Le cercle trigonométrique : radians, angles associés et valeurs exactes

Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine, d’équation $x^2 + y^2 = 1$. Les angles se mesurent à partir du demi-axe des abscisses positives : dans le sens direct, inverse des aiguilles d’une montre, pour les angles positifs, et dans le sens indirect pour les angles négatifs. Le côté où commence un angle s’appelle le côté initial, et celui où il se termine, le côté final.

Pour tout angle $\theta$, le côté final coupe le cercle en un unique point. La définition qui rend le cercle trigonométrique si utile est que ce point a pour coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$. La tangente est le quotient des deux :

Pour les angles aigus, cela coïncide avec les définitions dans le triangle rectangle que vous connaissez peut-être déjà. Abaissez la perpendiculaire du point sur l’axe des abscisses : vous obtenez un triangle rectangle d’hypoténuse 1, de côté adjacent $x$ et de côté opposé $y$. Ainsi, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ et $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Le cercle trigonométrique étend ces définitions à tous les angles, y compris obtus, négatifs ou très grands.

Degrés et radians

Un tour complet mesure $360^\circ$, soit $2\pi$ radians. Un radian est l’angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur le cercle trigonométrique, dont le rayon vaut 1, la mesure en radians d’un angle est exactement la longueur de l’arc intercepté ; c’est pourquoi le radian est l’unité naturelle en analyse.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• En degrés, $\frac{7\pi}{4}$ radians $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Un radian vaut environ $57.3^\circ$.

Les angles remarquables du premier quadrant

Trois angles ont des valeurs exactes issues de deux triangles bien connus. L’angle de $45^\circ$ provient d’un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse 1, dont les deux côtés de l’angle droit mesurent $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Les angles de $30^\circ$ et $60^\circ$ proviennent de la moitié d’un triangle équilatéral de côté 1, dont les côtés de l’angle droit mesurent $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$ : point $(1, 0)$, donc $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$ : point $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, donc $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$ : point $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, donc $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$ : point $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, donc $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$ : point $(0, 1)$, donc $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ et $\tan\frac{\pi}{2}$ n’est pas définie.

Une régularité aide à les retenir : les sinus de $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ valent $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, et les cosinus sont la même liste dans l’ordre inverse. De plus, tous les points vérifient $x^2 + y^2 = 1$ ; par exemple, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Angles de référence et autres quadrants

Inutile d’apprendre séparément les seize points habituels. Tout angle a un angle de référence : l’angle aigu que forme son côté final avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de l’angle ont la même valeur absolue que celles de son angle de référence ; seuls les signes changent selon le quadrant.

• Quadrant I (de $0$ à $\frac{\pi}{2}$) : $x$ et $y$ positifs, donc les trois rapports sont positifs.
• Quadrant II (de $\frac{\pi}{2}$ à $\pi$) : $x$ négatif, $y$ positif, donc seul le sinus est positif.
• Quadrant III (de $\pi$ à $\frac{3\pi}{2}$) : les deux sont négatifs, donc seule la tangente est positive.
• Quadrant IV (de $\frac{3\pi}{2}$ à $2\pi$) : $x$ positif, $y$ négatif, donc seul le cosinus est positif.

De même, $\frac{3\pi}{4}$ a pour angle de référence $\frac{\pi}{4}$ dans le quadrant II, ce qui donne le point $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Angles négatifs et angles de plus d’un tour

Ajouter ou retrancher un tour complet, $2\pi$, ramène au même point : le sinus et le cosinus se répètent donc tous les $2\pi$. Des angles qui ont le même côté final sont dits associés au même point. Pour évaluer un grand angle, retranchez des multiples de $2\pi$ jusqu’à obtenir une mesure entre 0 et $2\pi$ ; pour un angle négatif, ajoutez des multiples de $2\pi$.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$ : il correspond au même point que $\frac{\pi}{4}$, à savoir $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ correspond au même point que $\frac{11\pi}{6}$, donc $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, donc $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

La symétrie par rapport à l’axe des abscisses donne en outre deux règles : $\cos(-\theta) = \cos\theta$, donc le cosinus est une fonction paire, et $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, donc le sinus est impair. La tangente a une période plus courte, $\pi$, car les points associés à $\theta$ et $\theta + \pi$ sont diamétralement opposés et donnent le même quotient $\frac{y}{x}$.

La relation fondamentale et le calcul des autres rapports

Comme tous les points du cercle vérifient $x^2 + y^2 = 1$, tous les angles vérifient la relation la plus importante de la trigonométrie :

C’est le quadrant qui décide du signe ; la relation seule ne donne que la valeur absolue. Le guide des formules de trigonométrie construit bien d’autres identités à partir de celle-ci.

Résoudre des équations trigonométriques simples avec le cercle

Pour résoudre une équation comme $\sin\theta = \frac{1}{2}$ avec $0 \le \theta < 2\pi$, cherchez tous les points du cercle d’ordonnée $\frac{1}{2}$. Il y en a deux : l’un dans le quadrant I, en $\frac{\pi}{6}$, l’autre dans le quadrant II, en $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

De même, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ demande des points d’abscisse $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, situés en $\frac{3\pi}{4}$, dans le quadrant II, et en $\frac{5\pi}{4}$, dans le quadrant III. Si l’énoncé demande toutes les solutions, ajoutez $2\pi k$ pour tout entier $k$ : $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ ou $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

L’arc sinus ou l’arc cosinus de la calculatrice ne renvoie qu’une seule réponse. Le cercle trigonométrique vous montre où se trouve la seconde solution, ce que la calculatrice ne fait jamais.

L’apprendre efficacement

Apprendre seize points comme des faits isolés est long et fragile. Mieux vaut bien maîtriser trois choses : les trois points du premier quadrant pour $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{3}$ ; la manière de trouver un angle de référence ; et les signes de chaque quadrant. Avec cela, n’importe quel angle remarquable se traite en quelques secondes.

Entraînez-vous à dessiner le cercle de mémoire une fois par jour pendant une semaine, en indiquant les angles en degrés et en radians. Testez-vous ensuite sur des angles pris au hasard, y compris négatifs ou supérieurs à $2\pi$. La calculatrice du cercle trigonométrique donne les valeurs exactes et l’angle de référence de n’importe quelle entrée : vous pouvez vérifier vos réponses instantanément. Des chapitres ultérieurs, comme la loi des sinus et l’analyse des fonctions trigonométriques, supposent cette aisance acquise.

Erreurs fréquentes

• Intervertir les coordonnées : l’abscisse est le cosinus et l’ordonnée le sinus.
• Utiliser la calculatrice en mode degrés pour une question en radians, ou l’inverse.
• Mesurer l’angle de référence à partir de l’axe des ordonnées au lieu de l’axe des abscisses.
• Ne donner qu’une seule solution à une équation comme $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• Oublier que la tangente n’est pas définie là où le cosinus s’annule, en $\frac{\pi}{2}$ et en $\frac{3\pi}{2}$.

Du cercle aux courbes du sinus et du cosinus

Imaginez un point qui parcourt le cercle trigonométrique dans le sens direct à vitesse constante. Sa hauteur au-dessus de l’axe des abscisses passe de 0 à 1 pendant le premier quart de tour, revient à 0 au demi-tour, descend jusqu’à $-1$ aux trois quarts et revient à 0 après un tour complet. Représenter cette hauteur en fonction de l’angle donne la sinusoïde bien connue de $y = \sin x$. Si l’on représente plutôt la position horizontale, on obtient $y = \cos x$, la même onde décalée d’un quart de tour vers la gauche.

Tout ce qui concerne ces courbes se lit sur le cercle. Leur ensemble image est $[-1, 1]$, car les coordonnées d’un point d’un cercle de rayon 1 ne dépassent jamais 1 en valeur absolue. Leur période est $2\pi$, car un tour complet ramène le point à sa position de départ. Le sinus s’annule aux multiples de $\pi$, là où le point traverse l’axe des abscisses, et le cosinus aux multiples impairs de $\frac{\pi}{2}$, là où il traverse l’axe des ordonnées. Voir ces courbes comme l’enregistrement d’un mouvement circulaire explique aussi pourquoi les fonctions trigonométriques modélisent les marées, les ondes sonores, le courant alternatif et tout phénomène qui se répète par cycles.

Questions fréquentes