आव्यूह कैलकुलेटर

आव्यूह कैलकुलेटर के बारे में

आव्यूह संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों में रखते हैं, और वे रैखिक बीजगणित, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, आर्थिक मॉडलों, सांख्यिकी और मशीन लर्निंग की भाषा हैं। संक्रियाएँ अपने आप में सरल हैं, लेकिन उनमें बहुत-से छोटे गुणन और योग होते हैं, और किसी एक प्रविष्टि में एक चूक पूरा उत्तर बिगाड़ देती है।

यह कैलकुलेटर आव्यूह की नौ संक्रियाएँ करता है: गुणन, योग, अंतर, अदिश गुणन, पूर्ण संख्या घातें, परिवर्त, समानीत पंक्ति सोपान रूप, कोटि और अनुरेख। प्रविष्टियाँ पूर्णांक, दशमलव या भिन्न हो सकती हैं, और सारी अंकगणना सटीक है, इसलिए $\frac32$ जैसा परिणाम पूर्णांकित दशमलव के बजाय भिन्न के रूप में दिखता है। पंक्ति समानयन हर पंक्ति संक्रिया को क्रम से सूचीबद्ध करता है।

आव्यूह क्या है?

आव्यूह संख्याओं की एक आयताकार व्यवस्था है जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ होते हैं; इसे $m \times n$ आव्यूह कहते हैं। पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ की प्रविष्टि $a_{ij}$ लिखी जाती है। वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है, और तत्समक आव्यूह $I$ के मुख्य विकर्ण पर इकाइयाँ और बाकी सब जगह शून्य होते हैं।

आव्यूह रैखिक प्रतिचित्रणों और रैखिक समीकरण निकायों को निरूपित करते हैं। किसी आव्यूह को सदिश से गुणा करने पर घूर्णन या मापन जैसा रूपांतरण लागू होता है, और दो आव्यूहों को गुणा करने पर दो रूपांतरण मिलकर एक बन जाते हैं।

आव्यूह कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सूची से एक संक्रिया चुनें।
आव्यूह A लिखें, प्रविष्टियों के बीच स्पेस और पंक्तियों के बीच अर्धविराम रखकर, उदाहरण के लिए 1 2; 3 4।
गुणन, योग और अंतर के लिए आव्यूह B इसी प्रारूप में लिखें।
अदिश गुणन या घात के लिए संख्या $k$ लिखें।
“गणना करें” दबाएँ और परिणाम तक चरणों का अनुसरण करें।

सूत्र

आव्यूह गुणनफल की प्रविष्टि

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

योग

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

परिवर्त

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

अनुरेख

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

हल सहित उदाहरण: A × B (2×2)

उदाहरण $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ को $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ से गुणा करता है। गुणनफल की हर प्रविष्टि $A$ की एक पंक्ति और $B$ के एक स्तंभ का बिंदु गुणनफल है; ऊपर बाईं प्रविष्टि $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ है।

बाकी तीन स्थानों के लिए यही दोहराने पर $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ मिलता है। क्रम बदलने पर $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ मिलता है, जो एक भिन्न आव्यूह है; इससे पता चलता है कि आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

A × B को सटीक रूप से निकालें।

स्टेप-बाय-स्टेप हल

आव्यूह A पढ़ें
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
आव्यूह B पढ़ें
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
हर प्रविष्टि A की एक पंक्ति और B के एक स्तंभ का बिंदु गुणनफल है
परिणाम 2×2 है।
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
परिणाम
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

आव्यूह गुणनफल
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A का मान 2×2 है और B का मान 2×2 है, इसलिए AB का मान 2×2 है। आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है: BA सामान्यतः भिन्न होता है।

जाँच

सारी अंकगणना सटीक है (भिन्नों में, बिना पूर्णांकन के)।

पूरी व्याख्या

संक्रियाएँ कब परिभाषित होती हैं

योग और अंतर के लिए ठीक एक ही आकार के आव्यूह चाहिए, और ये प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि होते हैं। गुणन $AB$ के लिए $A$ के स्तंभों की संख्या $B$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए; $m \times n$ आव्यूह को $n \times p$ आव्यूह से गुणा करने पर $m \times p$ परिणाम मिलता है। $2 \times 3$ आव्यूह $2 \times 2$ आव्यूह से गुणा नहीं हो सकता, और कैलकुलेटर त्रुटि कोड लौटाने के बजाय आकार का बेमेल समझाता है।

घातें केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित हैं, क्योंकि $A \cdot A$ के लिए आकार मेल खाने चाहिए। $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ की पाँचवीं घात $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ है, जिसकी प्रविष्टियाँ फिबोनाची संख्याएँ हैं।

पंक्ति समानयन और कोटि

समानीत पंक्ति सोपान रूप तीन पंक्ति संक्रियाओं से मिलता है: दो पंक्तियों की अदला-बदली, किसी पंक्ति को शून्येतर संख्या से गुणा करना, और एक पंक्ति के गुणज को दूसरी में जोड़ना। लक्ष्य है हर शून्येतर पंक्ति में अग्रणी 1, जिसके ऊपर और नीचे शून्य हों। रैखिक निकाय हल करने, आधार निकालने और स्वतंत्रता जाँचने का मानक तरीका यही रूप है।

कोटि समानीत पंक्ति सोपान रूप में शून्येतर पंक्तियों की संख्या है, जो रैखिकतः स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है। आव्यूह $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ समानयन के बाद एक शून्य पंक्ति वाले रूप में आता है, इसलिए उसकी कोटि 2 है: तीसरी पंक्ति पहली दो का संयोजन है।

परिवर्त और अनुरेख

परिवर्त आव्यूह को उसके मुख्य विकर्ण के परितः पलट देता है, पंक्तियों को स्तंभ बना देता है। यह बिंदु गुणनफल, न्यूनतम वर्ग समंजन और सममित आव्यूहों की परिभाषा में आता है, जो अपने परिवर्त के बराबर होते हैं। अनुरेख वर्ग आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियों का योग है; यह आइगेन मानों के योग के बराबर होता है, जिससे यह आइगेन मानों की गणना की त्वरित जाँच बन जाता है।

आम गलतियाँ

पंक्तियों को स्तंभों से गुणा करने के बजाय आव्यूहों को प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणा करना।
$AB = BA$ मान लेना; गुणनखंडों का क्रम मायने रखता है।
भिन्न आकार के आव्यूहों को जोड़ने की कोशिश करना।
गुणनफल का आकार गलत पढ़ना; $m \times n$ गुणा $n \times p$ का गुणनफल $m \times p$ होता है।
पंक्ति समानयन में किसी पंक्ति को शून्य से गुणा करना, जिससे जानकारी खो जाती है।

सुझाव

गुणा करने से पहले हर आव्यूह के पास उसका आकार लिखें, ताकि पक्का हो कि गुणनफल मौजूद है।
पंक्ति समानयन को सटीक रखने के लिए पूर्णांकित दशमलवों के बजाय भिन्नों का उपयोग करें।
गुणनफल की जाँच के लिए एक प्रविष्टि हाथ से निकालें।
कोई वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं, यह जाँचने के लिए सारणिक कैलकुलेटर का उपयोग करें।
जब आपका आव्यूह किसी रैखिक निकाय से आए, तो समीकरण निकाय कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

आव्यूह कैसे लिखूँ?

एक पंक्ति की प्रविष्टियों को स्पेस या अल्पविराम से और पंक्तियों को अर्धविराम से अलग करें। उदाहरण के लिए, 1 2; 3 4 वह 2×2 आव्यूह है जिसकी पंक्तियाँ (1, 2) और (3, 4) हैं।

आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय क्यों नहीं है?

AB, A की पंक्तियों को B के स्तंभों से जोड़ता है, जबकि BA, B की पंक्तियों को A के स्तंभों से। ये अलग-अलग गणनाएँ हैं, इसलिए परिणाम आम तौर पर अलग होते हैं, और हो सकता है कि एक गुणनफल मौजूद हो और दूसरा नहीं।

दो आव्यूहों को कब गुणा किया जा सकता है?

जब पहले के स्तंभों की संख्या दूसरे की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। गुणनफल में पंक्तियाँ पहले जितनी और स्तंभ दूसरे जितने होते हैं।

समानीत पंक्ति सोपान रूप क्या है?

ऐसा रूप जिसमें हर शून्येतर पंक्ति अग्रणी 1 से शुरू होती है, हर अग्रणी 1 अपने ऊपर वाले के दाईं ओर होता है, और किसी अग्रणी 1 के स्तंभ की बाकी हर प्रविष्टि शून्य होती है।

आव्यूह की कोटि मुझे क्या बताती है?

रैखिकतः स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या। वर्ग आव्यूह के लिए पूर्ण कोटि का अर्थ है कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है और संबंधित रैखिक निकाय का अद्वितीय हल है।

क्या आव्यूह में भिन्न लिख सकता हूँ?

हाँ। 1/2 जैसी प्रविष्टियाँ स्वीकार की जाती हैं, और सभी परिणाम सटीक भिन्नों से निकाले जाते हैं।

आव्यूह का अनुरेख क्या है?

वर्ग आव्यूह के मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों का योग। यह आव्यूह के आइगेन मानों के योग के बराबर भी होता है।

अपनी आव्यूह गणना करें

ऊपर संक्रिया चुनें और आव्यूह लिखें, और सटीक भिन्नों और हर चरण के साथ परिणाम पाएँ।

कैलकुलेटर इस्तेमाल करें AI सॉल्वर से पूछें