Comment résoudre une équation du premier degré étape par étape

Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation que l’on peut réécrire sous la forme $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres et $a \neq 0$. L’inconnue n’apparaît qu’à la puissance un : pas de $x^2$, pas de $\sqrt{x}$, et aucun $x$ au dénominateur. Comme la courbe de $y = ax + b$ est une droite, l’équation a exactement une solution, $x = -\frac{b}{a}$, qui est le point où cette droite coupe l’axe des abscisses.

Des équations comme $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ et $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ sont toutes du premier degré, même si elles ne ressemblent pas encore à $ax + b = 0$. Le travail consiste à les réécrire, étape valide après étape valide, jusqu’à ce que l’inconnue soit isolée.

Le principe de la balance derrière chaque étape

Imaginez une équation comme une balance en équilibre. Vous pouvez faire ce que vous voulez d’un côté à condition de faire exactement la même chose de l’autre, car deux quantités égales qui changent de la même façon restent égales. Les quatre opérations que vous utiliserez sont :

• ajouter le même nombre ou la même expression aux deux membres ;
• soustraire le même nombre ou la même expression aux deux membres ;
• multiplier les deux membres par le même nombre non nul ;
• diviser les deux membres par le même nombre non nul.

Multiplier ou diviser par zéro est le seul geste interdit : multiplier par zéro transforme n’importe quelle équation en $0 = 0$ et détruit l’information, et diviser par zéro n’est pas défini.

Une méthode en cinq étapes

1. Supprimez les parenthèses en développant : $5(x - 2)$ devient $5x - 10$.
2. Éliminez les fractions ou les décimaux en multipliant les deux membres par le plus petit dénominateur commun ou par une puissance de 10.
3. Réduisez les termes semblables dans chaque membre séparément.
4. Regroupez les termes en x dans un membre et les constantes dans l’autre en ajoutant ou en soustrayant.
5. Divisez par le coefficient de l’inconnue, puis remplacez la réponse dans l’équation de départ pour la vérifier.

Toutes les équations n’ont pas besoin de toutes les étapes. La méthode vous donne simplement un ordre qui évite les embrouilles les plus fréquentes, comme vouloir diviser avant d’avoir réduit les termes semblables.

Exemples corrigés, du plus simple au plus difficile

Remarquez l’ordre. Pour construire l’expression $3x + 7$, le sept a été ajouté en dernier : c’est donc lui que l’on retire en premier. Résoudre, c’est inverser l’ordre des opérations.

Si vous préférez un coefficient positif, regroupez les termes en x dans le membre qui a déjà le plus grand coefficient. Dans l’exemple 3, ajouter $4x$ aux deux membres donne $9 = 6x - 15$, puis $24 = 6x$ et $x = 4$, sans aucune division par un nombre négatif.

Équations avec des fractions et des décimaux

C’est avec les fractions que l’on fait le plus d’erreurs : éliminez-les donc dès le début. Multipliez chaque terme des deux membres par le plus petit dénominateur commun. Chaque terme veut bien dire chaque terme, y compris les nombres entiers qui n’ont pas de dénominateur visible.

Les décimaux se traitent de la même façon, avec une puissance de dix. Choisissez la puissance qui élimine le décimal ayant le plus de chiffres après la virgule.

Vous pouvez contrôler les équations chargées en fractions avec la calculatrice de fractions ou comparer chaque étape avec le solveur d’équations.

Aucune solution ou une infinité de solutions

Il arrive que l’inconnue disparaisse complètement en cours de résolution. Ce qui reste indique dans quel cas particulier vous vous trouvez.

Une égalité vraie comme $6 = 6$ signifie que les deux membres sont la même expression : tout nombre réel est solution. Une telle équation s’appelle une identité.

Une égalité fausse comme $6 = 5$ signifie qu’aucune valeur de $x$ ne peut rendre les deux membres égaux : l’équation n’a pas de solution. Graphiquement, les deux membres sont des droites parallèles de même pente et d’ordonnées à l’origine différentes, qui ne se coupent donc jamais.

Isoler une variable dans une formule

Le même principe de la balance permet de transformer des formules, ce que l’on appelle souvent isoler une variable dans une équation littérale. Traitez chaque lettre, sauf celle que vous voulez isoler, comme s’il s’agissait d’un nombre.

Réécrire une équation sous cette forme est la première étape pour la représenter graphiquement, ce que vous pouvez explorer avec la calculatrice de pente.

Mettre un problème en équation

Les problèmes concrets mènent à des équations du premier degré lorsqu’une quantité varie à un rythme constant. Nommez l’inconnue, traduisez chaque phrase par une expression et égalez les deux descriptions de la même quantité.

Vous pouvez vous entraîner davantage à traduire des phrases en équations avec le solveur de problèmes.

Erreurs fréquentes et comment les éviter

• Ne développer que le premier terme : $3(x + 4)$ vaut $3x + 12$, et non $3x + 4$.
• Perdre un signe moins : $-(x - 5)$ vaut $-x + 5$. Distribuez le signe moins à chaque terme de la parenthèse.
• Multiplier par le dénominateur commun seulement les fractions et oublier les termes entiers.
• Faire passer un terme de l’autre côté du signe égal sans changer son signe. Dire qu’un terme « passe » de l’autre côté est un raccourci pour dire qu’on le soustrait aux deux membres.
• S’arrêter à $-x = 3$. Divisez par $-1$ pour obtenir $x = -3$.
• Sauter la vérification. Remplacer dans l’équation de départ, et non dans une ligne ultérieure, permet de repérer une erreur commise à n’importe quelle étape.

Que travailler ensuite

Quand les équations du premier degré deviennent automatiques, les mêmes compétences s’appliquent directement aux inéquations du premier degré, où une règle supplémentaire intervient, et aux systèmes d’équations, où deux équations du premier degré partagent deux inconnues. Si une équation contient $x^2$, lisez le guide pour résoudre une équation du second degré. Pour vous entraîner, saisissez l’un des exemples ci-dessus dans la calculatrice pour isoler x et comparez ses étapes avec les vôtres.

Questions fréquentes