Formules et identités trigonométriques : la liste essentielle et comment s’en servir

Identités et équations

L’égalité $\sin x = \frac{1}{2}$ n’est vraie que pour certains angles : c’est une équation à résoudre. L’égalité $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ est vraie pour tout angle : c’est une identité, un outil qu’on utilise. Les identités servent à réécrire une expression sous une forme plus pratique sans en changer la valeur.

On peut toujours tester numériquement une identité supposée. Si elle échoue pour un seul angle, ce n’est pas une identité. Si elle est vérifiée pour plusieurs angles sans rapport entre eux, elle est probablement vraie, mais il faut une démonstration pour en être sûr. Ce réflexe numérique repère beaucoup d’erreurs de signe et vaut la peine d’être pris pendant l’apprentissage.

Les relations de base

Les relations d’inverse et de quotient définissent les quatre autres rapports à partir du sinus et du cosinus :

La relation fondamentale, ou identité pythagoricienne, provient de l’équation du cercle trigonométrique, $x^2 + y^2 = 1$, avec $x = \cos\theta$ et $y = \sin\theta$. En la divisant par $\cos^2 x$ ou par $\sin^2 x$, on obtient deux autres versions :

La symétrie du cercle trigonométrique donne les formules de parité, $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$ et $\tan(-x) = -\tan x$, et celles des angles complémentaires, comme $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Ces dernières expliquent les noms : le cosinus est le sinus du complémentaire. Le guide du cercle trigonométrique montre d’où vient chacune.

Formules d’addition et de soustraction

Ces formules expriment les rapports trigonométriques d’une somme ou d’une différence d’angles en fonction de chaque angle séparément. Elles sont à l’origine de presque toutes les autres formules.

Remarquez l’inversion de signe dans la formule du cosinus : le cosinus d’une somme comporte un signe moins. Une erreur classique consiste à croire que $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Un essai avec $A = B = \frac{\pi}{2}$ montre que c’est faux : le membre de gauche vaut $\sin\pi = 0$, mais celui de droite vaut 2.

De même, $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Formules de duplication et de linéarisation

En posant $B = A$ dans les formules d’addition, on obtient les formules de duplication. Le cosinus a trois formes équivalentes, obtenues en remplaçant $\sin^2$ ou $\cos^2$ grâce à la relation fondamentale.

En isolant les carrés dans les deux dernières formes, on obtient les formules de linéarisation, qui transforment des carrés en expressions du premier degré en l’angle double. Elles sont indispensables en analyse, où $\sin^2 x$ est difficile à intégrer directement.

Par exemple, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Remplacer $x$ par $\frac{x}{2}$ dans ces formules donne les formules de l’angle moitié, comme $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Comment démontrer une identité

Démontrer une identité, c’est transformer un membre, étape par étape, jusqu’à obtenir l’autre. Ne la traitez pas comme une équation en faisant la même chose des deux côtés : cela suppose acquis ce que vous cherchez à démontrer. Ces stratégies fonctionnent dans la plupart des cas :

1. Partez du membre le plus compliqué : il y a davantage à simplifier.
2. Exprimez tout en fonction du sinus et du cosinus.
3. Repérez les motifs issus de la relation fondamentale, comme $1 - \cos^2 x$, et remplacez-les.
4. Réduisez les fractions au même dénominateur, ou séparez une fraction en deux.
5. Factorisez, ou multipliez par une expression conjuguée comme $1 + \sin x$, quand une somme apparaît au dénominateur.
6. Gardez toujours en vue le membre à atteindre, pour que chaque étape vous en rapproche.

Une plus courte combine deux familles de formules : $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Utiliser les formules pour résoudre des équations

Les formules transforment souvent une équation trigonométrique en une équation du second degré portant sur un seul rapport. Résolvez cette équation, puis utilisez le cercle trigonométrique pour trouver tous les angles.

Évitez de diviser les deux membres par un rapport trigonométrique comme $\sin x$ : vous risquez de perdre les solutions où il s’annule. Ramenez tout dans un même membre et factorisez.

Les étapes de factorisation sont les mêmes que pour les équations du second degré ordinaires ; consultez comment résoudre une équation du second degré si vous avez besoin d’une révision.

Quelles formules apprendre par cœur

Inutile d’apprendre chaque formule séparément. Retenez la relation fondamentale, les formules d’addition du sinus et du cosinus et les définitions des quatre autres rapports. Tout le reste se retrouve en une ou deux lignes : les formules de duplication, à partir de celles d’addition avec $B = A$ ; les autres formes de la relation fondamentale, par division ; la linéarisation, en isolant le carré dans la formule de duplication du cosinus ; et les formules de soustraction, à partir de celles d’addition grâce aux formules de parité.

Sous la pression d’un examen, savoir retrouver une formule est plus fiable que s’en souvenir, car on peut la vérifier au fur et à mesure. De plus, beaucoup d’examens fournissent un formulaire : la vraie compétence évaluée est le choix de la formule à utiliser, et elle ne s’acquiert qu’en s’entraînant sur des problèmes variés.

Erreurs fréquentes

• Écrire $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ou $\sin 2x = 2\sin x$.
• Se tromper de signe dans $\cos(A + B)$, qui comporte un signe moins.
• Confondre $\sin^2 x$, qui signifie $(\sin x)^2$, avec $\sin(x^2)$.
• Travailler simultanément sur les deux membres d’une identité comme s’il s’agissait d’une équation.
• Diviser une équation par un rapport trigonométrique et perdre des solutions.

La calculatrice d’identités trigonométriques vérifie si deux expressions sont identiques et propose un chemin de simplification : un bon moyen de tester vos propres démonstrations.

Où les formules réapparaissent

Les formules de trigonométrie ne sont pas qu’un exercice du chapitre de trigonométrie. En analyse, la dérivée du sinus s’obtient avec la formule d’addition et deux limites, les intégrales de puissances du sinus et du cosinus reposent sur la linéarisation, et le changement de variable trigonométrique utilise $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ pour éliminer des racines comme $\sqrt{1 + x^2}$.

En physique et en ingénierie, la somme de deux ondes de même fréquence est une onde de cette même fréquence, et la formule d’addition montre exactement comment. Écrire $a\sin x + b\cos x$ sous la forme $R\sin(x + \varphi)$, avec $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, donne immédiatement l’amplitude de l’onde résultante. Par exemple, $3\sin x + 4\cos x$ a pour amplitude 5 : sa valeur maximale est 5 et sa valeur minimale $-5$. Développer $5\sin(x + \varphi)$ avec la formule d’addition et identifier les coefficients donne $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ et $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

Le traitement du signal, les rotations en infographie et les théorèmes utilisés pour résoudre des triangles reposent sur ce même petit ensemble de formules ; c’est pourquoi les maîtriser est rentable pendant des années, bien après la fin du chapitre de trigonométrie.

Questions fréquentes