La loi des sinus, cas ambigu compris

La formule et les conventions de notation

Notez $A$, $B$ et $C$ les angles d’un triangle, et $a$, $b$ et $c$ les côtés respectivement opposés à chacun d’eux. Le côté opposé à un angle est celui qui ne le touche pas. Avec cette convention, la loi des sinus s’énonce ainsi :

Ici, $R$ est le rayon du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit. On n’utilise jamais plus de deux des trois fractions à la fois : la loi est donc en réalité une proportion entre un côté, son angle opposé, un autre côté et l’angle opposé à celui-ci. On peut aussi l’écrire à l’envers, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, ce qui est plus pratique quand l’inconnue est un angle.

La loi s’applique à tout triangle, pas seulement aux triangles rectangles, et fait partie de ce qu’on appelle la trigonométrie dans le triangle quelconque. Dans un triangle rectangle avec $C = 90^\circ$, elle se réduit à la relation bien connue $\sin A = \frac{a}{c}$, car $\sin 90^\circ = 1$.

Pourquoi la loi des sinus est vraie

Tracez la hauteur issue du sommet $C$ sur le côté $c$ et notez $h$ sa longueur. Le triangle est ainsi partagé en deux triangles rectangles. Dans celui qui contient l’angle $A$, l’hypoténuse est $b$, donc $h = b\sin A$. Dans celui qui contient l’angle $B$, l’hypoténuse est $a$, donc $h = a\sin B$.

Les deux expressions donnent la même hauteur, donc $b\sin A = a\sin B$. En divisant les deux membres par $\sin A\sin B$, on obtient $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. En refaisant le raisonnement avec la hauteur issue d’un autre sommet, le côté $c$ apparaît. Si l’angle $A$ est obtus, le pied de la hauteur tombe à l’extérieur du triangle, mais les mêmes égalités restent vraies car $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

La même hauteur donne la formule de l’aire. L’aire vaut la moitié de la base fois la hauteur, donc avec la base $c$ et la hauteur $b\sin A$ :

Par exemple, un triangle dont deux côtés de 8 et 11 forment un angle de $50^\circ$ a une aire de $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ unités d’aire.

Quand l’utiliser : cas AAC et ACA

La loi des sinus demande au moins un couple complet : un côté et son angle opposé. Si l’on connaît deux angles, on connaît le troisième, car la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$. Tout problème donnant deux angles et un côté peut donc se résoudre avec la loi des sinus. Ces cas sont appelés AAC (angle, angle, côté) et ACA (angle, côté, angle).

Utilisez dans tous les calculs le côté donné, et non un côté que vous avez calculé et arrondi. Vous évitez ainsi l’accumulation des erreurs d’arrondi.

Le cas ambigu (CCA)

Lorsqu’on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux, les données peuvent ne décrire aucun triangle, en décrire exactement un ou en décrire deux différents. La raison : un angle aigu et son supplémentaire ont le même sinus, donc la résolution de $\sin B = k$ fait apparaître deux angles candidats, $B$ et $180^\circ - B$, qui peuvent être valables tous les deux.

Supposons l’angle $A$ aigu, $a$ le côté qui lui est opposé et $b$ l’autre côté connu. Calculez la hauteur $h = b\sin A$. Alors :

• Si $a < h$, le côté est trop court pour atteindre la base : aucun triangle.
• Si $a = h$, il l’atteint tout juste : un triangle rectangle.
• Si $h < a < b$, il peut pivoter jusqu’à deux positions : deux triangles.
• Si $a \ge b$, une seule position convient : un triangle.

Si $A$ est obtus, il y a un triangle lorsque $a > b$ et aucun sinon, car le côté opposé à l’angle obtus doit être le plus long.

Un problème de topographie

Les géomètres utilisent la loi des sinus pour mesurer des distances qu’ils ne peuvent pas parcourir à pied. Deux points $P$ et $Q$ situés sur une rive d’une rivière sont distants de 100 m. Sur la rive opposée se trouve un arbre $T$. L’angle en $P$ entre la rive et la visée vers l’arbre mesure $52^\circ$, et en $Q$ il mesure $71^\circ$.

Cette même idée de triangulation, répétée sur de vastes réseaux de triangles, a permis de cartographier des pays entiers avant l’existence du positionnement par satellite, et elle reste à la base de la façon dont les récepteurs GPS et les réseaux de téléphonie mobile estiment une position à partir d’angles et de distances.

Loi des sinus ou loi des cosinus ?

Regardez les données. Si vous avez un côté et son angle opposé, plus une autre donnée, utilisez la loi des sinus. Si vous avez deux côtés et l’angle compris entre eux (CAC), ou les trois côtés (CCC), vous ne disposez d’aucun couple complet : commencez alors par la loi des cosinus, aussi appelée théorème d’Al-Kashi. Après une application de la loi des cosinus, vous aurez en général un couple et la loi des sinus pourra terminer le travail, mais il est plus sûr de calculer d’abord le plus grand angle avec la loi des cosinus pour éviter l’ambiguïté de l’arc sinus.

La démarche de décision complète, cas par cas, est exposée dans notre guide pour résoudre un triangle. Pour les valeurs des angles, le cercle trigonométrique explique pourquoi $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, ce qui est à l’origine du cas ambigu.

Erreurs fréquentes

• Associer un côté à un angle qui ne lui est pas opposé. Faites d’abord une figure légendée.
• Oublier la seconde solution, $180^\circ - B$, dans le cas CCA.
• Accepter une seconde solution pour laquelle la somme des angles dépasse $180^\circ$.
• Utiliser la calculatrice en mode radians avec des angles en degrés.
• Trop arrondir les angles intermédiaires, ce qui peut modifier sensiblement les côtés finaux.

Un test rapide de vraisemblance détecte la plupart des erreurs : le plus long côté doit être opposé au plus grand angle, et le plus court au plus petit. La calculatrice de la loi des cosinus résout n’importe quel triangle à partir de trois données et indique les deux solutions dans le cas ambigu : vous pouvez ainsi vérifier votre travail.

Questions fréquentes