Calculatrice de dérivation implicite

À propos de la calculatrice de dérivation implicite

Beaucoup de courbes ne s’écrivent pas commodément sous la forme $y = f(x)$ . Un cercle comme $x^2 + y^2 = 25$ ne passe pas le test de la droite verticale, et une courbe comme le folium de Descartes, $x^3 + y^3 = 6xy$ , n’a aucune formule pratique pour $y$ . Leurs pentes existent pourtant en presque tout point, et la dérivation implicite est la technique qui les calcule sans isoler $y$ au préalable.

Cette calculatrice applique la méthode telle qu’on l’enseigne. Elle traite $y$ comme une fonction inconnue de $x$ , dérive les deux membres de votre équation par rapport à $x$ et, par la dérivée d’une composée, ajoute un facteur $y'$ à chaque terme contenant $y$ . Elle regroupe ensuite les termes en $y'$ dans un membre, met $y'$ en facteur et divise, ce qui donne une formule de $\frac{dy}{dx}$ en fonction de $x$ et de $y$ .

Si vous indiquez un point de la courbe, la calculatrice le remplace pour donner la pente numérique et écrit l’équation de la tangente en ce point. La formule finale est vérifiée de façon indépendante en la comparant à $-\frac{F_x}{F_y}$ , le résultat prévu par les dérivées partielles, pour que vous puissiez vous fier à la réponse avant de la recopier.

Qu’est-ce que la dérivation implicite ?

Une équation comme $x^2 + y^2 = 25$ définit $y$ de façon implicite : elle décrit une relation entre $x$ et $y$ au lieu de donner $y$ directement. Près de la plupart des points de la courbe, $y$ se comporte malgré tout comme une fonction de $x$ , même si l’on ne peut pas écrire cette fonction. La dérivation implicite calcule sa dérivée à partir de la relation elle-même.

La clé est la dérivée d’une composée. Si $y$ dépend de $x$ , la dérivée de $y^2$ par rapport à $x$ n’est pas $2y$ , mais $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . Il en va de même pour $\sin y$ , $e^y$ ou toute autre expression en $y$ : on dérive comme d’habitude puis on multiplie par $y'$ . Les termes qui ne contiennent que $x$ se dérivent normalement, et les constantes disparaissent.

Le résultat contient en général à la fois $x$ et $y$ , comme dans $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . C’est normal et c’est correct. Une même valeur de $x$ peut correspondre à plusieurs points de la courbe, avec une pente différente en chacun : la formule a donc besoin de l’ordonnée $y$ pour savoir de quel point il s’agit.

Comment utiliser la calculatrice de dérivation implicite

Écrivez une équation en x et y avec un seul signe égal, par exemple x^2 + y^2 = 25 ou x^3 + y^3 = 6 x y.
Utilisez une espace ou un * pour multiplier des lettres : x y ou x*y pour le produit de x par y.
Si vous le souhaitez, saisissez un point de la courbe, comme x = 3, y = 4, pour obtenir la pente et la tangente en ce point.
Cliquez sur Calculer dy/dx pour voir chaque membre dérivé, les termes en y′ regroupés et la formule finale.
Si vous avez donné un point, lisez la pente et l’équation de la tangente dans les dernières étapes.

Formules

Dérivée d’une composée pour un terme en y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Dérivée d’un produit avec y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Raccourci par les dérivées partielles

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Tangente en (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Exemple corrigé: x² + y² = 25 en (3, 4)

L’exemple résolu est calculé en direct pour le cercle $x^2 + y^2 = 25$ au point $(3, 4)$ . En dérivant les deux membres, on obtient $2x + 2y\,y' = 0$ ; le terme $2y\,y'$ provient de la dérivée d’une composée. En faisant passer $2x$ dans l’autre membre et en divisant par $2y$ , on obtient $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

En $(3, 4)$ , la pente vaut $-\frac34 = -0.75$ : la tangente a donc pour équation $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . La géométrie le confirme : le rayon qui aboutit en $(3, 4)$ a pour pente $\frac43$ , et la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon, donc sa pente doit être l’opposé de l’inverse, $-\frac34$ .

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{pente au point} = -0.75

Comment nous avons lu votre problème

Calculer dy/dx pour une courbe définie implicitement, en considérant y comme une fonction dérivable de x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Solution étape par étape

Considérer y comme une fonction de x et dériver les deux membres par rapport à x
Chaque terme contenant y nécessite la dérivée d’une composée : d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Résultat de la dérivation de chaque membre
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Regrouper les termes en y′ dans un membre
Faire passer tous les termes en y′ à gauche et tout le reste à droite, puis mettre y′ en facteur.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Diviser pour isoler y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Substituer x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Tangente au point
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Formules utilisées

Dérivée d’une composée pour y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Formule des fonctions implicites
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Dériver les deux membres conserve l’égalité ; comme y dépend de x, chaque terme en y fait apparaître un facteur y′, que l’on isole ensuite algébriquement. Le résultat contient en général à la fois x et y.

Vérification

Concorde avec −F_x / F_y d’un dérivateur symbolique indépendant en plusieurs points tests ✓
(3, 4) appartient à la courbe ✓

Explication détaillée

La méthode en quatre étapes

Premièrement, dérivez tous les termes des deux membres par rapport à $x$ . Deuxièmement, chaque fois qu’un terme contient $y$ , multipliez sa dérivée par $y'$ ; quand $x$ et $y$ sont multipliés, utilisez la formule du produit. Troisièmement, faites passer tous les termes en $y'$ dans un membre et le reste dans l’autre. Quatrièmement, mettez $y'$ en facteur et divisez par ce qui reste.

Appliquées à $x^3 + y^3 = 6xy$ , les deux premières étapes donnent $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , car le second membre est un produit. En regroupant les termes, il reste $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , donc $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . La calculatrice montre exactement cette suite d’étapes.

Pourquoi la dérivée d’une composée fait apparaître y′

Pensez à $y$ comme à $y(x)$ , une fonction que l’on ne voit pas. Alors $y^3$ est en réalité une fonction composée, le cube de $y(x)$ , et la dérivée d’une composée dit que sa dérivée est $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . La dérivation implicite n’est rien d’autre que la dérivée d’une composée habituelle appliquée à une fonction intérieure dont on ignore la formule.

C’est aussi pourquoi $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ et $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Pour l’équation $\sin y = x$ , la dérivation donne $\cos y\,y' = 1$ , donc $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Comme cette courbe est $y = \arcsin x$ sur sa branche principale, on obtient ainsi rapidement la dérivée de l’arc sinus dès que l’on écrit $\cos y$ sous la forme $\sqrt{1 - x^2}$ .

Pentes, tangentes et points particuliers

En remplaçant un point dans la formule, on obtient la pente en ce point, mais seulement si le point appartient vraiment à la courbe ; vérifiez d’abord qu’il satisfait l’équation de départ. Avec la pente $m$ et le point $(x_0, y_0)$ , la tangente a pour équation $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

La formule permet aussi de repérer des points particuliers. Les tangentes horizontales apparaissent là où le numérateur de $\frac{dy}{dx}$ s’annule mais pas le dénominateur. Les tangentes verticales apparaissent là où le dénominateur s’annule mais pas le numérateur ; pour le cercle, cela se produit en $(\pm 5, 0)$ , où $y = 0$ . Si le numérateur et le dénominateur s’annulent en même temps, comme à l’origine du folium, la courbe peut se recouper elle-même et la pente doit être étudiée à part.

Un raccourci par les dérivées partielles

En faisant tout passer dans un membre, la courbe s’écrit $F(x, y) = 0$ . L’analyse à plusieurs variables donne alors la formule $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , où $F_x$ et $F_y$ sont des dérivées partielles. Pour $x^2 + xy + y^2 = 7$ , $F_x = 2x + y$ et $F_y = x + 2y$ , donc $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , qui vaut $-0.8$ en $(1, 2)$ .

La calculatrice utilise cette formule comme vérification indépendante du résultat étape par étape. Vous pouvez faire de même : quand votre calcul à la main et le raccourci concordent, vous pouvez vous fier au résultat.

Où elle sert ensuite : les vitesses liées

La dérivation implicite est le moteur des problèmes de vitesses liées. Quand une échelle glisse le long d’un mur, son pied et son sommet vérifient $x^2 + y^2 = L^2$ à chaque instant, et les deux coordonnées dépendent du temps. Dériver par rapport à $t$ au lieu de $x$ donne $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , qui relie la vitesse du pied à celle du sommet.

Le schéma est identique à celui de cette page : dériver la relation, appliquer la dérivée d’une composée à chaque grandeur qui varie et isoler la vitesse cherchée. C’est aussi la base de la dérivation logarithmique, où l’on prend le $\ln$ des deux membres de $y = x^x$ et où l’on dérive implicitement $\ln y = x \ln x$ pour obtenir $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Erreurs fréquentes

Écrire la dérivée de $y^2$ sous la forme $2y$ en oubliant le facteur $y'$ .
Oublier la formule du produit pour les termes mixtes, si bien que $\frac{d}{dx}[xy]$ est écrit seulement $y'$ ou $xy'$ .
Dériver la constante du second membre comme si c’était une variable au lieu d’obtenir 0.
Diviser par une expression qui s’annule au point étudié, ce qui masque une tangente verticale.
Remplacer un point qui ne satisfait pas l’équation de départ.
Isoler $y$ d’abord alors que ce n’est pas nécessaire, ce qui fait souvent apparaître des racines carrées avec des ambiguïtés de signe.

Conseils

Entourez ou surlignez chaque $y'$ en l’écrivant pour n’en perdre aucun en regroupant les termes.
Développez les produits avant de dériver si cela réduit le nombre de termes de la formule du produit.
Utilisez $-\frac{F_x}{F_y}$ pour vérifier rapidement votre résultat.
Simplifiez la fraction finale en éliminant les facteurs communs comme 2 ou 3.
Vérifiez que votre point appartient à la courbe avant de calculer la tangente.
Pour la dérivée seconde, dérivez à nouveau $y'$ implicitement et remplacez par la formule de la dérivée première.

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser la dérivation implicite ?

Chaque fois que y est lié à x par une équation difficile ou impossible à résoudre en y, comme x³ + y³ = 6xy, ou quand la résolution découperait la courbe en plusieurs branches, comme pour les cercles et les ellipses.

Pourquoi dy/dx contient-il y en plus de x ?

Une même valeur de x peut correspondre à plusieurs points d’une courbe implicite, chacun avec sa propre pente. Le y de la formule indique de quel point il s’agit. Pour le cercle, −x/y donne −0.75 en (3, 4) et +0.75 en (3, −4).

Comment saisir le point pour la pente ?

Écrivez les deux coordonnées dans le champ facultatif, par exemple x = 3, y = 4. La calculatrice les remplace dans dy/dx et écrit l’équation de la tangente à partir du point et de la pente.

Peut-elle dériver des équations avec sin y ou e^y ?

Oui. Toute expression dérivable en x et y peut être utilisée. Les termes comme sin y ou e^y reçoivent le facteur y′ par la dérivée d’une composée : sin y = x donne ainsi dy/dx = 1/cos y.

Que signifie un dénominateur de dy/dx nul ?

En ce point, la tangente est verticale, à condition que le numérateur ne s’annule pas aussi. Pour x² + y² = 25, cela se produit en (5, 0) et en (−5, 0).

La dérivation implicite revient-elle à utiliser les dérivées partielles ?

Les deux donnent le même résultat. La méthode étape par étape utilise directement la dérivée d’une composée, tandis que la formule dy/dx = −F_x/F_y utilise les dérivées partielles de F(x, y). La calculatrice montre la première et la vérifie avec la seconde.

Puis-je calculer d²y/dx² avec cette calculatrice ?

La calculatrice renvoie la dérivée première. Pour la dérivée seconde, dérivez à nouveau la formule de dy/dx avec la formule du quotient, en vous rappelant que y dépend toujours de x, puis remplacez chaque y′ qui apparaît par l’expression de la dérivée première.

Quelles lettres l’équation doit-elle utiliser ?

L’équation doit être écrite en x et y, avec y comme variable dépendante. Les autres lettres ne sont pas acceptées, et la calculatrice le signale au lieu de deviner leur rôle.

Faut-il isoler y avant de dériver ?

Non, et il vaut généralement mieux s’en abstenir. Isoler y dans x² + y² = 25 donne ±√(25 − x²), deux fonctions distinctes avec des racines carrées peu commodes. Dériver l’équation de départ traite les deux moitiés du cercle en même temps.

Essayez la calculatrice de dérivation implicite

Saisissez une équation en x et y et obtenez dy/dx avec chaque étape, ainsi que la pente et la tangente au point de votre choix.

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