Composition de fonctions : calculer et utiliser f(g(x))

Ce que signifie composer

Étant données deux fonctions $f$ et $g$, la composée $f \circ g$, qui se lit f rond g, est la fonction qui applique d’abord $g$, puis $f$ au résultat :

C’est l’ordre qui sème le plus de confusion. La fonction écrite à droite, la plus proche de $x$, agit en premier. Pensez à une chaîne de montage : $x$ entre dans la machine $g$, le produit $g(x)$ passe dans la machine $f$, et il en sort $f(g(x))$. Pour que cela fonctionne, chaque valeur de $g$ utilisée doit être une entrée acceptable pour $f$.

La composition n’est pas une multiplication. Le produit $(fg)(x)$ signifie $f(x) \cdot g(x)$, c’est-à-dire qu’il multiplie deux valeurs, alors que $(f \circ g)(x)$ substitue une fonction dans l’autre. C’est le petit rond qui les distingue.

Composer deux formules

Pour trouver $f(g(x))$, prenez la formule de $f$ et remplacez chaque $x$ par l’expression complète $g(x)$, entre parenthèses. Simplifiez ensuite.

Les deux ordres donnent des fonctions complètement différentes. En général, la composition n’est pas commutative : $f \circ g$ et $g \circ f$ sont le plus souvent différentes, et il ne faut jamais les supposer égales. En revanche, elle est associative : $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, et une chaîne de trois fonctions peut se calculer de l’intérieur vers l’extérieur.

Mettez toujours la fonction intérieure entre parenthèses lors de la substitution. Sans elles, $g(2x + 3)$ avec $g(x) = x^2$ devient facilement $2x + 3^2$, ce qui est faux.

Évaluer une composée avec des nombres et des tableaux

Souvent, on n’a besoin que d’une valeur précise. Travaillez de l’intérieur vers l’extérieur : évaluez d’abord la fonction intérieure, puis utilisez ce résultat comme entrée de la fonction extérieure. Inutile de chercher la formule de la composée.

Supposons qu’un tableau donne $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ et $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Alors $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ et $f(g(3)) = f(2) = -1$. Si le tableau ne donnait aucune valeur de $f$ pour le nombre produit par $g$, cette composée ne serait tout simplement pas définie pour cette entrée.

Avec des courbes, on procède de même. Pour trouver $f(g(3))$ à partir de deux courbes, lisez $g(3)$ sur la courbe de $g$, repérez cette valeur sur l’axe des abscisses de la courbe de $f$ et lisez l’image.

L’ensemble de définition d’une fonction composée

L’ensemble de définition de $f \circ g$ contient exactement les valeurs $x$ qui vérifient deux conditions : $x$ appartient à l’ensemble de définition de $g$, et $g(x)$ appartient à celui de $f$. Simplifier la formule de la composée peut masquer la première condition : déterminez donc l’ensemble de définition à partir des fonctions de départ.

Un court exemple montre pourquoi c’est important. Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = \sqrt{x}$, alors $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, mais seulement pour $x \ge 0$. La formule $x$ seule laisse croire que tout réel convient, ce qui est faux. Le guide sur l’ensemble de définition et l’ensemble image détaille les contraintes utilisées ici.

Décomposer une fonction

La décomposition parcourt le chemin inverse : étant donnée une fonction compliquée $h$, on cherche des fonctions plus simples telles que $h = f \circ g$. Cherchez une expression intérieure sur laquelle agit une opération extérieure.

• $h(x) = (3x - 1)^5$ : intérieure $g(x) = 3x - 1$, extérieure $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$ : intérieure $g(x) = x^2 + 4$, extérieure $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$ : intérieure $g(x) = \sin x$, extérieure $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$ : intérieure $g(x) = x + 2$, extérieure $f(u) = \frac{1}{u^2}$, ou bien une chaîne en trois étapes $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Les décompositions ne sont pas uniques, mais la plus utile a généralement une fonction intérieure simple. Appeler $u$ la partie intérieure est exactement le réflexe dont vous aurez besoin pour dériver une fonction composée et pour le changement de variable dans les intégrales.

La composition en analyse et pour les fonctions réciproques

Deux grands chapitres reposent sur la composition. D’abord, la règle de dérivation des fonctions composées : la dérivée de $f(g(x))$ est $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Pour $(3x - 1)^5$, cela donne $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. Le guide des règles de dérivation traite ce point en détail.

Ensuite, deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre exactement lorsque leur composée, dans un ordre comme dans l’autre, redonne l’entrée : $f(f^{-1}(x)) = x$ et $f^{-1}(f(x)) = x$ sur les ensembles adéquats. Pour $f(x) = 2x + 3$ et $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, on obtient $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. C’est la façon habituelle de vérifier une réciproque, comme l’explique le guide sur les fonctions réciproques.

Un exemple concret : remises et bons d’achat

Un magasin propose une remise de 20 % et vous avez en plus un bon d’achat de 10 euros. Notons $d(p) = 0.8p$ l’application de la remise à un prix $p$ et $c(p) = p - 10$ l’application du bon. L’ordre compte.

• D’abord le bon, puis la remise : $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• D’abord la remise, puis le bon : $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Pour un article à 50 euros, le premier ordre coûte 32 euros et le second 30 euros.

Appliquer d’abord le pourcentage fait toujours économiser 2 euros ici, car le bon n’est pas réduit par le pourcentage. Les situations de ce type, où un processus en alimente un autre, sont des composées, et elles montrent que l’ordre de $f$ et $g$ n’est pas un simple détail technique.

Erreurs fréquentes

• Appliquer les fonctions dans le mauvais ordre : dans $f(g(x))$, c’est $g$ qui agit en premier.
• Multiplier $f(x)$ par $g(x)$ au lieu de substituer.
• Substituer sans parenthèses, surtout dans les puissances et avec les signes moins.
• Chercher l’ensemble de définition uniquement à partir de la formule simplifiée et oublier des valeurs exclues par la fonction intérieure.
• Supposer que $f \circ g = g \circ f$.

Vous pouvez vérifier les deux ordres et leurs ensembles de définition avec la calculatrice de composition de fonctions, qui affiche explicitement l’étape de substitution.

Pourquoi maîtriser la composition

Presque toutes les fonctions rencontrées après l’algèbre sont construites par composition. Une formule donnant la température d’une boisson qui refroidit, la position d’un pendule qui oscille ou la valeur d’un placement est souvent une fonction extérieure simple, comme une exponentielle, un sinus ou une puissance, appliquée à une expression intérieure plus simple encore. Savoir repérer cette structure permet d’anticiper l’allure d’une courbe, de savoir où une fonction est définie et de choisir la bonne technique pour les dérivées et les intégrales.

La composition explique aussi les transformations de courbes. Décaler la courbe de $f$ de trois unités vers la droite donne $f(x - 3)$, c’est-à-dire $f$ composée avec la fonction intérieure $x - 3$. La dilater verticalement d’un facteur 2 donne $2f(x)$, c’est-à-dire la fonction extérieure $2u$ composée avec $f$. Vu ainsi, une transformation appliquée dans les parenthèses modifie l’entrée et agit horizontalement, tandis qu’une transformation appliquée à l’extérieur modifie la sortie et agit verticalement. Cette seule remarque explique pourquoi les translations horizontales semblent aller dans le mauvais sens.

Exercices corrigés

Faites-les sur papier, puis comparez. Chacun utilise une idée des sections précédentes.

1. Si $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = x - 3$, calculez $f(g(x))$. Solution : $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Avec les mêmes fonctions, calculez $g(f(x))$. Solution : $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Si $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = 4 - x$, trouvez l’ensemble de définition de $f(g(x))$. Solution : $4 - x \ge 0$, donc $(-\infty, 4]$.
4. Décomposez $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Solution : intérieure $x^2 + 1$, extérieure $\ln u$.
5. Si $f(x) = 3x - 2$, calculez $f(f(2))$. Solution : $f(2) = 4$ et $f(4) = 10$.

Si vous avez trouvé $x^2 - 2$ au premier exercice, vous avez appliqué les fonctions dans le mauvais ordre : c’est la solution du deuxième. Confondre les deux ordres est l’erreur la plus courante, et un test avec un nombre comme $x = 0$ la détecte aussitôt : $f(g(0)) = f(-3) = 10$, alors que $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Questions fréquentes