Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:11

Résoudre tan(2x) = 2

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\tan\left(2~ x\right) = 2$
2. Étapes, partie 1
1. $\tan\left(2~ x\right) = 2$
  Partir de l’équation
2. $f(x) = \tan\left(2~ x\right)-2 = 0$
  Réécrire sous la forme f(x) = 0
3. Le membre de gauche se répète tous les π/2, donc trouver les solutions dans une période
4. $x \approx 0.5535743589$
  Solutions dans une période [0, π/2)
3. Étapes, partie 2
1. $x \approx 0.5535743589 + \frac{\pi k}{2},\quad k \in \mathbb{Z}$
  Ajouter un nombre entier de périodes
4. La réponse
$x \approx 0.5535743589 + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$
x ≈ 0.5535743589 + πk/2 (k any integer)
5. Vérification
- x = 0.55357436 : membre de gauche = 2, membre de droite = 2 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : tan(2x) égale 2. Une équation périodique en x: elle a une infinité de solutions, une famille pour chaque solution dans une période.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Réécrire sous la forme f(x) égale 0. Le membre de gauche se répète tous les pi/2, donc trouver les solutions dans une période. f(x plus pi/2) égale f(x) pour tout x, donc chaque solution est l’une des solutions dans [0, pi/2) plus un nombre entier de périodes. Solutions dans une période [0, pi/2).

Étapes, partie 2. Ajouter un nombre entier de périodes.

La réponse. La réponse est donc x environ 0.5535743589 plus pik/2 (k tout entier relatif). Chaque solution sur une période est une approximation numérique (environ 10 chiffres significatifs) confirmée par substitution; ajouter des périodes entières donne toutes les solutions.

Vérification. x égale 0.55357436: membre de gauche égale 2, membre de droite égale 2, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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