Simplifier une expression algébrique étape par étape

Ce que signifie vraiment simplifier

Une expression comme $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ ne contient pas de signe égal : il n’y a donc rien à résoudre. La simplifier, c’est trouver une expression équivalente, c’est-à-dire qui donne la même valeur pour tout $x$ autorisé, et qui soit plus courte et plus pratique à utiliser. Ici, c’est $4x - 7$.

Le mot clé est équivalente. Chaque étape doit être une règle algébrique valable, et non une intuition qui se trouve donner un résultat plus joli. Un test utile consiste à remplacer par une valeur : pour $x = 2$, l’expression de départ donne $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, et $4(2) - 7 = 1$ aussi. Une coïncidence en un point ne prouve pas que deux expressions sont équivalentes, mais une différence prouve qu’il y a une erreur.

Réduire les termes semblables

Des termes semblables ont exactement les mêmes variables affectées exactement des mêmes exposants ; seul leur coefficient peut différer. $3x^2$ et $-7x^2$ sont semblables. $3x^2$ et $3x$ ne le sont pas, pas plus que $xy$ et $x^2y$.

Pour réduire des termes semblables, additionnez leurs coefficients et gardez la partie littérale telle quelle :

Soulignez ou coloriez chaque groupe de termes semblables avant de les réduire, et emportez avec chaque terme son signe. Dans $4x + 3y - x$, le terme est $-x$, et non $x$.

La distributivité et la suppression des parenthèses

La distributivité $a(b + c) = ab + ac$ permet de supprimer les parenthèses. Le facteur extérieur multiplie chacun des termes intérieurs, et un signe moins devant une parenthèse est un facteur $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, car $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$ : multipliez chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, et non $4x^2 + 9$.

Élever une somme au carré terme à terme, comme dans $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, est l’une des erreurs d’algèbre les plus fréquentes. L’identité correcte est $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Les règles des puissances

Les produits et quotients de puissances se simplifient avec un petit ensemble de règles, valables pour toute base non nulle :

La calculatrice de puissances applique ces règles une par une si vous voulez vérifier une expression plus longue.

Simplifier une fraction rationnelle

Une fraction rationnelle se simplifie en factorisant complètement le numérateur et le dénominateur, puis en éliminant les facteurs présents dans les deux. On ne peut simplifier que des facteurs, jamais des termes d’une somme.

La valeur interdite $x \neq -3$ doit être conservée même si $(x + 3)$ n’apparaît plus, car l’expression de départ n’est pas définie en cette valeur. Pour additionner des fractions, cherchez d’abord un dénominateur commun :

Si c’est la factorisation qui vous bloque, le guide pour factoriser un polynôme explique toutes les méthodes utilisées ici, et la calculatrice de fractions rationnelles montre la simplification étape par étape.

Simplifier des racines carrées

Sortez les facteurs qui sont des carrés parfaits grâce à $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ pour $a$ et $b$ positifs ou nuls. Réduisez ensuite les radicaux semblables comme des termes semblables.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ et $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, donc $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, ce qui n’est pas $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. La racine ne se distribue pas sur une somme.

Un ordre de travail raisonnable

1. Supprimez les parenthèses par distributivité, en faisant attention aux signes moins.
2. Appliquez les règles des puissances aux produits, quotients et puissances.
3. Réduisez les termes semblables.
4. Pour les fractions, factorisez complètement et simplifiez par les facteurs communs, en conservant les valeurs interdites.
5. Écrivez le résultat dans un ordre standard, en général par puissances décroissantes : $3x^2 - x + 4$.
6. Faites une vérification rapide en remplaçant par une valeur simple dans l’expression de départ et dans le résultat.

Les erreurs qui changent la valeur

• Simplifier des termes au lieu de facteurs : $\frac{x + 6}{x + 3}$ n’est égal ni à $2$ ni à $\frac{6}{3}$.
• N’appliquer un signe moins qu’au premier terme de la parenthèse.
• Additionner des exposants en multipliant des bases différentes : $x^2 y^3$ ne se regroupe pas en une seule puissance.
• Écrire $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ou $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Oublier les valeurs interdites après avoir simplifié.

Collez n’importe quelle expression dans la calculatrice de simplification et comparez ses étapes aux vôtres. Une fois l’expression simplifiée, résoudre l’équation correspondante devient bien plus facile ; voyez comment résoudre une équation du premier degré.

Un exemple corrigé plus long

Les exercices réels combinent souvent plusieurs des règles précédentes. En résoudre un avec soin montre comment l’ordre des étapes garde l’expression sous contrôle.

Remarquez que la soustraction devant $(x + 1)^2$ n’a été appliquée qu’après avoir développé le carré entre parenthèses. Développer d’abord, puis distribuer le signe moins à tous les termes, c’est ce qui évite l’erreur de signe classique.

Quand une expression est-elle entièrement simplifiée ?

Professeurs et manuels partagent quelques conventions pour la réponse finale. On considère généralement qu’une expression est entièrement simplifiée lorsqu’il ne reste aucune parenthèse développable, sauf si l’on demande la forme factorisée ; qu’il n’y a pas deux termes semblables ; qu’aucun exposant n’est négatif ou nul ; qu’aucune fraction n’a de facteur commun au numérateur et au dénominateur ; qu’aucune racine carrée ne contient de facteur carré parfait ; et qu’aucun dénominateur ne contient de racine carrée.

La dernière règle se traite en rendant le dénominateur rationnel. Pour $\frac{6}{\sqrt{3}}$, multipliez le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$ : vous obtenez $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Les deux formes ont la même valeur, environ $3.464$, mais la seconde est la forme finale habituelle.

Parfois, la forme la plus simple dépend de l’objectif. La forme développée $x^2 - 3x - 10$ permet de lire facilement les coefficients, tandis que la forme factorisée $(x + 2)(x - 5)$ montre immédiatement les racines. Si un exercice ne précise pas la forme attendue, les deux sont équivalentes, mais la plupart des professeurs attendent la forme développée pour les sommes et la forme factorisée et simplifiée pour les fractions.

Si deux réponses d’apparence différente passent toutes deux le test de substitution pour deux ou trois valeurs, il s’agit presque sûrement de la même expression écrite de deux façons.

Simplifier avec plusieurs variables

Les expressions à plusieurs variables obéissent exactement aux mêmes règles, mais il est plus facile d’y perdre un terme de vue. Classer les termes selon leur partie littérale avant de les réduire aide. Dans $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$, les groupes semblables sont les termes en $a^2b$, les termes en $ab^2$ et les termes en $ab$. En réduisant chaque groupe, on obtient $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. On ne peut plus rien réduire, car chaque terme restant a une partie littérale différente, mais tous ont le facteur commun $ab$ : l’expression peut donc aussi s’écrire $ab(2a + 2b + 5)$.

Écrire les variables dans l’ordre alphabétique à l’intérieur de chaque terme, par exemple $ba$ sous la forme $ab$, aide à repérer les termes semblables. C’est aussi une convention courante dans les réponses finales.

Questions fréquentes