सदिश गुणनफल कैलकुलेटर — 3 विमाओं के सदिश, क्षेत्रफल और अभिलंब

सदिश गुणनफल कैलकुलेटर के बारे में

सदिश गुणनफल अंतरिक्ष के दो सदिश लेकर ऐसा तीसरा सदिश देता है जो दोनों पर लंब हो। समतल का अभिलंब सदिश निकालने, 3 विमाओं में समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने, और भौतिकी में बल-आघूर्ण और कोणीय संवेग जैसी घूर्णी राशियों का वर्णन करने का यही मानक तरीका है।

यह कैलकुलेटर त्रिविमीय सदिशों के लिए $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ जाने-पहचाने सारणिक विन्यास से निकालता है, जिसकी पहली पंक्ति में $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ और $\mathbf{k}$ होते हैं। वह हर घटक अलग से दिखाता है, बीच वाले पद का वह चिह्न-परिवर्तन भी जिससे सबसे अधिक गलतियाँ होती हैं, फिर परिमाण देता है और पुष्टि करता है कि परिणाम दोनों इनपुट पर लंबकोणीय है।

सदिश गुणनफल क्या है?

सदिशों $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ और $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ के लिए सदिश गुणनफल सदिश $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ है। यह त्रिविमीय सदिशों के लिए परिभाषित है, और परिणाम भी तीन विमाओं का सदिश होता है।

इसकी दिशा $\mathbf{u}$ और $\mathbf{v}$ दोनों पर लंब होती है, जिसे दक्षिण-हस्त नियम से चुना जाता है: अपने दाएँ हाथ की उँगलियों को $\mathbf{u}$ से $\mathbf{v}$ की ओर मोड़ें, तो अँगूठा $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ की दिशा बताता है। इसकी लंबाई $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ है, यानी दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

सदिश गुणनफल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहले सदिश के तीनों घटक अल्पविराम से अलग करके लिखें, उदाहरण के लिए 1, 2, 3।
दूसरे सदिश के तीनों घटक लिखें।
“गणना करें” दबाएँ।
i, j और k घटक और परिणामी सदिश पढ़ें।
क्षेत्रफल के लिए परिमाण वाला चरण और परिणाम की पुष्टि के लिए लंबकोणीयता की जाँच देखें।

सूत्र

सारणिक रूप

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

परिमाण

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

प्रतिक्रमविनिमेयता

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

त्रिभुज का क्षेत्रफल

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

हल सहित उदाहरण: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

उदाहरण $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ का सदिश गुणनफल निकालता है। $\mathbf{i}$ घटक $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ है; $\mathbf{j}$ घटक $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ है; $\mathbf{k}$ घटक $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ है।

इसलिए $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , जिसका परिमाण $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ है, यानी दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल। हर इनपुट के साथ इसका बिंदु गुणनफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि यह दोनों पर लंब है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

हमने आपका सवाल कैसे समझा

दो 3D सदिशों का सदिश (क्रॉस) गुणनफल।

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

स्टेप-बाय-स्टेप हल

पहली पंक्ति में इकाई सदिश i, j, k रखकर सारणिक लिखें
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i घटक
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j घटक (प्रसार में ऋण चिह्न पर ध्यान दें)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k घटक
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
परिमाण = u और v से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
लंबकोणीयता जाँचें
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

सदिश (क्रॉस) गुणनफल
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
परिमाण
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

परिणाम u और v दोनों पर लंब है; उसकी लंबाई 3√6 ≈ 7.348469228 उनके द्वारा बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है (त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा है)।

जाँच

परिणाम दोनों इनपुट सदिशों पर लंब है (दोनों बिंदु गुणनफल 0)।

पूरी व्याख्या

सारणिक विधि

इकाई सदिशों को $3 \times 3$ सारणिक की पहली पंक्ति में लिखकर उस पंक्ति के अनुदिश प्रसार करना सूत्र याद रखने का सबसे आसान तरीका है। हर घटक एक $2 \times 2$ सारणिक है, जो उन स्तंभों से बनता है जो उस इकाई सदिश के नहीं हैं। बीच वाले पद पर सहखंड प्रतिरूप $+, -, +$ से ऋण चिह्न आता है, इसीलिए कैलकुलेटर उसे स्पष्ट रूप से चिह्नित करता है।

सदिश गुणनफल योग पर वितरित होता है, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , और किसी भी इनपुट को मापने से परिणाम भी मपता है। लेकिन यह साहचर्य नहीं है: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ और $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ सामान्यतः अलग सदिश होते हैं। $\langle 1, 2, 0 \rangle$ और $\langle 3, 4, 0 \rangle$ जैसे समतल सदिशों के लिए परिणाम $\langle 0, 0, -2 \rangle$ सीधे $z$ -अक्ष के नीचे की ओर इंगित करता है, और उसकी लंबाई 2 समतल में बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

ज्यामितीय अर्थ

सदिश गुणनफल का परिमाण भुजाओं $\mathbf{u}$ और $\mathbf{v}$ वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, इसलिए उसका आधा उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है। शीर्षों $P$ , $Q$ और $R$ वाले त्रिभुज के लिए $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PR}$ का सदिश गुणनफल निकालें और लंबाई को आधा करें।

अगर सदिश समांतर हों, तो समांतर चतुर्भुज सिमट जाता है और सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है। $\langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\langle 2, 4, 6 \rangle$ के लिए कैलकुलेटर $\langle 0, 0, 0 \rangle$ लौटाता है, जो समांतर सदिशों का त्वरित परीक्षण है।

अभिलंब, समतल और भौतिकी

किसी समतल में स्थित दो दिशा सदिशों का सदिश गुणनफल उस समतल का अभिलंब सदिश देता है, और समतल के एक बिंदु के साथ आप उसका समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ लिख सकते हैं। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में यही गणना प्रकाश-व्यवस्था के लिए सतह के अभिलंब देती है।

भौतिकी में बल-आघूर्ण $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ है और गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ है। हर स्थिति में परिणाम दोनों इनपुट के समतल पर लंब दिशा में होता है, जैसा दक्षिण-हस्त नियम बताता है।

आम गलतियाँ

$\mathbf{j}$ घटक पर ऋण चिह्न भूल जाना।
$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ मान लेना; क्रम उलटने से दिशा उलट जाती है।
द्विविमीय सदिशों पर पहले शून्य तीसरा घटक जोड़े बिना सदिश गुणनफल लगाना।
सदिश गुणनफल को बिंदु गुणनफल से उलझाना, जो एक संख्या देता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते समय परिमाण को आधा करना भूल जाना।

सुझाव

अपने उत्तर का हर इनपुट के साथ बिंदु गुणनफल लेकर जाँच करें; दोनों परिणाम 0 होने चाहिए।
याद रखने के लिए $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ और $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ का उपयोग करें।
2 विमाओं के सदिशों के लिए तीसरा घटक 0 लिखें; तब उत्तर $z$ -अक्ष की दिशा में होगा।
सदिशों के बीच का कोण निकालने के लिए बिंदु गुणनफल कैलकुलेटर का उपयोग करें।
अदिश त्रिक गुणनफल $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ को $3 \times 3$ सारणिक के रूप में निकालने के लिए सारणिक कैलकुलेटर का उपयोग करें।
दोनों सदिशों का रेखाचित्र बनाएँ और गणना से पहले दक्षिण-हस्त नियम से हर घटक के चिह्न का अनुमान लगाएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

सदिश गुणनफल कैसे निकालते हैं?

3×3 सारणिक की पहली पंक्ति में i, j और k रखें और अगली पंक्तियों में दोनों सदिश, फिर पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें। j घटक पर ऋण चिह्न याद रखें।

सदिश गुणनफल का परिमाण क्या दर्शाता है?

दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल। उसका आधा उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

क्या सदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है?

नहीं। क्रम बदलने से दिशा उलट जाती है: v × u = −(u × v)।

क्या 2 विमाओं के सदिशों का सदिश गुणनफल ले सकता हूँ?

सीधे नहीं; सदिश गुणनफल तीन घटकों के लिए परिभाषित है। हर सदिश में तीसरे घटक के रूप में 0 जोड़ें, तो परिणाम z-अक्ष की दिशा में होगा।

शून्य सदिश गुणनफल का क्या अर्थ है?

सदिश समांतर हैं (या उनमें से एक शून्य सदिश है), इसलिए वे कोई क्षेत्रफल नहीं घेरते।

सदिश गुणनफल की जाँच कैसे करूँ?

हर मूल सदिश के साथ उसका बिंदु गुणनफल लें। दोनों परिणाम शून्य होने चाहिए, क्योंकि सदिश गुणनफल दोनों इनपुट पर लंब है। कैलकुलेटर यह जाँच आपके लिए करता है।

किसी समतल का अभिलंब सदिश कैसे निकालूँ?

समतल में स्थित दो असमांतर सदिश लें और उनका सदिश गुणनफल निकालें। परिणाम समतल पर लंब होता है।

अपने सदिशों का सदिश गुणनफल निकालें

ऊपर दो त्रिविमीय सदिश लिखें, और हर घटक, परिमाण और लंबकोणीयता की जाँच के साथ परिणाम पाएँ।

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