Identités trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:13

cot(x) + tan(x) = sec(x)csc(x) est-elle une identité ?

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: L'identité est vraie (pour toute valeur où les deux membres sont définis)..

VitesseLangue

Chapitres

Transcription

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) = \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)$
2. Étapes, partie 1
1. $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
  Tout réécrire en fonction de sin x et de cos x
2. $\frac{1}{\sin x\cos x}$
  Membre de gauche en sinus et cosinus
3. $\frac{1}{\sin x\cos x}$
  Membre de droite en sinus et cosinus
4. $\text{membre de gauche} - \text{membre de droite} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
  Soustraire les membres et écrire la différence sur un dénominateur commun
3. Étapes, partie 2
1. $N = 0$
  Remplacer chaque cos²x par 1 − sin²x et regrouper les termes
2. Le numérateur est identiquement nul
4. La réponse
$\cot\left( x\right)+\tan\left( x\right) \equiv \sec\left( x\right) \csc\left( x\right)$
LHS − RHS reduces to 0
5. Vérification
- Vérification numérique en 10 valeurs tests : les deux membres coïncident.

Transcription

Le problème. Voici le problème : cot(x) plus tan(x) égale sec(x)csc(x) est-elle une identité ? Démontrer une identité trigonométrique.

Étapes, partie 1. Tout réécrire en fonction de sin x et de cos x. Identités utilisées:. Membre de gauche en sinus et cosinus. Membre de droite en sinus et cosinus. Soustraire les membres et écrire la différence sur un dénominateur commun. L’identité est vraie exactement lorsque ce numérateur est nul pour toute valeur de la variable.

Étapes, partie 2. Remplacer chaque cos au carréx par 1 moins sin au carréx et regrouper les termes. Le numérateur est identiquement nul. Tous les termes s’annulent après utilisation de sin au carré plus cos au carré égale 1: les deux membres sont donc égaux partout où ils sont définis.

La réponse. La réponse est donc L prime identité est vraie (pour toute valeur où les deux membres sont définis). Après avoir réécrit les deux membres avec des sinus et des cosinus et remplacé cos au carré par 1 moins sin au carré, la différence des deux membres vaut exactement 0: cot(x) plus tan(x) égale sec(x)csc(x) est donc vraie pour tout x où les deux membres sont définis.

Vérification. Vérification numérique en 10 valeurs tests: les deux membres coïncident.

Étapes à l’écran

Transcription

D’autres leçons comme celle-ci