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Résoudre un problème
Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:12

Résoudre sin(2x) = 0

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = πk, x = π/2 + πk (k tout entier relatif).

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    sin⁡(2 x)=0\sin\left(2~ x\right) = 0
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. sin⁡(2 x)=0\sin\left(2~ x\right) = 0
      Partir de l’équation
    2. f(x)=sin⁡(2 x)=0f(x) = \sin\left(2~ x\right) = 0
      Réécrire sous la forme f(x) = 0
    3. Le membre de gauche se répète tous les π, donc trouver les solutions dans une période
    4. x=0, x=π2x = 0,\ x = \frac{\pi}{2}
      Solutions dans une période [0, π)
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. x=πk,x=π2+πk,k∈Zx = \pi k,\quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Ajouter un nombre entier de périodes
  4. 4. La réponse
    x=πk, x=π2+πk, k∈Zx = \pi k,\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = πk, x = π/2 + πk (k any integer)

  5. 5. Vérification
    • x = 0 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
    • x = 1.5707963 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : sin(2x) égale 0. Une équation périodique en x: elle a une infinité de solutions, une famille pour chaque solution dans une période.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Réécrire sous la forme f(x) égale 0. Le membre de gauche se répète tous les pi, donc trouver les solutions dans une période. f(x plus pi) égale f(x) pour tout x, donc chaque solution est l’une des solutions dans [0, pi) plus un nombre entier de périodes. Solutions dans une période [0, pi).

Étapes, partie 2. Ajouter un nombre entier de périodes.

La réponse. La réponse est donc x égale pik, x égale pi/2 plus pik (k tout entier relatif). Chaque solution dans une période a été trouvée numériquement, associée à une valeur exacte et confirmée par substitution; ajouter des périodes entières donne toutes les solutions.

Vérification. x égale 0: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié. x égale 1.5707963: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié.

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