Comment résoudre n’importe quel triangle, cas par cas

Ce que signifie résoudre un triangle

Tout triangle possède six éléments : trois côtés et trois angles. En général, si l’on en connaît trois, dont au moins un côté, le triangle est déterminé et les trois autres peuvent être calculés. Connaître seulement les trois angles ne suffit pas, car des triangles semblables de toutes tailles ont les mêmes angles ; ce cas est parfois appelé AAA et n’a pas de solution unique.

On décrit les données dans l’ordre où elles apparaissent en faisant le tour du triangle. ACA signifie deux angles et le côté compris entre eux ; CAC, deux côtés et l’angle compris. Les six configurations possibles, et l’outil adapté à chacune, sont :

• Triangle rectangle avec deux autres données quelconques : rapports trigonométriques et théorème de Pythagore.
• AAC ou ACA : somme des angles, puis loi des sinus.
• CAC : loi des cosinus pour le troisième côté, puis les angles restants.
• CCC : loi des cosinus pour les angles.
• CCA : loi des sinus, en vérifiant s’il y a zéro, un ou deux triangles.
• AAA : seulement la forme, sans taille unique.

Faites toujours une figure et notez-y les données avant de choisir une méthode. La plupart des erreurs viennent d’un côté associé au mauvais angle.

Triangle rectangle : sinus, cosinus et tangente

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\theta$, les trois rapports trigonométriques relient l’angle aux côtés : le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse.

Pour trouver un angle, utilisez une fonction réciproque. Dans le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, le plus petit angle aigu mesure $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$.

Deux angles et un côté (AAC, ACA)

Trouvez le troisième angle par soustraction à partir de $180^\circ$. Vous avez alors tous les angles et un côté, ce qui forme un couple complet pour la loi des sinus :

Ces cas ont toujours exactement une solution, pourvu que la somme des deux angles donnés soit inférieure à $180^\circ$.

Deux côtés et l’angle compris (CAC)

Utilisez la loi des cosinus pour trouver le côté opposé à l’angle connu. Cherchez ensuite un deuxième angle. Le plus sûr est de choisir l’angle opposé au plus petit des deux côtés de départ, car il est forcément aigu et l’arc sinus le donne sans ambiguïté.

Trois côtés (CCC)

Vérifiez d’abord que les côtés respectent l’inégalité triangulaire : chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres. Utilisez ensuite la forme cosinus de la loi des cosinus, en commençant par l’angle opposé au plus long côté :

Deux côtés et un angle non compris (CCA)

C’est le cas ambigu. Isolez l’angle inconnu avec la loi des sinus, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$, puis analysez le résultat :

• Si $\sin B > 1$, aucun triangle n’existe.
• Si $\sin B = 1$, il y a un triangle rectangle.
• Si $\sin B < 1$, essayez à la fois $B$ et $180^\circ - B$. Chaque valeur qui laisse un troisième angle positif donne un triangle valable.

Par exemple, $A = 30^\circ$, $a = 6$ et $b = 10$ donnent $\sin B = \frac{5}{6}$, donc $B \approx 56.44^\circ$ ou $123.56^\circ$. Les deux laissent de la place pour un troisième angle : il y a donc deux triangles. L’article sur la loi des sinus les résout entièrement, ainsi que les cas sans triangle et avec un seul triangle.

Angles d’élévation et de dépression

Beaucoup de problèmes concrets décrivent des angles mesurés à partir de l’horizontale. Un angle d’élévation se mesure vers le haut jusqu’à un objet ; un angle de dépression, vers le bas. Comme les horizontales passant par l’observateur et par l’objet sont parallèles, l’angle de dépression de A vers B est égal à l’angle d’élévation de B vers A.

Les problèmes à deux visées, comme l’observation du sommet d’un immeuble depuis deux points au sol, se résolvent en combinant un triangle rectangle et un triangle quelconque, souvent en appliquant la loi des sinus dans le triangle quelconque.

Liste de vérifications pour chaque réponse

• La somme des trois angles vaut $180^\circ$.
• Le plus long côté est en face du plus grand angle, et le plus court en face du plus petit.
• Chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
• Recalculer un côté avec l’autre loi donne la même valeur, aux arrondis près.
• Les réponses ne sont arrondies qu’à la fin, avec la précision demandée par l’énoncé.

Une fois le triangle résolu, son aire s’obtient avec $\frac{1}{2}ab\sin C$, en utilisant deux côtés quelconques et l’angle qu’ils forment. La calculatrice de la loi des cosinus résout pas à pas tous les cas de triangles quelconques, et la calculatrice de distance entre deux points traite les triangles donnés par leurs coordonnées.

Arrondis et précision

Les problèmes de triangles enchaînent plusieurs calculs : de petites erreurs d’arrondi au début peuvent devenir des écarts visibles à la fin. Gardez toute la précision de la calculatrice pour chaque valeur intermédiaire, soit en stockant les résultats en mémoire, soit en notant au moins quatre chiffres significatifs. N’arrondissez que les réponses finales, avec la précision demandée par l’énoncé : en général un ou deux chiffres après la virgule pour les angles en degrés, et un nombre raisonnable de chiffres significatifs pour les longueurs.

À cause des arrondis, la somme des trois angles obtenus peut valoir $179.9^\circ$ ou $180.1^\circ$. Ce n’est pas une erreur de méthode. Mais si la somme s’écarte d’un degré entier ou plus, quelque chose a mal tourné, presque toujours un côté associé au mauvais angle ou une solution obtuse passée inaperçue. Un second calcul indépendant, par exemple trouver le dernier côté avec les deux lois, est le moyen le plus fiable de confirmer que la réponse est juste.

Questions fréquentes