

Dans l’exemple 1, la trace vaut $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ et le déterminant $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Pour une matrice $2 \times 2$, cela signifie que l’équation caractéristique est toujours $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$, ce qui évite de développer le déterminant à la main. Les matrices triangulaires sont encore plus simples : leurs valeurs propres sont tout simplement leurs coefficients diagonaux.

Valeurs propres complexes et multiples

La matrice de rotation $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ fait tourner chaque vecteur de 90 degrés : aucune direction réelle ne reste sur sa propre droite. Son équation caractéristique est $\lambda^2 + 1 = 0$, qui donne les valeurs propres complexes $\lambda = \pm i$. Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle vont toujours par paires conjuguées et signalent une rotation.

Les valeurs propres peuvent aussi être multiples. La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ a la valeur propre double 2, mais $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ impose $y = 0$ : les seuls vecteurs propres sont donc les multiples de $(1, 0)$. Une telle matrice, qui a moins de vecteurs propres indépendants que sa taille, n’est pas diagonalisable. La matrice identité, au contraire, a aussi la valeur propre multiple 1, mais tout vecteur non nul en est un vecteur propre.

Les matrices symétriques évitent ces deux complications. Leurs valeurs propres sont toujours réelles, et des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Pour $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, les valeurs propres sont 3 et 1, avec les vecteurs propres $(1, 1)$ et $(1, -1)$, dont le produit scalaire est nul.

Diagonalisation et puissances d’une matrice

Quand une matrice $n \times n$ possède $n$ vecteurs propres indépendants, elle est diagonalisable. Placez les vecteurs propres dans les colonnes de $P$ et les valeurs propres sur la diagonale de $D$ ; on a alors :

Élever une matrice diagonale à une puissance revient à élever chaque coefficient diagonal à cette puissance : calculer $A^{100}$ devient donc simple. Les valeurs propres prédisent aussi le comportement à long terme : quand une valeur propre est strictement plus grande en valeur absolue que toutes les autres, multiplier de façon répétée par $A$ entraîne presque tout vecteur de départ vers le vecteur propre associé à cette valeur propre.

Là où les valeurs propres comptent

• Moteurs de recherche : l’algorithme PageRank d’origine classe les pages web grâce au vecteur propre dominant d’une matrice de liens.
• Ingénierie : les fréquences propres de vibration des ponts et des bâtiments s’obtiennent par des valeurs propres, que les concepteurs tiennent éloignées des fréquences d’excitation prévues.
• Science des données : l’analyse en composantes principales utilise les vecteurs propres d’une matrice de covariance pour trouver les directions de plus grande variation.
• Équations différentielles : les signes des valeurs propres déterminent si un équilibre est stable ou instable.
• Mécanique quantique : les grandeurs mesurables, comme les niveaux d’énergie, sont des valeurs propres d’opérateurs.

La calculatrice de valeurs propres trouve les valeurs et vecteurs propres, y compris complexes, et affiche le polynôme caractéristique étape par étape. La calculatrice de déterminants est utile pour vérifier $\det(A - \lambda I)$ en une valeur candidate.

Un exemple en 3 par 3

Les matrices plus grandes suivent la même méthode, et les zéros aident comme pour les déterminants. Prenez la matrice de lignes $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ et $(0, 4, 9)$. En développant $\det(A - \lambda I)$ selon la première ligne, on obtient $(2 - \lambda)$ multiplié par le polynôme caractéristique du bloc de lignes $(3, 4)$ et $(4, 9)$. Ce bloc a pour trace 12 et pour déterminant $27 - 16 = 11$, donc son polynôme est $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Les valeurs propres sont donc 2, 1 et 11. Pour vérifier : leur somme vaut 14, la trace de la matrice complète, et leur produit 22, son déterminant. Les vecteurs propres sont $(1, 0, 0)$ pour 2, $(0, -2, 1)$ pour 1 et $(0, 1, 2)$ pour 11. La matrice est symétrique et, comme annoncé, ces trois vecteurs sont orthogonaux deux à deux.

Erreurs fréquentes

• Retrancher $\lambda$ à tous les coefficients au lieu des seuls coefficients diagonaux.
• Accepter le vecteur nul comme vecteur propre après avoir résolu $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• Supposer qu’une valeur propre multiple a toujours deux vecteurs propres indépendants.
• Oublier de vérifier le résultat en calculant $A\mathbf{v}$ et en le comparant à $\lambda\mathbf{v}$.

La vérification finale est l’habitude la plus précieuse de toutes. Elle ne demande qu’un produit matriciel, et si $A\mathbf{v}$ n’est pas un multiple de $\mathbf{v}$, c’est que la valeur propre ou le vecteur propre est faux.

Une image géométrique

Imaginez que vous appliquez la matrice de l’exemple 1 à chaque point d’une feuille de papier quadrillé. La plupart des flèches tracées depuis l’origine s’allongent et tournent en même temps. Pourtant, les flèches situées sur la droite passant par $(1, 1)$ deviennent simplement cinq fois plus longues, et celles situées sur la droite passant par $(1, -2)$ doublent de longueur, sans quitter leur droite. Les vecteurs propres sont le squelette de la transformation : dès que l’on sait ce qui se passe le long de ces deux droites, on sait ce qui se passe partout, car tout vecteur peut se décomposer en composantes le long de celles-ci.

Questions fréquentes