Calculatrice de convergence de séries

À propos de la calculatrice de convergence de séries

Savoir si une série converge est une compétence qui repose sur le choix du bon critère. Les cours d’analyse en enseignent au moins sept : la divergence grossière, les séries géométriques, les séries de Riemann, la comparaison directe et par équivalents, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, la comparaison série-intégrale et le critère spécial des séries alternées. Chacun fonctionne à merveille sur certaines séries et ne dit absolument rien sur d’autres ; toute la difficulté est de savoir lequel utiliser.

Cette calculatrice applique les critères dans un ordre fixe et raisonnable et indique le premier qui permet de conclure. Elle reconnaît les séries géométriques et calcule leur somme exacte, vérifie si le terme général tend vers zéro, traite les signes alternés et, pour les termes positifs, essaie la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, la comparaison à une série de Riemann, la condensation de Cauchy et la comparaison série-intégrale. Chaque limite nécessaire est calculée par le moteur de limites, qui se vérifie lui-même numériquement.

Lorsqu’un critère dépend d’une propriété impossible à démontrer symboliquement, comme la décroissance des termes à partir d’un certain rang, la calculatrice la contrôle sur de nombreux indices et le signale clairement. Si aucun critère ne permet de conclure, elle indique ceux qu’elle a essayés au lieu de deviner. Pour les séries alternées, elle distingue aussi la convergence absolue de la semi-convergence.

Que signifie la convergence d’une série ?

Une série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ est la somme d’une infinité de termes. Pour lui donner un sens, on étudie les sommes partielles $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . Si elles tendent vers une limite finie $S$ quand $N$ augmente, la série converge et sa somme vaut $S$ . Si elles croissent sans borne ou continuent d’osciller, la série diverge.

La convergence est subtile, car elle dépend de la vitesse à laquelle les termes diminuent, et pas seulement du fait qu’ils diminuent. Les termes de $\sum \frac1n$ tendent vers zéro, et pourtant les sommes partielles dépassent n’importe quel nombre : la série harmonique diverge. Les termes de $\sum \frac{1}{n^2}$ diminuent à peine plus vite, et cette série converge vers $\frac{\pi^2}{6}$ .

Pour la plupart des séries, on peut décider de la convergence sans calculer la somme, qui n’a d’ailleurs souvent pas d’expression simple. Les séries géométriques sont la principale exception : dès que la raison vérifie $|r| < 1$ , la somme vaut $\frac{a}{1-r}$ , où $a$ est le premier terme.

Comment utiliser la calculatrice de convergence de séries

Écrivez le terme général avec n comme indice, par exemple 1/n^2, (-1)^(n+1)/n ou 2^n/n!.
Les factorielles (n!), puissances, racines, logarithmes notés log pour ln et (−1)^n sont acceptés.
Saisissez l’indice de départ, la première valeur de n dans la somme. Par défaut, il vaut 1.
Cliquez sur Étudier la convergence pour voir les critères appliqués, les limites calculées et la conclusion.
Pour une série géométrique, lisez la somme exacte sur la dernière ligne.

Formules

Série géométrique

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

Divergence grossière

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}

Série de Riemann

\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1

Règle de d’Alembert

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Règle de Cauchy

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}

Critère spécial des séries alternées

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ converge}

Exemple corrigé: Série de Riemann Σ 1/n²

L’exemple résolu est calculé en direct pour la série de Riemann $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ . Les termes tendent vers 0 : il n’y a donc pas de divergence grossière et ce critère ne permet pas de conclure. La calculatrice estime ensuite la vitesse de décroissance des termes et les compare à $\frac{1}{n^2}$ ; la limite du quotient vaut 1, un nombre strictement positif et fini.

D’après le critère de comparaison par équivalents, la série a exactement la même nature que la série de Riemann d’exposant $p = 2$ , qui converge car $p > 1$ . Conclusion : la série converge. Sa somme, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , a été trouvée par Euler en 1734, mais la convergence se décide sans la connaître.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{converge} \approx 1.644934067

Comment nous avons lu votre problème

Déterminer si Σ 1 / n² (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

Solution étape par étape

Écrire la série
Σ a(n) pour n = 1, 2, 3, … avec a(n) = 1 / n^2. Premiers termes : 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
Test du terme général
lim a(n) = 0 : le test de divergence grossière ne permet pas de conclure ; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
Comparaison par équivalent avec une série de Riemann
Termes positifs : les termes diminuent à peu près comme 1/n^2 (estimé à partir de a(2N)/a(N)) : on compare donc avec Σ 1/n^2 : lim a(n)·n^2 = 1. La limite est un nombre positif fini, donc la série se comporte exactement comme la série de Riemann Σ 1/n^2, qui converge car p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
Estimer la somme numériquement
Les sommes partielles S_N ont été calculées pour plusieurs N et extrapolées à N → ∞ (extrapolation de Richardson ; pour des termes alternés, on fait d'abord la moyenne). Deux extrapolations indépendantes concordent à mieux que 10⁻¹⁰, ce qui donne S ≈ 1.644934067. Toute forme close affichée est une identification numérique, pas une preuve.

Formules utilisées

Test du terme général (divergence grossière)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ diverge}$
Série de Riemann
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ converge} \iff p > 1$

Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge) : on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification

Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Explication détaillée

Commencez par les critères rapides

Deux vérifications méritent toujours d’être faites en premier, car elles sont rapides. Si la série est géométrique, la raison $r$ décide de tout : elle converge lorsque $|r| < 1$ et la somme s’obtient immédiatement. Pour $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ , le premier terme est $a = -2$ et $r = -\frac23$ : la somme vaut donc $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

Vient ensuite la divergence grossière. Si les termes ne tendent pas vers zéro, la série diverge forcément, puisqu’on additionnerait indéfiniment des quantités de taille fixe. $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge pour cette raison, ses termes tendant vers 1. Attention à la réciproque : que les termes tendent vers zéro ne garantit pas la convergence, comme le montre la série harmonique.

Règles de d’Alembert et de Cauchy

La règle de d’Alembert compare chaque terme au précédent. Si le quotient $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ tend vers une limite $L < 1$ , les termes finissent par décroître au moins aussi vite que ceux d’une série géométrique convergente, et la série converge. Si $L > 1$ , les termes augmentent et la série diverge. Si $L = 1$ , on ne peut pas conclure.

C’est le choix naturel en présence de factorielles et d’exponentielles. Pour $\sum \frac{2^n}{n!}$ , le quotient se simplifie en $\frac{2}{n+1}$ , qui tend vers 0 : la série converge. La règle de Cauchy, fondée sur $\sqrt[n]{|a_n|}$ , est voisine et fonctionne mieux lorsque tout le terme est élevé à la puissance n. Les deux règles donnent toujours $L = 1$ pour les séries de Riemann et les fractions rationnelles en $n$ : il faut alors d’autres outils.

Comparaison aux séries de Riemann

Pour des termes qui se comportent comme une puissance de $n$ , on compare à $\sum \frac{1}{n^p}$ , qui converge exactement lorsque $p > 1$ . Le critère de comparaison par équivalents affirme que si $\frac{a_n}{b_n}$ tend vers un nombre strictement positif et fini, les deux séries sont de même nature. La calculatrice estime l’exposant $p$ adapté en observant comment les termes varient quand $n$ double, puis calcule cette limite de façon exacte.

Ainsi, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge par comparaison avec $\sum \frac1n$ , tandis que $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ converge absolument, puisque $|\sin n| \le 1$ entraîne que ses termes sont majorés par $\frac{1}{n^2}$ .

Logarithmes : condensation et comparaison série-intégrale

Les séries avec des logarithmes, comme $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ , se trouvent juste à la frontière où échouent les règles de d’Alembert et de Cauchy ainsi que la comparaison simple. La condensation de Cauchy les traite : pour des termes positifs et décroissants, $\sum a_n$ converge exactement lorsque $\sum 2^n a_{2^n}$ converge. Ici, la série condensée a des termes d’environ $\frac{1.4427}{n}$ , un multiple de la série harmonique : la série de départ diverge donc.

La comparaison série-intégrale aboutit au même type de conclusion en comparant la somme à $\int f(x)\,dx$ , où $f(n) = a_n$ est positive et décroissante. Ces deux techniques montrent avec quelle lenteur une série peut diverger : les sommes partielles de $\sum \frac{1}{n \ln n}$ croissent comme $\ln(\ln N)$ , qui reste inférieur à 4 même après un milliard de termes.

Séries alternées et semi-convergence

Quand les signes alternent, les compensations aident. Le critère spécial des séries alternées affirme que si les valeurs absolues $b_n$ décroissent vers zéro, la série converge. La série harmonique alternée $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ converge ainsi, vers $\ln 2$ , bien que $\sum \frac1n$ diverge.

Cette situation s’appelle la semi-convergence. Si la série des valeurs absolues converge aussi, comme pour $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , la convergence est absolue, ce qui est plus fort : on peut réordonner les termes d’une série absolument convergente sans changer sa somme, mais pas ceux d’une série semi-convergente. La calculatrice indique dans quel cas vous êtes.

Erreurs fréquentes

Conclure qu’une série converge parce que son terme général tend vers zéro.
Prendre $L = 1$ dans la règle de d’Alembert ou de Cauchy pour une conclusion ; cela signifie qu’on ne peut pas conclure.
Utiliser un mauvais premier terme dans une somme géométrique lorsque l’indice commence à 1 au lieu de 0.
Appliquer le critère spécial des séries alternées sans vérifier que les valeurs absolues décroissent.
Confondre la convergence de la suite $a_n$ et celle de la série $\sum a_n$ .
Comparer dans le mauvais sens, par exemple majorer une série par une série divergente.

Conseils

Vérifiez d’abord la divergence grossière ; elle règle instantanément le cas de nombreuses séries divergentes.
Pensez à la règle de d’Alembert dès que vous voyez des factorielles ou $c^n$ .
Pour les fractions rationnelles en $n$ , comparez les degrés : la série se comporte comme $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
Utilisez la condensation ou la comparaison série-intégrale en présence de logarithmes.
Pour les séries alternées, étudiez aussi la convergence absolue afin de préciser le type de convergence.
Calculez numériquement les premières sommes partielles pour voir si elles se stabilisent.

Questions fréquentes

Quel critère de convergence la calculatrice utilise-t-elle ?

Elle les essaie dans l’ordre : série géométrique, divergence grossière, critère spécial des séries alternées puis, pour les termes positifs, règle de d’Alembert, règle de Cauchy, comparaison par équivalents avec une série de Riemann, condensation de Cauchy et comparaison série-intégrale. Le premier critère concluant est affiché.

Peut-elle calculer la somme de la série ?

Elle donne la somme exacte des séries géométriques, par exemple −6/5 pour Σ 3(−2/3)ⁿ à partir de n = 1. Pour les autres séries, elle se contente de décider de la convergence, car la plupart des séries convergentes n’ont pas de somme exprimable simplement.

Pourquoi la série harmonique diverge-t-elle alors que ses termes tendent vers zéro ?

Les termes diminuent trop lentement. En les regroupant en 1/2, puis 1/3 + 1/4 > 1/2, puis 1/5 + … + 1/8 > 1/2, et ainsi de suite, on voit que les sommes partielles gagnent toujours au moins 1/2 : elles ne sont donc pas bornées.

Quelle différence entre convergence absolue et semi-convergence ?

Une série converge absolument si la somme des |aₙ| converge. Elle est semi-convergente si elle ne converge que grâce aux compensations de signes, comme la série harmonique alternée.

Comment écrire des factorielles et des signes alternés ?

Écrivez n! pour une factorielle et (-1)^n ou (-1)^(n+1) pour des signes alternés, par exemple (-1)^(n+1)/n ou 2^n/n!. Utilisez log(n) pour le logarithme népérien.

L’indice de départ influe-t-il sur la convergence ?

Non. Changer le point de départ de la somme ajoute ou retire un nombre fini de termes, ce qui modifie la somme mais jamais la nature de la série. Il compte en revanche pour une somme géométrique, et pour des termes comme 1/(n ln n), qui ne sont pas définis pour les petites valeurs de n.

Que se passe-t-il si aucun critère ne fonctionne ?

La calculatrice liste les critères essayés et indique qu’aucun n’a permis de conclure. Elle ne devine jamais. Les termes oscillants comme sin(n), dont la limite ne peut pas être déterminée, sont aussi clairement signalés.

Qu’est-ce qu’une série de Riemann ?

Une série de la forme Σ 1/nᵖ. Elle converge lorsque p > 1 et diverge lorsque p ≤ 1. C’est la référence habituelle pour les critères de comparaison, et Σ 1/n, avec p = 1, est la série harmonique.

Pourquoi la règle de d’Alembert échoue-t-elle pour 1/n² ?

Le quotient n²/(n + 1)² tend vers 1, le cas où l’on ne peut pas conclure. Il en va de même pour toutes les séries de Riemann ; c’est pourquoi la calculatrice passe aux critères de comparaison pour ce type de termes.

Essayez la calculatrice de convergence de séries

Écrivez le terme général d’une série et découvrez si elle converge ou diverge, avec le critère qui permet de conclure expliqué étape par étape.

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