Les logarithmes expliqués : définition, propriétés et résolution d’équations

Qu’est-ce qu’un logarithme ?

Les puissances et les logarithmes sont deux façons de décrire la même relation. L’égalité $2^3 = 8$ dit qu’en élevant 2 à la puissance 3 on obtient 8. Le logarithme retourne la question : à quelle puissance faut-il élever 2 pour obtenir 8 ? La réponse est 3, et l’on écrit $\log_2 8 = 3$.

Le nombre $b$ est la base, $x$ est l’argument et $y$ est l’exposant cherché. Les conditions comptent. La base doit être strictement positive et différente de 1, car les puissances de 1 valent toujours 1 et les puissances d’un nombre négatif ne sont pas définies pour tout exposant réel. L’argument doit être strictement positif, car une base positive élevée à n’importe quelle puissance réelle donne un résultat positif.

• $\log_{10} 1000 = 3$, car $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, car $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, car $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ pour toute base autorisée, car $b^0 = 1$, et $\log_b b = 1$ car $b^1 = b$.

Deux bases ont une notation propre. Le logarithme décimal $\log x$ utilise la base 10, adaptée aux mesures exprimées en puissances de dix. Le logarithme népérien $\ln x$ utilise la base $e \approx 2.71828$, qui apparaît naturellement dans la croissance, la décroissance et l’analyse. Certains manuels et langages de programmation écrivent $\log$ pour le logarithme népérien : vérifiez la convention de votre cours.

Les trois propriétés des logarithmes

Comme les logarithmes sont des exposants, les règles des puissances se traduisent directement en règles des logarithmes. Pour $M$ et $N$ strictement positifs et toute base autorisée :

La propriété du produit vient de $b^m b^n = b^{m+n}$ : multiplier des nombres revient à additionner leurs exposants, donc leurs logarithmes. La propriété du quotient vient de la division des puissances, et celle de la puissance de $(b^m)^k = b^{mk}$. Avant les calculatrices, c’est précisément pour cela qu’on utilisait les tables de logarithmes : elles transformaient des multiplications difficiles en additions.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, et en effet $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Développer et regrouper des expressions

Développer consiste à utiliser les propriétés pour décomposer un logarithme en parties plus simples ; regrouper consiste à en réunir plusieurs en un seul. Ces deux tâches sont courantes aux examens et toutes deux servent à résoudre des équations.

Les coefficients doivent devenir des exposants avant le regroupement. $2\ln x + \ln y$ vaut $\ln(x^2 y)$, et non $\ln(2xy)$.

Le changement de base

Les calculatrices n’ont souvent des touches que pour $\log$ et $\ln$. Toute autre base se traite avec la formule de changement de base, valable pour n’importe quelle nouvelle base $c$ :

Par exemple, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Un contrôle de bon sens aide : $2^3 = 8$ et $2^4 = 16$, donc le résultat doit être compris entre 3 et 4. La formule montre aussi que $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, donc $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ puisque $\log_2 8 = 3$.

Résoudre des équations exponentielles

Lorsque l’inconnue figure dans un exposant, isolez la puissance puis prenez le logarithme des deux membres pour que la propriété de la puissance fasse descendre l’exposant.

Une erreur fréquente dans l’exemple 2 consiste à prendre le logarithme avant de diviser par 5. Ce n’est pas faux, mais on obtient $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, plus long à résoudre. Isoler d’abord la puissance garde le calcul court.

Résoudre des équations logarithmiques

Lorsque l’inconnue se trouve dans un logarithme, regroupez les logarithmes en un seul et réécrivez l’équation sous forme exponentielle. Comme les logarithmes de zéro et des nombres négatifs ne sont pas définis, il faut vérifier chaque solution possible dans l’équation de départ.

Le calcul de l’exemple 3 a mené à une équation du second degré. Pour revoir sa résolution, consultez comment résoudre une équation du second degré.

La courbe d’un logarithme

La fonction $y = \log_b x$ est la réciproque de $y = b^x$ : sa courbe est donc la symétrique de la courbe exponentielle par rapport à la droite $y = x$. Pour $b > 1$, elle passe par $(1, 0)$ et $(b, 1)$, croît lentement sans limite et se rapproche de l’axe des ordonnées, qui est une asymptote verticale. Son ensemble de définition est $(0, \infty)$ et son ensemble image est l’ensemble des réels, exactement l’inverse de ceux de la fonction exponentielle.

Les translations modifient l’ensemble de définition. Pour $y = \ln(x - 3)$, l’argument doit être strictement positif : l’ensemble de définition est $(3, \infty)$ et l’asymptote se déplace en $x = 3$. Le calcul de ces ensembles est expliqué dans le guide sur l’ensemble de définition et l’ensemble image, et le lien avec les exponentielles est développé dans les fonctions réciproques. Vous pouvez tracer plusieurs bases à la fois avec la calculatrice graphique.

Où l’on utilise les logarithmes

• Intérêts composés : une quantité qui augmente de 5 % par an double lorsque $1.05^t = 2$, donc $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ ans.
• Chimie : le pH vaut $-\log[\mathrm{H}^+]$ ; une concentration en ions hydrogène de $10^{-3}$ mole par litre donne donc un pH de 3, et chaque unité de pH correspond à un facteur dix.
• Acoustique : le niveau sonore en décibels vaut $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ ; un son 100 fois plus intense paraît donc 20 décibels plus fort.
• Informatique : une recherche dichotomique parmi $n$ éléments demande environ $\log_2 n$ étapes ; un million d’éléments n’en exigent donc qu’environ 20.

Les quatre cas ont la même caractéristique : les logarithmes compressent des grandeurs qui s’étendent sur de nombreuses puissances de dix en une échelle maniable et transforment les variations multiplicatives en variations additives.

Erreurs fréquentes

• Écrire $\log(a + b) = \log a + \log b$. La propriété du produit concerne les produits, et il n’existe aucune règle pour le logarithme d’une somme.
• Écrire $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. Le membre de gauche est un changement de base, $\log_b a$.
• Confondre $(\log x)^2$ avec $\log x^2 = 2\log x$.
• Ne pas vérifier les solutions des équations logarithmiques, ce qui laisse passer une réponse rendant un argument négatif.
• Confondre les touches $\log$ et $\ln$ de la calculatrice.

La calculatrice de logarithmes évalue n’importe quelle base et montre l’étape du changement de base : c’est un moyen rapide de vérifier les exemples ci-dessus.

Un plan de travail pour les logarithmes

Les logarithmes paraissent abstraits surtout parce que la notation cache une question simple. Pour gagner en aisance, entraînez-vous à traduire dans les deux sens jusqu’à ce que cela devienne automatique. Prenez dix puissances que vous connaissez déjà, comme $2^5 = 32$ ou $10^{-2} = 0.01$, et réécrivez chacune sous forme de logarithme. Prenez ensuite dix logarithmes et réécrivez chacun sous forme de puissance. Après une courte séance, calculer $\log_3 81$ ou $\log_{10} 0.001$ devient un calcul mental rapide plutôt qu’une énigme.

Ensuite, entraînez-vous sur les propriétés avec des nombres avant de les utiliser avec des variables. Vérifier que $\log_2 8 + \log_2 4$ est égal à $\log_2 32$ en calculant les deux membres rend la propriété du produit crédible et vous apprend à repérer les fausses règles de la section suivante. Passez seulement alors au développement et au regroupement d’expressions algébriques.

Enfin, résolvez des équations des deux familles : celles où l’inconnue est dans un exposant et celles où elle est dans un logarithme. La première famille se résout en prenant le logarithme ; la seconde, en réécrivant sous forme exponentielle. Reconnaître la famille d’un problème, c’est faire la moitié du travail, et vérifier l’ensemble de définition à la fin est l’autre habitude qui distingue les bonnes réponses des presque bonnes.

Questions fréquentes