Calculatrice de limites

Q: Que fait la calculatrice de limites quand la substitution donne 0/0 ?

Elle reconnaît la forme indéterminée et applique la règle de L’Hôpital : elle dérive séparément le numérateur et le dénominateur, remplace à nouveau, et recommence jusqu’à lever l’indétermination ou jusqu’à ce que la méthode n’aide plus.

Q: Comment calculer une limite à gauche ou à droite ?

Choisissez « À droite » pour x → a⁺ ou « À gauche » pour x → a⁻. Les limites à gauche et à droite comptent pour les asymptotes verticales, aux bornes d’un ensemble de définition, comme √x en 0, et pour les fonctions définies par morceaux ou avec une valeur absolue.

Q: Comment saisir une limite à l’infini ?

Écrivez inf, ou -inf pour moins l’infini, dans le champ « x tend vers ». La calculatrice compare les termes dominants, applique la règle de L’Hôpital et réécrit sous forme exponentielle selon les besoins.

Q: Que signifie ici « la limite n’existe pas » ?

Soit la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, et la calculatrice l’indique avec les deux valeurs, soit les valeurs oscillent et ne se stabilisent jamais vers un nombre ni vers ±∞.

Q: Une limite infinie, est-ce la même chose que pas de limite ?

Au sens strict, une limite infinie n’est pas un nombre réel : la limite n’existe donc pas dans les réels. Dire qu’elle vaut +∞ est plus précis, car cela décrit le comportement des valeurs, c’est pourquoi la calculatrice l’indique ainsi.

Q: Pourquoi la calculatrice vérifie-t-elle les limites numériquement ?

Le calcul symbolique peut se tromper dans des cas subtils. Évaluer la fonction en une suite de points qui s’approchent de la cible confirme le résultat et, si les nombres contredisent le résultat symbolique, aucune réponse n’est affichée.

Q: Peut-elle lever les formes indéterminées du type 1 puissance infini ?

Oui. Elle passe au logarithme pour transformer la puissance en produit, lève la forme indéterminée 0·∞ obtenue avec la règle de L’Hôpital, puis repasse à l’exponentielle ; c’est ainsi qu’on montre que (1 + 1/x)^x → e.

Q: La limite est-elle égale à la valeur de la fonction en ce point ?

Seulement si la fonction y est continue. Pour (x² − 4)/(x − 2), la limite en 2 vaut 4 alors que l’expression n’est pas définie en x = 2.

Q: Peut-elle calculer des limites à deux variables ?

Non. La calculatrice travaille avec une seule variable, en général x. Les limites à plusieurs variables dépendent du chemin d’approche et demandent d’autres techniques.

À propos de la calculatrice de limites

Les limites sont le socle sur lequel repose toute l’analyse. Les dérivées sont des limites de taux d’accroissement, les intégrales des limites de sommes et la convergence d’une série une limite de sommes partielles. C’est pourtant avec les limites que les élèves rencontrent pour la première fois des expressions comme $\frac00$ , qui semblent dénuées de sens, et il est facile de ne plus savoir quelle méthode utiliser.

Cette calculatrice traite une limite comme le ferait un élève rigoureux. Elle essaie d’abord la substitution directe. Si une forme indéterminée apparaît, elle l’identifie — $\frac00$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ ou $\infty^0$ — et applique la méthode adaptée : la règle de L’Hôpital, la réécriture d’un produit en quotient, la multiplication par l’expression conjuguée ou le passage au logarithme. Chaque étape est affichée avec les dérivées calculées.

Ensuite, chaque résultat symbolique est comparé aux valeurs réelles de la fonction en des points de plus en plus proches de la cible. S’ils ne concordent pas, aucun résultat n’est affiché, ce qui vous protège des erreurs que les astuces symboliques produisent parfois avec une assurance trompeuse. La calculatrice calcule aussi les limites à gauche et à droite et vous prévient quand une limite n’existe pas parce que les deux côtés ne concordent pas.

Qu’est-ce qu’une limite ?

La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est la valeur dont $f(x)$ s’approche autant qu’on le veut lorsque $x$ est proche de $a$ , sans lui être égal. Elle décrit la tendance de la fonction près d’un point, pas sa valeur en ce point. La fonction n’a même pas besoin d’être définie en $a$ : $\frac{\sin x}{x}$ n’est pas définie en 0, et pourtant sa limite en ce point vaut exactement 1.

Formellement, $\lim_{x\to a} f(x) = L$ signifie que pour toute tolérance $\varepsilon > 0$ il existe une distance $\delta > 0$ telle que $|f(x) - L| < \varepsilon$ dès que $0 < |x - a| < \delta$ . Autrement dit : vous pouvez rendre $f(x)$ aussi proche de $L$ que vous le voulez en gardant $x$ suffisamment proche de $a$ .

Une limite peut aussi être infinie, ce que l’on note $\lim f(x) = \infty$ , lorsque les valeurs croissent sans borne ; de plus, $x$ peut tendre vers $\pm\infty$ , ce qui décrit le comportement de la fonction à long terme et ses asymptotes horizontales. Une limite n’existe que lorsque la limite à gauche et la limite à droite existent et sont égales.

Comment utiliser la calculatrice de limites

Écrivez la fonction de x, par exemple sin(x)/x, (x^2-4)/(x-2) ou (1+1/x)^x.
Saisissez la valeur vers laquelle tend x : un nombre, une fraction, pi, inf ou -inf.
Choisissez des deux côtés, à droite (x → a⁺) ou à gauche (x → a⁻).
Cliquez sur Calculer la limite pour voir la tentative de substitution, la forme indéterminée et chaque étape qui la lève.
Lisez la dernière ligne, qui donne la limite, ±∞ ou indique que la limite n’existe pas, et pourquoi.

Formules

Règle de L’Hôpital

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{pour } \tfrac00 \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}

Limite trigonométrique fondamentale

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Définition du nombre e

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

Formes indéterminées exponentielles

\lim f^{\,g} = e^{\lim g\,\ln f}

Limite à gauche et à droite

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L

Exemple corrigé: sin(x)/x, x → 0

L’exemple résolu est généré en direct pour $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ . En remplaçant $x = 0$ , on obtient $\frac00$ , une forme indéterminée : la calculatrice applique donc la règle de L’Hôpital. La dérivée du numérateur est $\cos x$ et celle du dénominateur vaut 1. En remplaçant à nouveau, on obtient $\cos 0 = 1$ : la limite vaut donc 1.

Un tableau de valeurs le confirme. En $x = 0.1$ , le quotient vaut environ 0.99833 et en $x = 0.01$ environ 0.9999833 : il s’approche de 1 par valeurs inférieures. C’est précisément cette limite qui explique pourquoi la dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ ; mieux vaut donc la reconnaître du premier coup d’œil.

La solution ci-dessous est produite par le même moteur que la calculatrice ci-dessus.

Réponse finale

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = 1

Comment nous avons lu votre problème

Calculer la limite de sin(x) / x quand x → 0.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x}

Solution étape par étape

Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient).
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1}$
Simplifier
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos\left( x\right)$
Substitution directe
L’expression est continue en x = 0 : la limite est donc égale à sa valeur en ce point.
$\lim_{x \to 0} \cos\left( x\right) = \cos\left(0\right) = 1$

Formules utilisées

Règle de L’Hôpital
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\ \text{pour } \tfrac{0}{0} \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}$
Limite des deux côtés
$\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$

Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification

Les valeurs numériques à droite concordent : f(0.01) = 0.99998333, f(0.001) = 0.99999983, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
Les valeurs numériques à gauche concordent : f(-0.01) = 0.99998333, f(-0.001) = 0.99999983, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Explication détaillée

Commencer par la substitution directe

Si la fonction est continue au point, la limite est simplement sa valeur en ce point : on commence donc toujours par remplacer. Les polynômes, les exponentielles, le sinus et le cosinus sont continus sur tout leur ensemble de définition, et les fractions rationnelles sont continues partout où le dénominateur ne s’annule pas. Si la substitution donne un nombre ordinaire, c’est terminé.

La substitution peut aussi révéler une limite infinie. Un nombre non nul divisé par une quantité qui tend vers zéro, comme $\frac1x$ près de 0, croît sans borne. Le signe dépend alors du côté : la calculatrice indique $+\infty$ à droite et $-\infty$ à gauche, et donc que la limite n’existe pas.

Formes indéterminées et règle de L’Hôpital

Des expressions comme $\frac00$ et $\frac{\infty}{\infty}$ sont appelées formes indéterminées, car la forme seule ne dit rien du résultat. $\frac{x^2}{x}$ , $\frac{x}{x}$ et $\frac{x}{x^2}$ donnent toutes $\frac00$ en zéro, et pourtant leurs limites sont 0, 1 et inexistante. Il faut regarder à quelle vitesse le numérateur et le dénominateur s’approchent de leurs limites.

La règle de L’Hôpital fait exactement cela en comparant des vitesses de variation. Quand les deux parties tendent vers 0, ou toutes les deux vers l’infini, la limite du quotient est égale à la limite du quotient des dérivées, à condition que cette nouvelle limite existe. Pour $\frac{x^2-4}{x-2}$ en $x = 2$ , les dérivées sont $2x$ et 1 : la limite vaut donc 4. Factoriser et simplifier donne le même résultat, $x + 2 \to 4$ , ce qui sert de vérification.

Il faut parfois appliquer la règle plusieurs fois. $\frac{1-\cos x}{x^2}$ reste de la forme $\frac00$ après une première application ; une deuxième donne $\frac{\cos x}{2}$ et la limite $\frac12$ . La calculatrice répète la règle automatiquement et s’arrête si les expressions se mettent à grossir au lieu de se simplifier.

Produits, différences et puissances

La règle de L’Hôpital ne s’applique qu’aux quotients : les autres formes indéterminées doivent donc d’abord être réécrites. Un produit $0 \cdot \infty$ devient un quotient en faisant passer l’un des facteurs au dénominateur sous forme d’inverse. Une différence $\infty - \infty$ comportant une racine carrée, comme $\sqrt{x^2 + x} - x$ à l’infini, se multiplie par l’expression conjuguée ; celle-ci se simplifie jusqu’à une limite de $\frac12$ .

Les formes indéterminées exponentielles $1^\infty$ , $0^0$ et $\infty^0$ se lèvent avec les logarithmes. Pour calculer $\lim (1 + \frac1x)^x$ , prenez le logarithme népérien : vous obtenez $x \ln(1 + \frac1x)$ , une forme $\infty\cdot 0$ ; réécrivez-la en quotient, appliquez la règle de L’Hôpital pour voir que le logarithme tend vers 1, puis passez à l’exponentielle. Le résultat est $e^1 = e \approx 2.718281828$ . La même méthode montre que $x^x \to 1$ quand $x \to 0^+$ .

Limites à l’infini et asymptotes horizontales

Quand $x \to \pm\infty$ , les fractions rationnelles sont gouvernées par leurs termes de plus haut degré. Si le numérateur et le dénominateur ont le même degré, la limite est le quotient des coefficients dominants : $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$ . Si le dénominateur est de degré supérieur, la limite vaut 0 ; si c’est le numérateur, la fonction croît sans borne.

Ces limites correspondent exactement aux asymptotes horizontales d’une courbe. Les exponentielles finissent par l’emporter sur toute puissance et les logarithmes croissent moins vite que toute puissance positive : ce sont les croissances comparées, que la règle de L’Hôpital permet de préciser.

Quand une limite n’existe pas

Une limite n’existe pas quand la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, comme pour $\frac{|x|}{x}$ en 0, où la calculatrice indique une limite à droite de 1 et une limite à gauche de $-1$ . Elle n’existe pas non plus quand la fonction oscille sans se stabiliser, comme $\sin\frac1x$ près de 0. Dans ce cas, la calculatrice explique que les valeurs ne se stabilisent pas au lieu d’inventer un nombre.

Une limite infinie est, en toute rigueur, une autre façon de ne pas exister en tant que nombre réel, mais elle apporte davantage d’information : elle est donc indiquée comme $\infty$ ou $-\infty$ , avec le côté auquel elle correspond.

Erreurs fréquentes

Écrire $\frac00 = 0$ ou $\frac00 = 1$ ; c’est une forme indéterminée qui demande plus de travail.
Appliquer la règle de L’Hôpital à une limite qui n’est ni de la forme $\frac00$ ni de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ , comme $\frac{x+1}{x}$ en 0.
Dériver la fraction entière avec la formule du quotient au lieu de dériver séparément le numérateur et le dénominateur.
Supposer que $1^\infty = 1$ ; la limite de $(1 + \frac1x)^x$ est $e$ , et non 1.
Conclure à l’existence d’une limite après n’avoir vérifié qu’un seul côté.
Utiliser le mode degrés d’une calculatrice pour des limites trigonométriques ; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ uniquement en radians.

Conseils

Remplacez toujours d’abord ; beaucoup de limites n’en demandent pas plus.
Essayez de factoriser et de simplifier avant de recourir à la règle de L’Hôpital ; c’est souvent plus rapide.
Pour les limites à l’infini, divisez chaque terme par la plus grande puissance de x du dénominateur.
Évaluez la fonction en quelques points proches de la cible pour estimer le résultat avant de le calculer.
Réécrivez les puissances dont l’exposant contient la variable sous la forme $e^{g \ln f}$ .
Esquissez ou tracez la fonction pour voir si les deux côtés concordent.

Questions fréquentes

Que fait la calculatrice de limites quand la substitution donne 0/0 ?