Théorème d’Al-Kashi

Q: Quand faut-il utiliser le théorème d’Al-Kashi ?

Lorsque vous connaissez deux côtés et l’angle compris (CAC) ou les trois côtés (CCC). Dans ces cas, aucun côté n’est connu avec son angle opposé, on ne peut donc pas commencer par la loi des sinus.

Q: Comment trouver un angle avec le théorème d’Al-Kashi ?

Réarrangez la formule en cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), remplacez les trois côtés par leurs valeurs et appliquez la fonction arccosinus.

Q: Quel lien y a-t-il entre le théorème d’Al-Kashi et celui de Pythagore ?

Lorsque l’angle C mesure 90°, cos C vaut 0 et la formule devient c² = a² + b². Le théorème d’Al-Kashi en est la version générale, valable pour tout triangle.

Q: Que se passe-t-il si mes trois côtés ne forment pas un triangle ?

La calculatrice vérifie l’inégalité triangulaire et affiche une erreur si un côté est au moins aussi long que les deux autres réunis, comme avec les côtés 1, 2 et 5.

Q: Les résultats sont-ils exacts ou arrondis ?

Lorsque le troisième côté est une racine carrée, il est affiché sous forme exacte, comme √39 ou 2√19, accompagné d’une valeur décimale. Les angles sont donnés en degrés décimaux.

Q: Comment l’aire est-elle calculée ?

Avec la formule aire = ½ab sin C, à partir de deux côtés et de l’angle qu’ils forment. En mode CCC, l’angle est d’abord calculé.

Q: Le théorème d’Al-Kashi peut-il donner deux triangles ?

Non. Des données CAC ou CCC déterminent toujours un unique triangle. Le cas ambigu à deux triangles possibles n’apparaît qu’avec des données CCA et la loi des sinus.

À propos de la calculatrice du théorème d’Al-Kashi

Les triangles rectangles se résolvent avec le théorème de Pythagore et la trigonométrie de base, mais la plupart des triangles rencontrés en topographie, en navigation, en ingénierie et en physique n’ont aucun angle droit. Le théorème d’Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus, généralise celui de Pythagore à tout triangle ; c’est l’outil adapté lorsque vous connaissez deux côtés et l’angle qu’ils forment, ou les trois côtés et aucun angle.

Cette calculatrice traite les deux cas. En mode CAC, elle trouve le troisième côté, en conservant un radical exact comme $\sqrt{39}$ lorsqu’il existe, puis les deux angles restants. En mode CCC, elle vérifie que les côtés peuvent former un triangle et trouve les trois angles. Dans les deux modes, elle termine par l’aire.

Qu’est-ce que le théorème d’Al-Kashi ?

Dans un triangle de côtés $a$ , $b$ et $c$ , opposés aux angles $A$ , $B$ et $C$ , le théorème d’Al-Kashi affirme que $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . La même relation vaut pour chaque côté avec son angle opposé.

Lorsque $C = 90°$ , $\cos C = 0$ et la formule se réduit à $c^2 = a^2 + b^2$ , le théorème de Pythagore. Le terme supplémentaire $-2ab\cos C$ corrige selon l’angle : il raccourcit $c$ lorsque $C$ est aigu et l’allonge lorsque $C$ est obtus, car le cosinus d’un angle obtus est négatif.

Comment utiliser la calculatrice du théorème d’Al-Kashi

Choisissez CAC (deux côtés et l’angle compris) ou CCC (trois côtés).
Saisissez les côtés $a$ et $b$ .
En mode CAC, saisissez l’angle compris $C$ en degrés ; en mode CCC, saisissez le troisième côté $c$ .
Lancez le calcul pour voir le côté ou les angles manquants, puis l’aire.
Contrôlez le résultat : la somme des angles doit valoir 180° et le plus grand angle doit être opposé au plus grand côté.

Formules

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Résolu pour un angle

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Somme des angles

A + B + C = 180^\circ

Aire (CAC)

K = \tfrac12 ab\sin C

Exemple corrigé: a = 5, b = 7, C = 60°

L’exemple a $a = 5$ , $b = 7$ et un angle compris $C = 60°$ . Comme $\cos 60° = \frac12$ , la formule donne $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , donc $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Le moteur trouve ensuite l’angle $A$ avec la formule d’Al-Kashi réarrangée, environ $43.898°$ , et l’angle $B$ avec la somme des angles, environ $76.102°$ . L’aire vaut $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Comment nous avons lu votre problème

Deux côtés et l’angle compris : trouver le troisième côté et les angles restants

Solution étape par étape

Substituer dans c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Prendre la racine carrée
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Trouver l’angle A avec la formule d’Al-Kashi réarrangée
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
La somme des angles d’un triangle vaut 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Aire à partir de deux côtés et de l’angle compris
$\text{Aire} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Formules utilisées

Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Résolu pour un angle
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Aire
$\text{Aire} = \tfrac12 ab\sin C$

Le triangle a pour côtés a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 et pour angles A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. C’est un triangle quelconque acutangle d’aire ≈ 15.155445 et de périmètre ≈ 18.244998.

Vérification

A + B + C = 180°.
La formule de Héron donne la même aire : 15.155445.
Rapports de la loi des sinus : a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Explication détaillée

Résoudre un triangle CAC

Avec deux côtés et l’angle qu’ils forment, le théorème d’Al-Kashi donne directement le troisième côté. Un seul triangle est possible, il n’y a donc aucune ambiguïté. Une fois les trois côtés connus, la formule réarrangée donne chaque angle tour à tour. La calculatrice utilise le théorème d’Al-Kashi plutôt que la loi des sinus pour le deuxième angle, car la formule du cosinus ne peut pas confondre un angle aigu avec son supplémentaire obtus.

Les angles compris obtus se traitent de la même façon. Pour $a = 4$ , $b = 6$ et $C = 120°$ , $\cos 120° = -\frac12$ , donc $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ et $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ , plus long que chacun des côtés donnés, comme on pouvait s’y attendre.

Résoudre un triangle CCC

Trois longueurs forment un triangle seulement si la somme de deux d’entre elles dépasse toujours la troisième : c’est l’inégalité triangulaire. La calculatrice le vérifie d’abord : les côtés 1, 2 et 5 sont refusés car $1 + 2 < 5$ . Avec des côtés valides, elle calcule l’angle $C$ puis l’angle $A$ , tous deux avec la formule réarrangée, et trouve $B$ avec la somme des angles. Si vous saisissez le plus grand côté comme $c$ , le premier angle calculé vous indique si le triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle : les côtés 3, 4 et 5 donnent $C = 90°$ .

Al-Kashi ou loi des sinus ?

Utilisez le théorème d’Al-Kashi dans les cas CAC et CCC, où l’on ne connaît aucun couple formé d’un côté et de son angle opposé. Utilisez la loi des sinus dans les cas ACA, AAC et CCA, où l’on connaît au moins un côté avec son angle opposé. Le cas CCA peut avoir deux solutions ; les cas du théorème d’Al-Kashi n’en ont jamais deux, ce qui en fait le point de départ le plus sûr quand vous avez le choix.

Erreurs fréquentes

Utiliser en mode CAC un angle qui n’est pas compris entre les deux côtés donnés.
Oublier le facteur 2 dans $2ab\cos C$ .
Laisser la calculatrice en mode radians alors que l’angle est en degrés.
Soustraire $2ab$ avant de multiplier par $\cos C$ , ce qui ne respecte pas les priorités opératoires.
Sauter la vérification de l’inégalité triangulaire et obtenir un cosinus impossible, supérieur à 1.

Conseils

Nommez le triangle de sorte que le côté inconnu soit $c$ et l’angle connu $C$ .
Le plus grand angle est toujours opposé au plus grand côté ; servez-vous-en pour contrôler votre réponse.
Gardez des valeurs exactes comme $\sqrt{39}$ jusqu’à la dernière étape pour éviter l’accumulation d’erreurs d’arrondi.
Utilisez la calculatrice du cercle trigonométrique pour retrouver les cosinus exacts des angles remarquables.
Pour les triangles rectangles, la formule de la distance et le théorème de Pythagore sont plus rapides.

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser le théorème d’Al-Kashi ?

Lorsque vous connaissez deux côtés et l’angle compris (CAC) ou les trois côtés (CCC). Dans ces cas, aucun côté n’est connu avec son angle opposé, on ne peut donc pas commencer par la loi des sinus.

Comment trouver un angle avec le théorème d’Al-Kashi ?

Réarrangez la formule en cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), remplacez les trois côtés par leurs valeurs et appliquez la fonction arccosinus.

Quel lien y a-t-il entre le théorème d’Al-Kashi et celui de Pythagore ?

Lorsque l’angle C mesure 90°, cos C vaut 0 et la formule devient c² = a² + b². Le théorème d’Al-Kashi en est la version générale, valable pour tout triangle.

Que se passe-t-il si mes trois côtés ne forment pas un triangle ?

La calculatrice vérifie l’inégalité triangulaire et affiche une erreur si un côté est au moins aussi long que les deux autres réunis, comme avec les côtés 1, 2 et 5.

Les résultats sont-ils exacts ou arrondis ?

Lorsque le troisième côté est une racine carrée, il est affiché sous forme exacte, comme √39 ou 2√19, accompagné d’une valeur décimale. Les angles sont donnés en degrés décimaux.

Comment l’aire est-elle calculée ?

Avec la formule aire = ½ab sin C, à partir de deux côtés et de l’angle qu’ils forment. En mode CCC, l’angle est d’abord calculé.

Le théorème d’Al-Kashi peut-il donner deux triangles ?

Non. Des données CAC ou CCC déterminent toujours un unique triangle. Le cas ambigu à deux triangles possibles n’apparaît qu’avec des données CCA et la loi des sinus.

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Saisissez deux côtés et un angle, ou trois côtés, et résolvez le triangle complet étape par étape.

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Calculatrice du théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)

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