Calculatrice de séries de Taylor

D’où viennent les coefficients

Supposons qu’un polynôme $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ doive coïncider avec $f$ en $a$. En posant $x = a$, tous les termes s’annulent sauf $c_0$, donc $c_0 = f(a)$. En dérivant une fois puis en posant $x = a$, il reste $c_1 = f'(a)$. En dérivant deux fois, il reste $2c_2 = f''(a)$, et en général $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

C’est toute la démonstration, et elle explique les factorielles : elles compensent les constantes qui s’accumulent quand on dérive $(x - a)^k$ en tout $k$ fois. La calculatrice le montre sous la forme d’un tableau de $f^{(k)}(a)$ et de $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ pour chaque $k$, le même tableau que vous construiriez à la main.

Les motifs des séries les plus courantes

Pour $\sin x$ au voisinage de 0, les dérivées parcourent le cycle $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, qui prend en 0 les valeurs $0, 1, 0, -1$. Tous les coefficients des puissances paires sont nuls, et le polynôme d’ordre 7 est $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. Le cosinus donne au contraire les puissances paires : jusqu’à l’ordre 4, c’est $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Pour $\ln x$ au voisinage de 1, la dérivée $k$-ième est $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ : les coefficients valent donc $\pm\frac1k$ et la série est $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Reconnaître ces motifs permet d’écrire beaucoup de séries sans calculer la moindre dérivée, et d’y faire des substitutions, par exemple remplacer $x$ par $-x^2$ dans la série de $e^x$.

Quelle est la précision de l’approximation ?

La formule de Taylor majore l’erreur. Le reste $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ est égal à $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ pour un certain $c$ entre $a$ et $x$. Deux choses le rendent petit : être proche du centre, pour que $(x - a)^{n+1}$ soit minuscule, et la factorielle au dénominateur, qui finit par l’emporter sur n’importe quelle puissance.

L’exemple de la racine carrée montre le premier effet. Le polynôme d’ordre 3 de $\sqrt{x}$ au voisinage de 4 est $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. En $x = 4.1$, il donne environ 2.024845703 contre une valeur exacte de 2.024845673, soit une erreur proche de $3\times10^{-8}$, car $0.1^4$ est déjà très petit.

Loin du centre, la situation change. Pour $\frac{1}{1-x}$, les polynômes approchent bien en $x = 0.1$ mais ne servent à rien en $x = 2$, car la série ne converge que pour $|x| < 1$. En $x = 2$, le polynôme d’ordre 5 donne 63 alors que la fonction vaut $-1$, une erreur de 64 qui augmente à chaque terme ajouté. Le rapport d’erreur de la calculatrice le rend visible : essayez la même fonction et le même ordre en un point proche et en un point éloigné, et comparez.

Choisir le centre

Choisissez un centre où la fonction et ses dérivées sont faciles à évaluer, et proche de l’endroit où vous avez besoin de l’approximation. Développer $\sqrt{x}$ au voisinage de 4 est naturel, car $\sqrt4 = 2$ exactement. Développer $\ln x$ au voisinage de 0 est impossible car la fonction n’y est pas définie, et développer $|x|$ au voisinage de 0 échoue car elle n’y est pas dérivable ; la calculatrice explique ces cas au lieu de produire un polynôme dénué de sens.

Les polynômes de Taylor en pratique

L’approximation des petits angles $\sin\theta \approx \theta$ n’est autre que le polynôme de Maclaurin d’ordre 1 du sinus, et son erreur est inférieure à 1 % pour des angles de moins de 14 degrés environ. La formule de la période d’un pendule, l’approximation de Gauss en optique et la loi linéaire des ressorts proviennent toutes du fait de ne garder que le premier ou les deux premiers termes d’un développement de Taylor.

Les polynômes de Taylor transforment aussi des problèmes difficiles en problèmes faciles. Une limite comme $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ devient évidente dès que l’on remplace $\cos x$ par $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, et une intégrale sans primitive élémentaire, comme $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, peut être approchée en intégrant un polynôme terme à terme.