Distance entre deux points — Calculatrice avec la formule de la distance

Q: Quelle est la formule de la distance ?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Elle donne la longueur du segment qui relie les deux points.

Q: Pourquoi le résultat est-il une racine carrée ?

Quand Δ x^2 + Δ y^2 n’est pas un carré parfait, la distance exacte est irrationnelle. La calculatrice simplifie le radical et donne aussi sa valeur décimale.

Q: La formule de la distance fonctionne-t-elle dans l’espace ?

Oui, avec un troisième terme : d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Cette calculatrice travaille avec des points du plan, saisissez donc uniquement les coordonnées x et y.

À propos de la calculatrice de distance entre deux points

La formule de la distance, c’est le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées. Les écarts horizontal et vertical entre deux points forment les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, et la distance en est l’hypoténuse.

Cette calculatrice simplifie la racine carrée de façon exacte : de $(−2, 1)$ à $(3, −3)$ , elle donne $\sqrt{41}$ , et de $(0,0)$ à $(1, 3)$ , elle donne $\sqrt{10}$ , et pas seulement un décimal arrondi.

Qu’est-ce que la formule de la distance ?

La formule de la distance donne la longueur du segment qui relie deux points d’un repère orthonormé. Si les points sont $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ , leur écart horizontal vaut $x_2 - x_1$ et leur écart vertical $y_2 - y_1$ . Si l’on trace ces deux écarts, ils forment les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le segment à mesurer.

Le théorème de Pythagore affirme alors que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, et la racine carrée donne la distance. Le résultat est toujours nul ou positif, ne dépend pas de l’ordre des points et s’exprime dans la même unité que les coordonnées.

On s’en sert, par exemple, pour trouver les longueurs des côtés d’un triangle tracé sur un quadrillage, le rayon d’un cercle à partir de son centre et d’un de ses points, ou la distance à vol d’oiseau entre deux lieux sur une carte.

Comment utiliser la calculatrice de distance entre deux points

Saisissez le premier point (x₁, y₁).
Saisissez le second point (x₂, y₂).
Lancez le calcul pour voir les écarts, leurs carrés, la somme et la racine simplifiée.

Formules

Formule de la distance

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Théorème de Pythagore

a^2 + b^2 = c^2

Milieu d’un segment

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Exemple corrigé: (1, 2) et (4, 6)

L’exemple résolu mesure la distance de (1, 2) à (4, 6). Les écarts valent $\Delta x = 3$ et $\Delta y = 4$ , leurs carrés 9 et 16, et leur somme 25, donc $d = \sqrt{25} = 5$ : c’est le célèbre triangle rectangle 3-4-5. La calculatrice donne aussi le milieu, (2.5, 4), et vérifie que $d^2$ est égal à $\Delta x^2 + \Delta y^2$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

d = 5

Comment nous avons lu votre problème

Calculer la distance (euclidienne) en ligne droite entre deux points du plan.

Solution étape par étape

Nommer les points
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Calculer les écarts horizontal et vertical
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Élever les écarts au carré et les additionner
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Prendre la racine carrée
$d = \sqrt{25} = 5$
Milieu (moyenne des coordonnées)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Formules utilisées

Formule de la distance
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Coordonnées du milieu
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les écarts horizontal et vertical entre les points.

Vérification

d² = 25 correspond à Δx² + Δy² = 25

Explication détaillée

Radicaux exacts

La plupart des couples de points ne donnent pas une distance entière. De (−2, 1) à (3, −3), les écarts valent 5 et −4, la somme des carrés vaut 41 et, comme 41 n’a aucun facteur carré, la réponse exacte est $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . De (1, 1) à (7, 7), la somme des carrés vaut 72 et, comme $72 = 36 \times 2$ , la calculatrice simplifie la racine en $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Garder le radical exact est important lorsque la distance sert à un calcul ultérieur, comme un périmètre ou une aire.

Distance, milieu et cercles

Le milieu est la moyenne des coordonnées et se trouve exactement à mi-chemin sur le segment : sa distance à chaque extrémité vaut $\frac{d}{2}$ . La formule de la distance est aussi l’équation d’un cercle déguisée : les points situés à la distance $r$ d’un centre $(h, k)$ vérifient $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Pour savoir si un point est à l’intérieur, à l’extérieur ou sur un cercle, comparez sa distance au centre avec le rayon.

Pourquoi le carré fait disparaître le signe

Un écart comme $\Delta y = -4$ peut être négatif selon l’ordre des points, mais une longueur ne l’est jamais. En élevant au carré, tous les écarts deviennent positifs ou nuls, donc $(-4)^2$ et $4^2$ donnent 16, et la racine carrée finale renvoie un nombre positif. C’est aussi pourquoi échanger les deux points ne change jamais le résultat. Le même raisonnement explique pourquoi il ne suffit pas d’additionner $|\Delta x| + |\Delta y|$ : c’est la distance parcourue le long d’un quadrillage de rues, plus grande que la ligne droite sauf si l’un des écarts est nul.

Erreurs fréquentes

Oublier que le carré d’un écart négatif est positif.
Prendre la racine carrée de chaque terme séparément : $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
Mélanger une abscisse et une ordonnée dans une soustraction.
Soustraire les coordonnées mais oublier de les élever au carré avant d’additionner.
Arrondir la racine carrée trop tôt et réutiliser la valeur arrondie dans les étapes suivantes.

Conseils

Repérez les triplets pythagoriciens comme 3-4-5 et 5-12-13 pour reconnaître les distances entières.
Une distance n’est jamais négative et ne vaut zéro que lorsque les points sont confondus.
Simplifiez $\sqrt{n}$ en sortant le plus grand facteur carré : $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Les segments horizontaux ou verticaux n’ont pas besoin de la formule : la distance est simplement l’écart de la coordonnée qui varie.
Pour comparer deux longueurs, comparez les distances au carré au lieu de calculer la racine.
Gardez la forme exacte, comme $\sqrt{41}$ , jusqu’à la dernière étape et n’arrondissez que le résultat final.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la distance ?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Elle donne la longueur du segment qui relie les deux points.

Quel est le lien avec le théorème de Pythagore ?

Les écarts en x et en y forment les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ; la distance est l’hypoténuse, donc $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Pourquoi le résultat est-il une racine carrée ?

Quand $\Delta x^2 + \Delta y^2$ n’est pas un carré parfait, la distance exacte est irrationnelle. La calculatrice simplifie le radical et donne aussi sa valeur décimale.

L’ordre de saisie des points a-t-il de l’importance ?

Non. Chaque écart est élevé au carré, donc échanger les points donne la même distance.

Puis-je utiliser des coordonnées négatives ou décimales ?

Oui. Les valeurs négatives et décimales sont traitées de façon exacte jusqu’à la racine carrée finale.

Comment trouver aussi le milieu du segment ?

Faites la moyenne des abscisses et celle des ordonnées. La calculatrice affiche le milieu à côté de la distance.

Comment simplifier la racine carrée d’une distance ?

Sortez le plus grand facteur carré parfait du nombre sous la racine. La distance de (1, 1) à (7, 7) vaut $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

La formule de la distance fonctionne-t-elle dans l’espace ?

Oui, avec un troisième terme : $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Cette calculatrice travaille avec des points du plan, saisissez donc uniquement les coordonnées x et y.

Comment vérifier si trois points forment un triangle rectangle ?

Calculez les longueurs des trois côtés avec la formule de la distance et vérifiez si la somme des carrés des deux plus petits côtés est égale au carré du plus grand. Si c’est le cas, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore).

Essayez la calculatrice de distance entre deux points

Saisissez deux points et obtenez la distance exacte, sa valeur décimale et le milieu étape par étape.

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Calculatrice de distance entre deux points