अनुक्रम और श्रेणीबीजगणितकॉलेज≈ 2:36

1/n² का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

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1. प्रश्न
हल किया गया उदाहरण
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
2. चरण दर चरण
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
  श्रेणी लिखें
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
  n-वाँ पद परीक्षण
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
  p-श्रेणी से सीमा तुलना
4. योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ
3. उत्तर
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{अभिसरित} \approx 1.644934067$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)
4. जाँच
- आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1/n का वर्ग का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि 1 से ∞) तक Σ 1 / n का वर्ग (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 / n का वर्ग। पहले पद: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim a(n) बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। p-श्रेणी से सीमा तुलना. धनात्मक पद: पद लगभग 1/n का वर्ग की तरह घटते हैं (a(2N)/a(N)) से अनुमानित, इसलिए Σ 1/n का वर्ग से तुलना करें: lim a(n) गुणा n का वर्ग बराबर 1। सीमा एक धनात्मक परिमित संख्या है, इसलिए श्रेणी ठीक p-श्रेणी Σ 1/n का वर्ग की तरह व्यवहार करती है, जो अभिसरित होती है क्योंकि p से अधिक 1। योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ. आंशिक योग S N कई N के लिए निकाले गए और N → ∞ तक बहिर्वेशित किए गए (रिचर्डसन बहिर्वेशन; एकांतर पदों का पहले औसत लिया जाता है)। दो स्वतंत्र बहिर्वेशन 10 की घात घटा 10 से बेहतर मेल खाते हैं और S लगभग 1.644934067 देते हैं। दिखाया गया बंद रूप एक संख्यात्मक पहचान है, प्रमाण नहीं।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अभिसारी है (इसके साथ सीमा तुलना Σ 1/n का वर्ग); योग लगभग 1.644934067 (मेल खाता है पाई का वर्ग/6 10+ अंकों तक). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 1.5497677, S₁₀₀ बराबर 1.6349839, S₁₀₀₀ बराबर 1.6439346, S₁₀₀₀₀ बराबर 1.6448341.

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