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Résoudre un problème
DérivéesAnalyseUniversité≈ 0:53

Évaluer la dérivée seconde de ln(x)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: f''(x) = -(1 / x²).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.3 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    d2dx2[ln⁡(x)]\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left[\ln\left( x\right)\right]
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. ddx[ln⁡(x)]\frac{d}{dx}\left[\ln\left( x\right)\right]
      Dérivée numéro 1
    2. ddx[ln⁡(x)]=1x\frac{d}{dx}\left[\ln\left( x\right)\right] = \frac{1}{x}
      d/dx[ln x] = 1/x
    3. f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}
      Simplifier la dérivée première
    4. ddx[1x]\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]
      Dérivée numéro 2
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ddx[1x]=−1x2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right] = -\frac{1}{{x}^{2}}
      Dérivée d’un quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{{x}^{2}}
      Simplifier la dérivée seconde
  4. 4. La réponse
    f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{{x}^{2}}

    f''(x) = -(1 / x²)

  5. 5. Vérification
    • Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Évaluer la dérivée seconde de ln(x). Calculer la dérivée seconde de ln(x) par rapport à x.

Étapes, partie 1. Dérivée numéro 1. d sur d x[ln x] égale 1/x. Simplifier la dérivée première. Dérivée numéro 2.

Étapes, partie 2. Dérivée d’un quotient: (u/v) prime égale (u prime v moins uv prime )/v au carré. Simplifier la dérivée seconde.

La réponse. La réponse est donc f prime prime (x) égale -(1 / x au carré). La dérivée se construit de l’extérieur vers l’intérieur: les sommes se séparent en termes, les constantes se mettent en facteur, les produits et les quotients suivent leurs formules, et chaque fonction composée est multipliée par la dérivée de sa fonction intérieure (dérivée d’une composée).

Vérification. Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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