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Résoudre un problème
Équations polynomialesAlgèbreLycée≈ 1:46

Résoudre x³ - 6x = 0

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = - √6 ≈ -2.4494897, x = 0, x = √6 ≈ 2.4494897.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.7 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    x3−6 x=0{ x}^{3}-6~ x = 0
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. x3−6 x=0{ x}^{3}-6~ x = 0
      Partir de l’équation
    2. x3−6x=0x^{3} - 6x = 0
      Passer tous les termes dans un même membre
    3. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 0 est une racine
    4. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Résoudre l’équation du second degré restante
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅(−6)=24\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 24
      Calculer le discriminant
    2. Δ > 0, donc il y a deux racines réelles distinctes
    3. x=−b±Δ2a=0±242x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{24}}{2}
      Appliquer les formules des racines
    4. 24=26\sqrt{24} = 2\sqrt{6}
      Simplifier la racine carrée
  4. 4. Étapes, partie 3
    1. x=±6x = \pm \sqrt{6}
      Simplifier la fraction
    2. x=−6≈−2.4494897,x=0,x=6≈2.4494897x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\quad x = 0,\quad x = \sqrt{6} \approx 2.4494897
      Rassembler les solutions réelles
  5. 5. Sur le graphique
    -3-2-1123-10-8-6-4-2246810x = 0
    Chaque solution est un point où le graphique coupe zéro.
  6. 6. La réponse
    x=−6≈−2.4494897, x=0, x=6≈2.4494897x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\ x = 0,\ x = \sqrt{6} \approx 2.4494897

    x = - √6 ≈ -2.4494897, x = 0, x = √6 ≈ 2.4494897

  7. 7. Vérification
    • x = -2.4494897 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
    • x = 0 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
    • x = 2.4494897 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : x au cube moins 6x égale 0. Équation polynomiale de degré 3 en x.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Passer tous les termes dans un même membre. Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles: x égale 0 est une racine. La division synthétique (méthode de Horner) par (x moins 0) laisse un polynôme de degré 2. Résoudre l’équation du second degré restante.

Étapes, partie 2. Calculer le discriminant. delta supérieur à 0, donc il y a deux racines réelles distinctes. Appliquer les formules des racines. Simplifier la racine carrée.

Étapes, partie 3. Simplifier la fraction. Rassembler les solutions réelles.

Sur le graphique. Regardons maintenant le graphique du membre de gauche moins le membre de droite. Il coupe zéro exactement aux solutions trouvées.

La réponse. La réponse est donc x égale moins la racine carrée de 6 environ moins 2.4494897, x égale 0, x égale la racine carrée de 6 environ 2.4494897. Un polynôme de degré 3 a exactement 3 racines comptées avec leur multiplicité (certaines peuvent être complexes). Les racines rationnelles exactes sont cherchées d’abord, puis les autres sont calculées exactement ou approchées.

Vérification. x égale moins 2.4494897: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié. x égale 0: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié. x égale 2.4494897: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié.

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