Calculatrices d’algèbre linéaire
L’algèbre linéaire est la mathématique des vecteurs et des matrices, et elle se cache derrière tout, de la résolution de systèmes d’équations à l’infographie et à la science des données. Ces calculatrices travaillent avec des fractions exactes : les opérations sur les lignes, les développements par cofacteurs et les polynômes caractéristiques qu’elles affichent correspondent à ce que vous écririez à la main.
Calculatrices
Calculatrice de matrices
Multipliez, additionnez ou soustrayez des matrices, multipliez-en une par un scalaire ou élevez-la à une puissance, transposez-la, mettez-la sous forme échelonnée réduite ou calculez son rang et sa trace, avec des fractions exactes et toutes les étapes.
Calculatrice de déterminant
Saisissez une matrice carrée pour calculer son déterminant, avec la règle ad − bc pour 2×2, le développement par cofacteurs pour 3×3 et la réduction à une forme triangulaire par le pivot de Gauss pour les tailles supérieures, en arithmétique exacte.
Calculatrice de matrice inverse
Saisissez une matrice carrée pour calculer son inverse avec des fractions exactes, grâce au raccourci des 2×2 ou à l’élimination de Gauss-Jordan sur [A | I], et vérifiez que A multipliée par son inverse donne l’identité.
Calculatrice de valeurs propres
Saisissez une matrice carrée pour calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres, avec le polynôme caractéristique, les racines exactes, radicaux et couples complexes compris, et le calcul du noyau pour chaque vecteur propre.
Calculatrice de produit scalaire
Saisissez deux vecteurs pour obtenir leur produit scalaire, leurs normes, l’angle qu’ils forment et la projection de l’un sur l’autre, avec chaque multiplication et chaque addition sous les yeux.
Calculatrice de produit vectoriel
Saisissez deux vecteurs de l’espace pour obtenir leur produit vectoriel par la méthode du déterminant, sa norme, qui est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent, et une vérification qu’il est orthogonal aux deux.
Notions abordées
- Opérations sur les matrices
- Somme, produit, transposée, rang et pivot de Gauss.
- Déterminants et inverses
- Développement par cofacteurs, méthode de Gauss-Jordan et cas où une matrice n’est pas inversible.
- Valeurs propres
- Polynôme caractéristique, vecteurs propres et multiplicités.
- Vecteurs
- Produit scalaire, angle entre deux vecteurs, projections et produit vectoriel.
Une arithmétique exacte pour les matrices
Les calculs matriciels se dégradent facilement lorsque l’on arrondit des décimaux à chaque étape. Ces calculatrices utilisent des fractions exactes du début à la fin : une réduction par le pivot de Gauss ou une matrice inverse s’affiche sous la forme que vous obtiendriez à la main, et un coefficient comme ne devient jamais . Lorsqu’un résultat, comme une valeur propre, est irrationnel, la forme exacte avec radicaux est donnée avec une valeur approchée.
Chaque opération est détaillée étape par étape : l’opération sur les lignes appliquée, le cofacteur développé ou le polynôme caractéristique en cours de factorisation. Les outils sont donc utiles pour corriger des devoirs, où une seule erreur de signe au début d’un calcul modifie toutes les lignes suivantes.
Où l’algèbre linéaire est utilisée
Les systèmes d’équations linéaires, l’infographie, l’apprentissage automatique, l’économie et la physique quantique reposent sur les vecteurs et les matrices. Un déterminant indique si un système a une solution unique, les valeurs propres décrivent le comportement à long terme d’un processus, le produit scalaire mesure des angles et des projections, et le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal à deux autres. Comprendre ces opérations à la main rend bien plus facile l’interprétation des résultats de n’importe quel logiciel.
Guides
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