Calculatrice d’inéquations

À propos de la calculatrice d’inéquations

Une équation demande où deux expressions sont égales ; une inéquation demande où l’une est plus grande ou plus petite que l’autre. La réponse est rarement un seul nombre, mais plutôt un ensemble de nombres, comme tous les $x$ compris entre 2 et 3. Écrire correctement cet ensemble, avec les bons crochets et les bonnes bornes, est l’endroit où l’on perd le plus de points.

Cette calculatrice résout les inéquations du premier degré comme $3x - 5 \ge 7$ , polynomiales comme $x^2 - 5x + 6 < 0$ , rationnelles comme $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , les encadrements comme $-3 < 2x + 1 \le 9$ et les inéquations avec valeur absolue comme $|x - 4| < 3$ . Elle montre toujours quels points découpent la droite réelle et teste chaque intervalle, pour que vous compreniez pourquoi la réponse est celle-là.

Qu’est-ce qu’une inéquation ?

Une inéquation compare deux expressions avec l’un des symboles $<$ , $>$ , $\le$ ou $\ge$ . Son ensemble de solutions est formé de toutes les valeurs de la variable qui rendent la comparaison vraie. Pour $x + 2 > 5$ , l’ensemble des solutions est l’ensemble des nombres strictement supérieurs à 3, que l’on écrit $(3, \infty)$ .

Dans la notation utilisée ici, une parenthèse signale une borne exclue et un crochet une borne incluse ; en France, on remplace souvent la parenthèse par un crochet tourné vers l’extérieur. L’infini est toujours exclu, car ce n’est pas un nombre que l’on peut atteindre. Les morceaux séparés sont réunis avec le symbole de réunion, comme dans $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Comment utiliser la calculatrice d’inéquations

Saisissez l’inéquation avec <, >, <= ou >=, par exemple x^2 - 5x + 6 < 0 ou 2x + 3 >= 7.
Pour un encadrement, écrivez les deux comparaisons sur une seule ligne, comme -3 < 2x + 1 <= 9.
Pour la valeur absolue, utilisez abs(), par exemple abs(x - 4) < 3.
Appuyez sur Résoudre. Consultez les valeurs critiques et le tableau de signes, puis lisez l’ensemble des solutions sous forme d’intervalles.

Formules

Changement de sens de l’inégalité

a < b \text{ et } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, l’inégalité change de sens.

Valeur absolue, inférieur à

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Valeur absolue, supérieur à

|u| > c \iff u < -c \ \text{ou}\ u > c

Signe d’un produit

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Exemple corrigé: x² − 5x + 6 < 0

Dans l’exemple, $x^2 - 5x + 6 < 0$ se factorise en $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Les valeurs critiques 2 et 3 découpent la droite réelle en trois intervalles, et le moteur teste une valeur dans chacun.

Seul l’intervalle du milieu donne un produit négatif, et les bornes sont exclues car l’inégalité est stricte : la réponse est donc l’intervalle ouvert $(2, 3)$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

(2, 3)

Comment nous avons lu votre problème

Résoudre l’inéquation et donner la réponse sous forme d’intervalle.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Solution étape par étape

Tout passer dans un même membre et factoriser
Un tableau de signes demande la forme f(x) comparée à 0, écrite comme un produit ou un quotient de facteurs.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Trouver les valeurs critiques
Le signe ne peut changer qu’en 2 (zéro), 3 (zéro).
Tester un point dans chaque intervalle (tableau de signes)
(-∞, 2) : test x = 1 → signe + → exclu ; (2, 3) : test x = 2.5 → signe − → inclus ; (3, ∞) : test x = 4 → signe + → exclu
Décider des bornes
2 : exclue ; 3 : exclue
Écrire l’ensemble des solutions
$x \in (2, 3)$

Formules utilisées

Changement de sens de l’inégalité
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Valeur absolue
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ ou } A > c$

L’inéquation est vérifiée exactement pour x dans (2, 3). Les points où l’expression n’est pas définie ne sont jamais inclus, et les bornes ne sont incluses que pour ≤ ou ≥ là où l’expression s’annule.

Vérification

x = 1 : ne vérifie pas l’inéquation.
x = 2.5 : vérifie l’inéquation.
x = 4 : ne vérifie pas l’inéquation.

Explication détaillée

Inéquations du premier degré

Une inéquation du premier degré se résout comme une équation, avec une règle supplémentaire : chaque fois que l’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change. De $-2x > 6$ , on tire $x < -3$ , car multiplier par $-\tfrac12$ inverse l’ordre des nombres sur la droite.

La raison est que changer de signe revient à retourner la droite réelle comme dans un miroir. Si $5 > 2$ , alors $-5 < -2$ . Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres ne change jamais le sens.

La méthode du tableau de signes

Pour les inéquations polynomiales et rationnelles, passez tout dans un même membre pour que l’autre soit nul. Cherchez ensuite les valeurs critiques : les zéros du numérateur et, pour les quotients, les zéros du dénominateur. Un polynôme ne peut changer de signe qu’en un zéro : entre deux valeurs critiques consécutives, son signe est donc constant.

Choisissez n’importe quelle valeur test à l’intérieur de chaque intervalle et calculez le signe. Gardez les intervalles où le signe correspond à l’inéquation. Décidez enfin du sort de chaque borne : les zéros du numérateur sont inclus avec $\le$ ou $\ge$ , mais les zéros du dénominateur sont toujours exclus car l’expression n’y est pas définie.

Les racines multiples demandent de l’attention. Dans $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ , le facteur $(x - 1)^2$ ne change jamais de signe : l’expression garde le même signe de part et d’autre de $x = 1$ . Le tableau de signes le gère automatiquement, alors que le raccourci consistant à alterner les signes échoue.

Encadrements et inéquations avec valeur absolue

Un encadrement comme $-3 < 2x + 1 \le 9$ se résout en appliquant la même opération aux trois parties à la fois, ce qui donne $-2 < x \le 4$ . Une inéquation avec valeur absolue se ramène à un encadrement : $|x - 4| < 3$ signifie que la distance de $x$ à 4 est inférieure à 3, donc $1 < x < 7$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l’inégalité après avoir multiplié ou divisé par un nombre négatif.
Multiplier les deux membres par une expression comme $x - 2$ dont on ignore le signe. Utilisez plutôt un tableau de signes.
Inclure dans l’ensemble des solutions une valeur qui annule un dénominateur.
Fermer l’intervalle du côté de l’infini.
Écrire $|x| > 3$ sous la forme $-3 > x > 3$ , qu’aucun nombre ne vérifie ; cela signifie $x < -3$ ou $x > 3$ .

Conseils

Laissez zéro dans un membre avant de factoriser.
Tracez toujours la droite réelle avec les valeurs critiques ; cela évite la plupart des erreurs sur les bornes.
Vérifiez dans l’inéquation de départ une valeur de votre réponse et une autre qui en est exclue.
Les inégalités strictes donnent des bornes exclues ; les inégalités larges incluent les zéros du numérateur.

Questions fréquentes

Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il quand on divise par un nombre négatif ?

Multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre des nombres sur la droite réelle. Comme 5 est plus grand que 2 mais moins 5 est plus petit que moins 2, la comparaison doit être inversée pour rester vraie.

Qu’est-ce que la notation des intervalles ?

C’est une façon d’écrire un ensemble de solutions avec des parenthèses et des crochets. Une parenthèse exclut une borne, un crochet l’inclut, et les morceaux sont réunis avec le symbole de réunion.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Passez tout dans un même membre, factorisez ou calculez les racines, placez-les sur la droite réelle, testez une valeur dans chaque intervalle et gardez les intervalles où le signe convient.

Pourquoi certaines bornes sont-elles exclues dans les inéquations rationnelles ?

Les valeurs qui annulent le dénominateur rendent l’expression non définie : elles ne peuvent jamais faire partie de la solution, même avec inférieur ou égal ou supérieur ou égal.

Une inéquation peut-elle n’avoir aucune solution ?

Oui. Par exemple, x au carré plus 1 strictement inférieur à 0 n’a pas de solution réelle, car x au carré plus 1 est toujours positif. La calculatrice indique l’ensemble vide.

Une inéquation peut-elle être vraie pour tous les nombres réels ?

Oui. Par exemple, x au carré supérieur ou égal à 0 est vrai pour tout x réel, et la calculatrice répond par la droite réelle entière.

Essayez la calculatrice d’inéquations

Saisissez une inéquation et obtenez les valeurs critiques, le tableau de signes et la solution sous forme d’intervalles.

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