Cercle trigonométrique — Valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente

À propos de la calculatrice du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique transforme la trigonométrie en coordonnées. Chaque angle correspond à un point d’un cercle de rayon 1, et le cosinus et le sinus de l’angle sont tout simplement l’abscisse $x$ et l’ordonnée $y$ de ce point. Retenir quelques points remarquables puis utiliser la symétrie donne des valeurs exactes pour des dizaines d’angles sans calculatrice.

Cette calculatrice fait ce raisonnement pour vous. Elle convertit l’angle de degrés en radians ou inversement, le ramène à un tour, trouve le quadrant et l’angle de référence et lit des valeurs exactes comme $\frac{\sqrt3}{2}$ pour les angles remarquables. Pour les autres angles, elle donne des décimales précises. Elle indique aussi la tangente, la sécante, la cosécante et la cotangente, et signale quand l’une d’elles n’est pas définie.

Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?

Le cercle trigonométrique est le cercle $x^2 + y^2 = 1$ , de centre l’origine et de rayon 1. Un angle $\theta$ se mesure à partir du demi-axe des $x$ positifs, dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre) s’il est positif et dans le sens indirect s’il est négatif. Le point où son côté terminal coupe le cercle est $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Comme ce point est sur le cercle, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ pour tout angle : c’est la relation fondamentale de la trigonométrie. La tangente est le quotient $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , la pente du côté terminal, et les fonctions inverses sont $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Comment utiliser la calculatrice du cercle trigonométrique

Saisissez l’angle, par exemple 150, -30 ou 5pi/4.
Choisissez degrés ou radians.
Lancez le calcul.
Lisez le quadrant, l’angle de référence et les coordonnées exactes.
Utilisez les valeurs de la tangente et des fonctions inverses affichées sous les coordonnées.

Formules

Point du cercle

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Des degrés aux radians

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{degrés}} \cdot \frac{\pi}{180}

Relation fondamentale de la trigonométrie

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Exemple corrigé: θ = 150°

L’exemple utilise $\theta = 150°$ . L’angle se trouve dans le deuxième quadrant, où $x$ est négatif et $y$ positif, et son angle de référence est $180° - 150° = 30°$ .

Le point associé à $30°$ est $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . En appliquant les signes du deuxième quadrant, on obtient $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , et en divisant le sinus par le cosinus, $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Comment nous avons lu votre problème

Valeurs sur le cercle trigonométrique pour 150°

\theta = 150^\circ

Solution étape par étape

Convertir les degrés en radians (multiplier par π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Situer le côté terminal : dans le deuxième quadrant
Dans le deuxième quadrant, le sinus est positif et le cosinus négatif (règle des signes par quadrant).
Angle de référence (angle aigu avec l’axe des abscisses)
$\theta_{\text{réf}} = 30^\circ$
Lire les coordonnées exactes à partir de l’angle de référence et appliquer les signes du quadrant
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tangente = sinus ÷ cosinus
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Fonctions inverses (sécante, cosécante, cotangente)
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Formules utilisées

Point du cercle trigonométrique
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tangente et fonctions inverses
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Degrés et radians
$\text{rad} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) se termine dans le deuxième quadrant avec un angle de référence de 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Vérification

cos²θ + sin²θ = 1 (doit être égal à 1).

Explication détaillée

Angles remarquables

Trois angles aigus ont des valeurs exactes simples. En $30°$ le point est $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , en $45°$ il est $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ et en $60°$ il est $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Ces valeurs proviennent des triangles d’angles 30-60-90 et 45-45-90 degrés. Avec les angles des axes, $0°$ , $90°$ , $180°$ et $270°$ , elles donnent les seize points bien connus du cercle trigonométrique.

Angles de référence et signes selon le quadrant

Tout angle possède un angle de référence : l’angle aigu que forme son côté terminal avec l’axe des $x$ . Les coordonnées de l’angle ont la même valeur absolue que celles de son angle de référence ; seuls les signes changent selon le quadrant. Dans le premier quadrant, les deux sont positives ; dans le deuxième, seul le sinus est positif ; dans le troisième, seule la tangente ; dans le quatrième, seul le cosinus. Ainsi, $\frac{5\pi}{4}$ , qui correspond à $225°$ dans le troisième quadrant avec un angle de référence de $45°$ , donne $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Les angles supérieurs à un tour complet ou négatifs sont d’abord ramenés en ajoutant ou en retranchant $360°$ . La calculatrice ramène $765°$ à $45°$ et traite $-30°$ comme $330°$ dans le quatrième quadrant, où le point est $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Valeurs non définies et angles non remarquables

La tangente et la sécante divisent par le cosinus : elles ne sont donc pas définies lorsque le côté terminal est vertical, en $90°$ et $270°$ . La cotangente et la cosécante divisent par le sinus et ne sont pas définies en $0°$ et $180°$ . La calculatrice signale ces cas au lieu d’afficher un nombre dénué de sens.

La plupart des angles, comme $20°$ , n’ont pas d’expression simple avec des radicaux. Pour eux, la calculatrice donne des valeurs décimales, tout en utilisant le quadrant et l’angle de référence pour que vous compreniez d’où viennent les signes.

Erreurs fréquentes

Inverser les coordonnées : le cosinus est l’abscisse $x$ et le sinus l’ordonnée $y$ .
Utiliser le mode degrés pour un angle écrit avec $\pi$ , ou le mode radians pour un angle en degrés.
Mesurer l’angle de référence à partir de l’axe des $y$ au lieu de l’axe des $x$ .
Appliquer le signe d’un autre quadrant ; retenez quelles fonctions sont positives dans chacun.
Écrire $\tan 90°$ comme un très grand nombre au lieu d’indiquer qu’elle n’est pas définie.

Conseils

Apprenez les valeurs en $30°$ , $45°$ et $60°$ ; tout le reste se déduit par symétrie.
Comptez en multiples de $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{4}$ pour placer rapidement les angles en radians.
Rationalisez si nécessaire : $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Contrôlez les résultats avec $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Utilisez la calculatrice d’identités trigonométriques pour démontrer des relations entre ces fonctions.

Questions fréquentes

Quelles sont les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique ?

Pour un angle θ, le point est (cos θ, sin θ). L’abscisse x est le cosinus et l’ordonnée y est le sinus.

Comment trouver l’angle de référence ?

Ramenez l’angle entre 0° et 360° et mesurez l’angle aigu avec l’axe des x : θ dans le premier quadrant, 180° − θ dans le deuxième, θ − 180° dans le troisième et 360° − θ dans le quatrième.

Puis-je saisir des angles en radians ?

Oui. Choisissez radians et écrivez des expressions comme pi/3 ou 5pi/4. La calculatrice convertit les radians en degrés dans les étapes.

Pourquoi tan 90° n’est-elle pas définie ?

La tangente est le sinus divisé par le cosinus, et cos 90° = 0. La division par zéro n’est pas définie, donc tan 90° et sec 90° n’ont pas de valeur.

La calculatrice accepte-t-elle les angles négatifs et supérieurs à 360° ?

Oui. Elle les ramène à un angle équivalent sur un tour. Par exemple, 765° est ramené à 45° et −30° est traité comme 330°.

Et pour les angles qui ne sont pas remarquables ?

Pour des angles comme 20°, il n’existe pas de forme exacte simple : la calculatrice affiche donc des valeurs décimales et explique toujours le quadrant et l’angle de référence.

Quelles fonctions trigonométriques sont positives dans chaque quadrant ?

Toutes sont positives dans le premier quadrant ; le sinus et la cosécante dans le deuxième ; la tangente et la cotangente dans le troisième ; le cosinus et la sécante dans le quatrième.

Comment retenir les signes selon le quadrant ?

Parcourez les quadrants dans le sens direct à partir du premier : dans le premier, toutes les fonctions sont positives ; dans le deuxième, le sinus ; dans le troisième, la tangente ; dans le quatrième, le cosinus. La calculatrice rappelle cette règle à l’étape du quadrant pour que vous associiez chaque signe à son quadrant.

Essayez la calculatrice du cercle trigonométrique

Saisissez un angle et obtenez son point, ses valeurs trigonométriques exactes et son angle de référence.

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Calculatrice du cercle trigonométrique