Séries de Taylor : approcher des fonctions par des polynômes

L’idée : faire coïncider les dérivées

Les polynômes sont les fonctions les plus simples à manipuler. On peut les évaluer avec de simples additions et multiplications, et les dériver ou les intégrer est routinier. Des fonctions comme $e^x$, $\sin x$ et $\ln x$ sont bien plus difficiles à calculer à la main. L’idée d’une série de Taylor est de trouver un polynôme qui se comporte comme la fonction au voisinage d’un point choisi $a$.

La droite qui colle le mieux à la courbe en un point est la tangente, qui y a la même valeur et la même dérivée première que la fonction. Une parabole peut en plus avoir la même dérivée seconde, de sorte qu’elle épouse la courbure de la courbe. Une cubique peut aussi avoir la même dérivée troisième, et ainsi de suite. Chaque dérivée supplémentaire qui coïncide fait coller le polynôme à la fonction sur une zone plus large autour du point. En poursuivant indéfiniment, on obtient la série de Taylor.

La formule de la série de Taylor

Exiger que la dérivée $n$-ième du polynôme en $a$ soit égale à $f^{(n)}(a)$ impose que le coefficient de $(x - a)^n$ soit $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. La factorielle apparaît parce que dériver $(x - a)^n$ au total $n$ fois donne $n!$. La série complète s’écrit :

Lorsque $a = 0$, la série s’appelle série de Maclaurin, et les puissances sont simplement des $x^n$. Le polynôme formé des termes jusqu’à $(x - a)^n$ est le polynôme de Taylor de degré $n$, noté $P_n(x)$. Les deux premiers termes seuls forment l’approximation par la tangente, aussi appelée approximation affine.

Construire la série de l’exponentielle

En prenant $x = 1$, on obtient une formule célèbre pour la constante elle-même : $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, qui atteint 2,71828 après une douzaine de termes, car les factorielles croissent très vite.

Les développements à connaître

Ces séries de Maclaurin reviennent sans cesse, et presque toutes les autres peuvent s’en déduire par substitution, multiplication, dérivation ou intégration :

Le sinus ne contient que des puissances impaires, ce qui est cohérent avec le fait que c’est une fonction impaire, et le cosinus que des puissances paires, conformément à sa symétrie. En dérivant terme à terme la série du sinus, on obtient celle du cosinus, exactement comme la dérivée de $\sin x$ doit être $\cos x$.

Pour vérifier, $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, alors que la valeur exacte est $0.0998334$. Deux termes donnent déjà six décimales exactes : c’est pourquoi les calculatrices peuvent évaluer si vite les fonctions trigonométriques avec des polynômes courts.

Développer autour d’un point non nul

Choisir $a$ près de la valeur qui vous intéresse fait converger l’approximation beaucoup plus vite. Pour estimer $\sqrt{4.1}$, développez $\sqrt{x}$ autour de $a = 4$, où la racine carrée est immédiate.

Quelle est la taille de l’erreur ?

Le théorème de Taylor donne l’erreur d’un polynôme de Taylor. Si $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ et $x$, alors le reste après le terme de degré $n$ vérifie :

Pour $e^{0.5}$ avec $n = 3$, la dérivée quatrième vaut $e^t \le e^{0.5} < 2$ sur l’intervalle, donc l’erreur est au plus $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. L’erreur réelle, $0.0029$, respecte bien cette majoration. Celle-ci sert aussi dans l’autre sens : elle indique combien de termes il faut pour garantir une précision donnée avant même de commencer les calculs.

Pour les séries alternées, comme celles du sinus et du cosinus, il existe une estimation encore plus simple : l’erreur ne dépasse pas le premier terme négligé. Les idées sur lesquelles repose cette règle sont traitées dans critères de convergence des séries.

Où la série converge

Une série de Taylor ne coïncide pas toujours avec sa fonction partout. La série géométrique de $\frac{1}{1 - x}$ ne fonctionne que pour $|x| < 1$ ; en $x = 2$, le membre de gauche vaut $-1$, alors que les termes de la série croissent sans borne. L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles une série converge est un intervalle centré en $a$, et sa demi-largeur est le rayon de convergence. On le détermine en général avec la règle de d’Alembert.

Les séries de $e^x$, $\sin x$ et $\cos x$ convergent pour tout réel $x$. La série de $\ln(1 + x)$ converge pour $-1 < x \le 1$ ; en $x = 1$, elle donne le résultat surprenant $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, même si elle converge très lentement.

À quoi servent les séries de Taylor

• Évaluer des fonctions : les calculatrices et les logiciels utilisent des approximations polynomiales très proches des polynômes de Taylor.
• Limites : remplacer $\sin x$ par $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ montre que $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ sans utiliser la règle de L'Hôpital.
• Intégrales sans primitive usuelle : intégrer terme à terme la série de $e^{-x^2}$ donne $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, très proche de la valeur exacte $0.7468$.
• Physique : l’approximation des petits angles $\sin\theta \approx \theta$ utilisée pour le pendule est le premier terme de la série du sinus.
• La formule d’Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, obtenue en comparant les trois séries.

La calculatrice de séries de Taylor développe n’importe quelle fonction à l’ordre de votre choix autour de n’importe quel point et affiche chaque dérivée. Savoir dériver est indispensable ici : les règles de dérivation expliquées sont donc un bon complément.

La méthode pour tout polynôme de Taylor

1. Choisissez le centre $a$ : un point proche de là où vous avez besoin des valeurs, où la fonction et ses dérivées sont faciles à évaluer.
2. Dérivez la fonction autant de fois que l’indique le degré voulu et simplifiez chaque dérivée.
3. Évaluez chaque dérivée en $a$.
4. Divisez la valeur $n$-ième par $n!$ pour obtenir chaque coefficient.
5. Écrivez le polynôme avec des puissances de $(x - a)$, et non de $x$, sauf si $a = 0$.
6. Vérifiez le premier coefficient : $P_n(a)$ doit être égal à $f(a)$, et la pente de $P_n$ en $a$ doit être égale à $f'(a)$.

Il est souvent plus rapide de construire une nouvelle série à partir d’une série connue que de dériver encore et encore. Par exemple, remplacer $x$ par $-x^2$ dans la série de $e^x$ donne directement $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, et multiplier la série du sinus par $x$ donne celle de $x\sin x$.

Visualiser les approximations sur un graphique

Tracez $\cos x$ avec ses polynômes de Taylor de degré 2, 4 et 6, et un schéma net apparaît. Le polynôme de degré 2, une parabole tournée vers le bas, colle bien à la courbe du cosinus près de zéro, mais s’en écarte au-delà d’une unité environ. Celui de degré 4 reste proche plus longtemps, et celui de degré 6 suit la courbe sur presque toute sa première bosse. Tout polynôme finit par partir vers l’infini, car aucun polynôme ne peut osciller indéfiniment, mais en ajoutant des termes, cet écart se produit de plus en plus loin : c’est précisément ce que signifie, en pratique, la convergence de la série.

Cette image est le meilleur moyen de se forger une intuition : l’approximation est excellente près du centre et se dégrade avec la distance. La calculatrice graphique peut tracer une fonction avec plusieurs de ses polynômes de Taylor pour que vous les voyiez converger.

Questions fréquentes