Simplifier une expression algébrique — Calculatrice avec étapes

À propos de la calculatrice pour simplifier une expression

Simplifier, c’est le ménage quotidien de l’algèbre. Avant de résoudre, de représenter ou de comparer des expressions, il faut en général les mettre sous une forme standard propre : parenthèses développées, termes semblables regroupés et fractions réduites. À la main, c’est surtout une affaire de rigueur, et un seul signe oublié fausse le résultat.

Cette calculatrice simplifie les expressions polynomiales à une ou plusieurs variables, comme $3(x + 2) - 2(x - 1)$ ou $(a + b)^2 - (a - b)^2$ , les expressions numériques avec fractions et les fractions rationnelles à une variable, comme $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ : elle les factorise, simplifie les facteurs communs et indique les valeurs interdites.

Que signifie simplifier une expression ?

Deux expressions sont équivalentes lorsqu’elles prennent la même valeur pour toute valeur autorisée de la variable. Simplifier, c’est remplacer une expression par une expression équivalente plus courte ou plus standard. Pour un polynôme, la forme réduite et ordonnée ne contient aucune parenthèse, un seul terme par combinaison de puissances, et les termes sont écrits par degré décroissant.

Pour une fraction rationnelle, la forme la plus simple est celle où le numérateur et le dénominateur n’ont plus aucun facteur polynomial commun. Simplifier par un facteur comme $x + 3$ n’est valable que là où $x + 3 \ne 0$ : une réponse complète mentionne donc cette restriction.

Comment utiliser la calculatrice pour simplifier une expression

Saisissez l’expression, par exemple 3(x + 2) - 2(x - 1) ou (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
Utilisez ^ pour les puissances et * ou la simple juxtaposition pour multiplier : 2x, 2*x et 2(x + 1) fonctionnent de la même façon.
Lancez la simplification et suivez les étapes : distributivité, développement des puissances, réduction des termes semblables et, pour les fractions, factorisation puis simplification.
Lisez la forme simplifiée finale ainsi que les valeurs interdites qui l’accompagnent.

Formules

Distributivité

a(b + c) = ab + ac

Carré d’une somme

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Réduction des termes semblables

px^k + qx^k = (p + q)x^k

Simplification par un facteur commun

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

Exemple corrigé: 3(x + 2) − 2(x − 1)

L’exemple simplifie $3(x + 2) - 2(x - 1)$ . Le moteur distribue chaque coefficient, en veillant à ce que $-2$ multiplie les deux termes de la seconde parenthèse, ce qui transforme $-1$ en $+2$ .

On obtient ainsi $3x + 6 - 2x + 2$ . En regroupant séparément les termes en $x$ et les constantes, il reste $x + 8$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

x + 8

Comment nous avons lu votre problème

Simplifier l’expression polynomiale en x.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

Solution étape par étape

Lire l’expression
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
Développer (effectuer chaque produit)
Chaque terme d’un facteur multiplie chaque terme de l’autre : a(b + c) = ab + ac.
Résultat après développement
$3x + 6 - 2x + 2$
Réduire les termes semblables
x : 3 − 2 = 1 ; constantes : 6 + 2 = 8. Les termes semblables ont les mêmes variables et les mêmes exposants : seuls leurs coefficients s’additionnent.
Écrire le résultat sous forme ordonnée
Les termes sont rangés par degré total décroissant.
$x + 8$

Formules utilisées

Distributivité
$a(b + c) = ab + ac$
Carré d’une somme
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Termes semblables
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

Après développement et réduction des termes semblables, l’expression vaut x + 8, un polynôme de degré 1 à 2 termes.

Vérification

Vérification en x = 0.73 : expression initiale 8.73, expression simplifiée 8.73 ✓

Explication détaillée

Termes semblables

Des termes semblables ont exactement les mêmes variables élevées exactement aux mêmes puissances ; seuls leurs coefficients numériques peuvent différer. Ainsi, $5x^2y$ et $-2x^2y$ sont semblables et se réduisent en $3x^2y$ , mais $x^2y$ et $xy^2$ ne le sont pas et doivent rester séparés.

La calculatrice stocke chaque terme sous la forme d’un coefficient associé à une liste d’exposants. Additionner deux expressions revient alors à additionner les coefficients qui correspondent à la même liste, ce qui est précisément la réduction des termes semblables. Comme les coefficients sont des fractions exactes, des résultats comme $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ sont exacts.

Développer avant de réduire

Les parenthèses cachent des termes semblables. Dans $(a + b)^2 - (a - b)^2$ , rien ne se réduit tant que les deux carrés ne sont pas développés : $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . Les termes $a^2$ et $b^2$ s’annulent alors et il reste $4ab$ . La calculatrice développe toujours d’abord tous les produits et toutes les puissances, puis regroupe.

Soustraire une parenthèse est une source d’erreur classique. Le signe moins s’applique à tous les termes qu’elle contient, donc $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

Fractions rationnelles

Pour simplifier un quotient de polynômes, factorisez entièrement le numérateur et le dénominateur, puis simplifiez par les facteurs présents des deux côtés. Dans $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ , on simplifie par le facteur commun $x + 3$ et il reste $\frac{x - 3}{x}$ avec $x \ne 0$ et $x \ne -3$ .

On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes isolés d’une somme. Barrer le $x^2$ dans $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ serait une erreur, car $x^2$ est un terme de la somme et non un facteur de tout le numérateur.

Expressions numériques et priorités opératoires

Quand une expression ne contient que des nombres, la simplifier revient à la calculer exactement. La calculatrice respecte les priorités opératoires habituelles : d’abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Les fractions restent des fractions du début à la fin, si bien que $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ devient $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ et non un décimal arrondi.

Le calcul exact compte, car arrondir trop tôt peut modifier un résultat ultérieur. Si vous avez besoin d’une valeur décimale pour une réponse pratique, convertissez la valeur exacte finale une seule fois, tout à la fin.

Erreurs fréquentes

Appliquer un signe moins uniquement au premier terme de la parenthèse.
Écrire $(a + b)^2$ sous la forme $a^2 + b^2$ en oubliant le double produit $2ab$ .
Réduire des termes qui ne sont pas semblables, par exemple additionner $x^2$ et $x$ pour obtenir $2x^3$ .
Simplifier des termes d’une somme au lieu de facteurs dans une fraction.
Oublier les valeurs interdites après avoir simplifié par un facteur.

Conseils

Réécrivez la soustraction d’une parenthèse comme l’addition de $-1$ fois la parenthèse avant de distribuer.
Soulignez de la même couleur les termes semblables avant de les regrouper.
Vérifiez une simplification en remplaçant une valeur simple comme $x = 2$ dans les deux formes.
Factorisez entièrement avant de simplifier quoi que ce soit dans une fraction rationnelle.
Écrivez le résultat par puissances décroissantes pour le comparer facilement à d’autres réponses.

Questions fréquentes

Que sont des termes semblables ?

Ce sont des termes ayant les mêmes variables élevées aux mêmes puissances, comme 4xy et moins 7xy. Seuls leurs coefficients diffèrent, on peut donc les additionner en un seul terme.

Simplifier change-t-il la valeur d’une expression ?

Non. Une expression simplifiée est équivalente à l’expression de départ pour toute valeur autorisée. La seule différence est que les facteurs simplifiés créent des valeurs interdites qu’il faut indiquer.

Peut-elle simplifier des expressions à plusieurs variables ?

Oui : les expressions polynomiales comportant un nombre quelconque de variables sont développées et leurs termes semblables réduits. Les fractions rationnelles sont simplifiées à une variable.

Pourquoi ma fraction simplifiée comporte-t-elle des restrictions ?

Quand on simplifie par un facteur commun au numérateur et au dénominateur, l’expression de départ n’était pas définie là où ce facteur s’annule. La forme simplifiée doit conserver cette restriction pour rester équivalente.

Simplifier, est-ce la même chose que résoudre ?

Non. Simplifier réécrit une expression ; résoudre trouve les valeurs qui rendent une équation vraie. Simplifiez d’abord les deux membres puis, si vous voulez les solutions, utilisez la calculatrice d’équations.

Qu’est-ce que la forme réduite et ordonnée d’un polynôme ?

Toutes les parenthèses sont développées, il y a un seul terme par combinaison de puissances, et les termes sont écrits du plus haut degré au plus bas, le terme constant en dernier.

Puis-je aussi simplifier des expressions numériques ?

Oui. Des expressions comme 3/4 + 5/6 fois 2 sont calculées exactement en respectant les priorités opératoires, puis réduites en fraction irréductible.

Essayez la calculatrice pour simplifier une expression

Saisissez une expression et suivez chaque étape jusqu’à sa forme exacte la plus simple.

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Calculatrice pour simplifier une expression