Calculatrice d’identités trigonométriques

À propos de la calculatrice d’identités trigonométriques

Démontrer des identités trigonométriques fait partie des exercices les plus redoutés du lycée. Il y a des dizaines de formules à retenir, aucune première étape évidente, et une démonstration peut tourner en rond sur une demi-page avant d’aboutir ou de s’effondrer. Beaucoup d’élèves connaissent parfaitement les formules et restent pourtant bloqués, faute de voir laquelle appliquer ensuite.

Cette calculatrice supprime le tâtonnement en suivant toujours la même stratégie fiable. Elle réécrit les deux membres avec uniquement $\sin x$ et $\cos x$ , développe les angles multiples comme $2x$ et $3x$ , ramène tout dans un seul membre sur un dénominateur commun, puis remplace chaque $\cos^2 x$ par $1 - \sin^2 x$ . Si le numérateur s’annule, l’identité est démontrée ; sinon, l’égalité n’est pas une identité, et la calculatrice montre un angle précis où les deux membres diffèrent.

Vous pouvez aussi saisir une expression sans signe égal. La calculatrice la simplifie alors par la même méthode et reconnaît les résultats connus ; par exemple, elle transforme $\tan x + \cot x$ en $\sec x \csc x$ . La méthode est mécanique, et c’est justement l’idée : une fois que vous avez compris son fonctionnement, vous pouvez l’appliquer à la main à n’importe quelle identité d’une feuille d’exercices.

Qu’est-ce qu’une identité trigonométrique ?

Une identité trigonométrique est une égalité entre fonctions trigonométriques vraie pour toute valeur de la variable où les deux membres sont définis. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ est une identité ; $\sin x = \frac12$ est une équation vérifiée seulement pour certains angles, ce n’en est donc pas une.

La précision « où les deux membres sont définis » est importante. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ est une identité bien qu’aucun des deux membres n’existe en $x = 90°$ , car l’égalité est vraie pour tous les angles où les expressions ont un sens. Une démonstration prouve donc que les deux membres coïncident là où ils sont définis, et non pour tout nombre réel.

Les identités sont des outils, pas une fin en soi. On s’en sert pour simplifier des expressions avant d’intégrer, pour résoudre des équations trigonométriques, pour réécrire des signaux en physique et en ingénierie et pour transformer des produits de sinus et de cosinus en sommes. Reconnaître que deux expressions d’apparence différente sont en réalité la même est une compétence utile tout au long de l’analyse.

Comment utiliser la calculatrice d’identités trigonométriques

Pour démontrer une identité, écrivez une égalité avec un seul signe égal, comme 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2.
Pour simplifier, écrivez une expression sans signe égal, comme tan(x) + cot(x).
Utilisez une seule variable, en général $x$ . Les fonctions s’écrivent avec leur abréviation internationale (sin pour le sinus, cot pour la cotangente) et les puissances sous la forme sin(x)^2 ou sin^2(x).
Les angles multiples comme 2x et 3x sont acceptés, ainsi que les décalages d’un multiple de pi/2 comme x + pi/2.
Lancez le calcul et lisez les étapes ; si l’identité est fausse, repérez l’angle du contre-exemple.

Formules

Relation fondamentale de la trigonométrie

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Identités du quotient

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Identités des inverses

\sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

Formules de duplication

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Décalage d’un quart de tour

\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x,\quad \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x

Exemple corrigé: Démontrer 1 + tan²x = sec²x

L’exemple démontre $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ . Le membre de gauche devient $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ et le membre de droite $\frac{1}{\cos^2 x}$ : toutes les fonctions sont désormais des sinus ou des cosinus.

En soustrayant les membres sur le dénominateur commun $\cos^2 x$ , on obtient le numérateur $\cos^2 x + \sin^2 x - 1$ . En remplaçant $\cos^2 x$ par $1 - \sin^2 x$ , tous les termes s’annulent : le numérateur est identiquement nul et l’identité est vraie dès que $\cos x \neq 0$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

1+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}

Comment nous avons lu votre problème

Démontrer une identité trigonométrique

1+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}

Solution étape par étape

Tout réécrire en fonction de sin x et de cos x
Identités utilisées :
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
Membre de gauche en sinus et cosinus
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Membre de droite en sinus et cosinus
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Soustraire les membres et écrire la différence sur un dénominateur commun
L’identité est vraie exactement lorsque ce numérateur est nul pour toute valeur de la variable.
$\text{membre de gauche} - \text{membre de droite} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
Remplacer chaque cos²x par 1 − sin²x et regrouper les termes
$N = 0$
Le numérateur est identiquement nul
Tous les termes s’annulent après utilisation de sin² + cos² = 1 : les deux membres sont donc égaux partout où ils sont définis.

Formules utilisées

Relation fondamentale de la trigonométrie
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Identités du quotient et des inverses
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta}$
Formules de duplication
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

Après avoir réécrit les deux membres avec des sinus et des cosinus et remplacé cos² par 1 − sin², la différence des deux membres vaut exactement 0 : 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2 est donc vraie pour tout x où les deux membres sont définis.

Vérification

Vérification numérique en 10 valeurs tests : les deux membres coïncident.

Explication détaillée

La stratégie sinus-cosinus

Toute fonction trigonométrique peut s’écrire à l’aide du sinus et du cosinus ; tout ramener à ces deux fonctions place donc les deux membres d’une identité dans un langage commun. La tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante deviennent des fractions, et le problème se ramène à des fractions algébriques en $\sin x$ et $\cos x$ .

Une fois les deux membres écrits sous forme de fractions, les soustraire et les réduire au même dénominateur transforme l’identité en une seule affirmation : un certain numérateur doit être nul. Inutile d’étudier davantage les dénominateurs, car ils indiquent seulement où les expressions de départ n’étaient pas définies.

Le dernier obstacle est que $\sin x$ et $\cos x$ ne sont pas indépendants : ils sont liés par $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Remplacer chaque puissance paire du cosinus par des puissances de $1 - \sin^2 x$ élimine ce lien des puissances paires. Après regroupement des termes semblables, une identité vraie ne laisse rien. C’est pourquoi la méthode aboutit toujours à une réponse nette pour les expressions qu’elle accepte, contrairement à l’approche par essais et erreurs qui consiste à choisir un membre et à le transformer pas à pas.

Angles multiples et décalages

Les angles comme $2x$ et $3x$ sont d’abord développés en fonctions de $x$ lui-même. Les formules de duplication donnent $\sin 2x$ et $\cos 2x$ , et l’utilisation répétée des formules d’addition donne $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ . La calculatrice vérifie cette identité, ainsi que $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , exactement par le même procédé que toute autre saisie.

Les décalages d’un multiple de $\frac{\pi}{2}$ sont traités avec les formules des angles associés. De manière générale, la calculatrice accepte tout angle de la forme $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ avec $k$ et $m$ entiers. Les angles moitiés comme $\frac{x}{2}$ et les décalages quelconques comme $x + 1$ ne peuvent pas se ramener à des polynômes en $\sin x$ et $\cos x$ ; la calculatrice les refuse donc avec une explication plutôt que de fournir une démonstration peu fiable.

La calculatrice travaille avec une seule variable. Une formule d’addition comme $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ comporte deux angles indépendants et sort de son champ d’action ; elle le signale au lieu de tenter la démonstration.

Réfuter une égalité

Si le numérateur ne se réduit pas à zéro, l’égalité n’est pas une identité. Pour le rendre concret, la calculatrice évalue les deux membres en un angle test et montre qu’ils diffèrent. Pour l’erreur classique $\sin 2x = 2\sin x$ , elle indique qu’en $x = 30°$ le membre de gauche vaut environ $0.866$ , alors que le membre de droite vaut $1$ .

Un seul contre-exemple suffit pour réfuter une identité, mais aucun nombre d’exemples concordants ne peut la démontrer. Deux expressions peuvent coïncider en de nombreux angles par hasard. C’est pourquoi la démonstration de la calculatrice est algébrique, et pourquoi vérifier quelques valeurs sur une courbe constitue un contrôle, pas une démonstration.

Simplifier des expressions

Sans signe égal, la calculatrice réécrit l’expression en sinus et cosinus, la réduit en une seule fraction, utilise la relation fondamentale et simplifie les facteurs communs. Elle compare ensuite le résultat à des formes connues. Pour $\tan x + \cot x$ , la fraction $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ se réduit à $\frac{1}{\sin x\cos x}$ , qu’elle reconnaît comme $\sec x\csc x$ .

En trigonométrie, il n’existe presque jamais une unique forme simplifiée correcte. $\sec x\csc x$ , $\frac{1}{\sin x\cos x}$ et $\frac{2}{\sin 2x}$ sont toutes équivalentes. La calculatrice choisit une forme compacte usuelle, et les étapes montrent les fractions intermédiaires pour que vous puissiez vous arrêter à la version demandée dans votre cours.

Rédiger une démonstration à la main

Beaucoup d’enseignants demandent de transformer un membre en l’autre plutôt que de soustraire les membres, car travailler sur les deux à la fois peut masquer des étapes non valides, comme une élévation au carré. Les étapes de la calculatrice se transposent directement dans ce style. Partez du membre le plus compliqué, réécrivez-le en sinus et cosinus, réduisez les fractions, appliquez $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ dans le sens qui convient et simplifiez jusqu’à retrouver l’autre membre.

Parmi les astuces utiles figurent la multiplication par la quantité conjuguée, comme pour démontrer $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ , la factorisation d’une différence de deux carrés, comme dans $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ , et la décomposition d’une fraction en plusieurs termes. La calculatrice confirme que ces deux identités sont vraies, ce qui vous permet de vous concentrer sur une présentation claire du raisonnement.

Erreurs fréquentes

Confondre $\sin 2x$ avec $2\sin x$ ; la formule de duplication donne $2\sin x\cos x$ .
Écrire $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ ; les fonctions trigonométriques ne sont pas additives.
Simplifier à travers une somme, par exemple réduire $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ à $1 + \cos x$ .
Élever les deux membres au carré pendant une démonstration, ce qui peut rendre vraie une affirmation fausse.
Vérifier quelques angles et considérer l’identité comme démontrée.

Conseils

Partez du membre le plus compliqué : il y a davantage à simplifier.
Ramenez tout aux sinus et cosinus quand aucune autre étape ne s’impose.
Cherchez un $\sin^2 x + \cos^2 x$ caché dans le numérateur après avoir réduit les fractions.
Multipliez par la quantité conjuguée quand $1 \pm \sin x$ ou $1 \pm \cos x$ apparaît au dénominateur.
Testez l’identité en un angle, comme $30°$ , avant de consacrer du temps à la démonstration.
Utilisez la calculatrice du cercle trigonométrique pour évaluer rapidement les deux membres en des angles remarquables.

Questions fréquentes

Comment la calculatrice démontre-t-elle une identité ?

Elle réécrit les deux membres en sinus et cosinus, les soustrait sur un dénominateur commun et remplace cos²x par 1 − sin²x. Si le numérateur s’annule, l’identité est vraie partout où les deux membres sont définis.

Que se passe-t-il si mon égalité n’est pas une identité ?

La calculatrice le signale et donne un contre-exemple, c’est-à-dire un angle où les deux membres prennent des valeurs différentes, comme x = 30° pour sin 2x = 2 sin x.

Peut-elle simplifier une expression trigonométrique sans signe égal ?

Oui. Saisissez seulement l’expression. Elle est réduite en une fraction, simplifiée avec sin²x + cos²x = 1 et comparée à une forme connue ; par exemple, tan x + cot x devient sec x csc x.

Quels angles sont acceptés ?

Les angles de la forme kx plus un multiple de π/2, avec k entier, comme 2x, 3x ou x + π/2. Les angles moitiés comme x/2 et les expressions à deux variables ne sont pas acceptés, et la calculatrice explique pourquoi.

Pourquoi la réponse précise-t-elle « là où les deux membres sont définis » ?

Certaines identités contiennent des fonctions non définies en certains angles, comme tan x en 90°. Une identité n’a besoin d’être vraie que là où les deux membres existent.

Peut-elle démontrer sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ?

Non. Cette formule comporte deux variables indépendantes et la calculatrice n’en traite qu’une. Elle le signale au lieu de tenter la démonstration.

Comment écrire une fonction trigonométrique au carré ?

La forme sin(x)^2 et la forme des manuels sin^2(x) conviennent toutes les deux ; la calculatrice les interprète comme le carré de sin x, le sinus de x. Il en va de même pour les cinq autres fonctions.

Suffit-il de regarder les courbes pour démontrer une identité ?

Non. Des courbes qui se superposent suggèrent fortement une identité, mais ne la démontrent pas. Il faut un raisonnement algébrique comme celui de la calculatrice ; en revanche, un seul désaccord suffit pour la réfuter.

Essayez la calculatrice d’identités trigonométriques

Saisissez une identité pour la démontrer ou la réfuter, ou une expression pour la simplifier, étape par étape.

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