Critères de convergence des séries, avec une stratégie pour choisir

Séries, sommes partielles et convergence

Une série est une somme d’une infinité de termes, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, que l’on note $\sum a_n$. On ne peut pas additionner directement une infinité de nombres : on additionne donc les $N$ premiers pour obtenir la somme partielle $S_N$, puis on étudie ce qui se passe quand $N$ grandit. Si les sommes partielles tendent vers une limite finie $S$, la série converge et sa somme vaut $S$. Sinon, elle diverge.

Additionner une infinité de nombres positifs peut donner un total fini. La série $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ a pour sommes partielles $0.5$, $0.75$, $0.875$, etc., chacune à mi-chemin entre la précédente et 1 : la somme vaut donc exactement 1. Imaginez que vous marchez vers un mur et que chaque pas couvre la moitié de la distance restante : vous faites une infinité de pas, mais vous ne parcourez jamais plus que la distance de départ. Tout le sujet repose sur les limites, appliquées à la suite des sommes partielles.

Séries géométriques

Une série géométrique multiplie à chaque fois par la même raison $r$. C’est l’un des rares types de séries dont on peut écrire la somme exacte :

Si $|r| \ge 1$, les termes ne tendent pas vers zéro et la série diverge. Par exemple, $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ a pour premier terme $a = 3$ et pour raison $r = \frac{1}{3}$, donc sa somme vaut $\frac{3}{2/3} = 4.5$. Les développements décimaux périodiques sont des séries géométriques déguisées : $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

Le test du terme général

Si les termes $a_n$ ne tendent pas vers 0, la série diverge (on dit qu’elle diverge grossièrement). Ce devrait toujours être votre première vérification, car elle prend quelques secondes. Par exemple, $\sum\frac{n}{n + 1}$ diverge, puisque ses termes tendent vers 1 : on ajoute presque 1 indéfiniment.

La réciproque est fausse, et c’est le malentendu le plus fréquent sur les séries. Que les termes tendent vers zéro ne garantit pas la convergence. La série harmonique $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ a des termes qui tendent vers 0 et pourtant elle diverge. Regroupez ses termes : $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, les quatre termes suivants dépassent $\frac{1}{2}$, les huit suivants aussi dépassent $\frac{1}{2}$, et ainsi de suite. Additionner une infinité de moitiés donne un total non borné. La croissance est toutefois très lente : le premier million de termes ne totalise qu’environ 14,4.

Séries de Riemann et comparaison série-intégrale

Une série de Riemann est de la forme $\sum\frac{1}{n^p}$. Son comportement ne dépend que de $p$ :

Ainsi, $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, et sa somme est le célèbre $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, alors que $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. La démonstration utilise la comparaison série-intégrale : si $f$ est positive, continue et décroissante avec $f(n) = a_n$, alors $\sum a_n$ et $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ sont de même nature, convergentes toutes les deux ou divergentes toutes les deux. Comme $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ est finie et que $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ est infinie, on en déduit les deux cas clés. Ces intégrales impropres sont calculées dans intégrale définie et intégrale indéfinie.

Critères de comparaison

Les critères de comparaison tranchent sur une série en la reliant à une autre que l’on connaît déjà, en général une série géométrique ou une série de Riemann. Pour les séries à termes positifs :

• Comparaison directe : si $0 \le a_n \le b_n$ et que $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge aussi. Si $a_n \ge b_n \ge 0$ et que $\sum b_n$ diverge, alors $\sum a_n$ diverge aussi.
• Comparaison par passage à la limite : si $\lim\frac{a_n}{b_n}$ est un nombre strictement positif et fini, les deux séries sont de même nature.

Pour choisir la série de comparaison, ne gardez que la plus grande puissance de $n$ au numérateur et au dénominateur. Ce qui reste vous indique à quelle série de Riemann ou géométrique vous comparer.

Règles de d’Alembert et de Cauchy

La règle de d’Alembert, ou critère du rapport, compare chaque terme au précédent. Posons $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Si $L < 1$, la série converge absolument ; si $L > 1$, elle diverge ; et si $L = 1$, on ne peut pas conclure. C’est le choix naturel pour les séries contenant des factorielles ou des puissances comme $2^n$.

La règle de Cauchy, ou critère de la racine, utilise $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ avec les mêmes conclusions, et convient aux termes élevés à la puissance $n$. Pour $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$, la racine $n$-ième vaut $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$, donc la série converge.

Séries alternées

Une série alternée change de signe à chaque terme. Le critère des séries alternées, dit de Leibniz, affirme que si les valeurs absolues des termes décroissent et tendent vers 0, la série converge. La série harmonique alternée $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ converge donc, et sa somme vaut $\ln 2 \approx 0.6931$.

Il y a en plus un avantage : l’erreur commise en s’arrêtant à un terme quelconque ne dépasse pas le premier terme négligé. Ainsi, en arrêtant la série harmonique alternée après 99 termes, on obtient $\ln 2$ avec une erreur inférieure à $\frac{1}{100}$.

Une série converge absolument si $\sum|a_n|$ converge, et elle est semi-convergente si elle ne converge que grâce à la compensation des signes. La série harmonique alternée est semi-convergente, puisque sans les signes, c’est la série harmonique, qui diverge. La convergence absolue est la propriété la plus forte : réordonner les termes d’une série absolument convergente ne change jamais sa somme, alors qu’une série semi-convergente peut être réordonnée pour avoir n’importe quelle somme.

Une stratégie pour choisir le critère

1. Les termes tendent-ils vers 0 ? Sinon, la série diverge.
2. S’agit-il d’une série géométrique ou de Riemann ? Appliquez la règle connue.
3. Contient-elle des factorielles ou des puissances d’exposant $n$ comme $3^n$ ? Utilisez la règle de d’Alembert.
4. Le terme entier est-il élevé à la puissance $n$ ? Utilisez la règle de Cauchy.
5. Est-ce une fraction rationnelle en $n$ ou quelque chose d’approchant ? Utilisez la comparaison par passage à la limite avec une série de Riemann.
6. Les signes alternent-ils ? Utilisez le critère des séries alternées, puis vérifiez la convergence absolue.
7. Le terme est-il une fonction facile à intégrer ? Pensez à la comparaison série-intégrale.

La calculatrice de convergence des séries applique ces critères, indique lequel permet de conclure et estime la somme. Les séries entières, dont les termes contiennent $x$, se traitent de la même façon : la règle de d’Alembert donne un rayon de convergence et les bornes s’étudient séparément, c’est ainsi qu’on obtient les intervalles de notre guide des séries de Taylor.

Séries télescopiques et exercices

Une série télescopique est une série dont les sommes partielles se simplifient parce que les termes voisins s’annulent. Écrire $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ montre que la somme partielle $S_N$ vaut $1 - \frac{1}{N + 1}$, qui tend vers 1. Repérer un schéma télescopique, souvent grâce à une décomposition en éléments simples, donne la somme exacte plutôt qu’une simple réponse par oui ou non.

Testez vos acquis sur ces séries avant de regarder les solutions : $\sum\frac{5}{4^n}$ est géométrique de raison un quart et converge ; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ diverge grossièrement, car ses termes tendent vers 1 ; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ converge en tant que série de Riemann avec $p > 1$ ; $\sum\frac{3^n}{n!}$ converge d’après la règle de d’Alembert ; et $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ est semi-convergente, puisque le critère des séries alternées s’applique mais que la série des valeurs absolues est une série de Riemann divergente.

Questions fréquentes