Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:17

Résoudre cos(2x) = 0

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\cos\left(2~ x\right) = 0$
2. Étapes, partie 1
1. $\cos\left(2~ x\right) = 0$
  Partir de l’équation
2. $f(x) = \cos\left(2~ x\right) = 0$
  Réécrire sous la forme f(x) = 0
3. Le membre de gauche se répète tous les π, donc trouver les solutions dans une période
4. $x = \frac{\pi}{4},\ x = \frac{3\pi}{4}$
  Solutions dans une période [0, π)
3. Étapes, partie 2
1. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k,\quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  Ajouter un nombre entier de périodes
4. La réponse
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k,\ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/4 + πk, x = 3π/4 + πk (k any integer)
5. Vérification
- x = 0.78539816 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
- x = 2.3561945 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : cos(2x) égale 0. Une équation périodique en x: elle a une infinité de solutions, une famille pour chaque solution dans une période.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Réécrire sous la forme f(x) égale 0. Le membre de gauche se répète tous les pi, donc trouver les solutions dans une période. f(x plus pi) égale f(x) pour tout x, donc chaque solution est l’une des solutions dans [0, pi) plus un nombre entier de périodes. Solutions dans une période [0, pi).

Étapes, partie 2. Ajouter un nombre entier de périodes.

La réponse. La réponse est donc x égale pi/4 plus pik, x égale 3pi/4 plus pik (k tout entier relatif). Chaque solution dans une période a été trouvée numériquement, associée à une valeur exacte et confirmée par substitution; ajouter des périodes entières donne toutes les solutions.

Vérification. x égale 0.78539816: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié. x égale 2.3561945: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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