बीजगणित
रैखिक समीकरण चरण-दर-चरण कैसे हल करें
रैखिक समीकरण अज्ञात पर की गई संक्रियाओं को उल्टे क्रम में पलटकर हल होता है, दोनों पक्षों को बराबर रखते हुए। यह मार्गदर्शिका इस विचार को पाँच चरणों की विधि में बदलती है और हर आम रूप को हल करके दिखाती है।
गणित की मार्गदर्शिकाएँ, पाठ और पढ़ाई के सुझाव
ऐसी मार्गदर्शिकाएँ जो आम प्रश्नों के पीछे की विधि समझाती हैं, और जिनके हल किए गए उदाहरण आप कैलकुलेटर में जाँच सकते हैं।
बीजगणित
द्विघात समीकरण कैसे हल करें: गुणनखंड, पूर्ण वर्ग और सूत्र
जब गुणनखंड काम करे तो वह सबसे तेज़ है, पूर्ण वर्ग बनाना बताता है कि सूत्र कहाँ से आता है, और द्विघात सूत्र हमेशा काम करता है। यहाँ जानिए कि कौन-सी विधि कैसे चुनें, हर उदाहरण की जाँच के साथ।
बीजगणित
बहुपदों का गुणनखंड कैसे करें: चरण-दर-चरण विधि सूची
गुणनखंड करना उलटा गुणा है। महत्तम समापवर्तक से शुरू करके एक निश्चित सूची के अनुसार चलें, और बीजगणित में मिलने वाले लगभग हर बहुपद को सरल गुणनखंडों में तोड़ा जा सकता है।
बीजगणित
समीकरण निकाय कैसे हल करें: आलेख, प्रतिस्थापन और विलोपन
समीकरण निकाय ऐसे मान पूछता है जो एक साथ हर समीकरण को संतुष्ट करें। प्रतिस्थापन और विलोपन दोनों किसी भी रैखिक निकाय पर काम करते हैं; कला उस विधि को चुनने में है जिसमें कम अंकगणित लगे।
बीजगणित
बीजीय व्यंजकों को चरण-दर-चरण सरल कैसे करें
सरल करने का अर्थ है किसी व्यंजक को ऐसे तुल्य, छोटे रूप में लिखना जिससे किसी भी अनुमत निवेश के लिए उसका मान न बदले। समझदारी से चुने गए क्रम में लगाए गए कुछ नियम लगभग हर स्थिति सँभाल लेते हैं।
बीजगणित
असमिकाएँ कैसे हल करें और उत्तर अंतराल संकेतन में कैसे लिखें
असमिकाएँ लगभग ठीक समीकरणों की तरह हल होती हैं, एक अतिरिक्त नियम और अलग तरह के उत्तर के साथ: एक संख्या के बजाय मानों का एक परिसर। यह मार्गदर्शिका हर आम प्रकार समझाती है।
बीजगणित
पूर्ण वर्ग बनाना: चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि $x^2 + bx$ को एक पूर्ण वर्ग में से एक अचर घटाकर लिखती है। यह किसी भी द्विघात समीकरण को हल करती है, परवलय का शीर्ष देती है, द्विघात सूत्र बनाती है, और वृत्तों तथा कलन में फिर से सामने आती है।
कलन-पूर्व गणित
लघुगणक की व्याख्या: परिभाषा, नियम और समीकरण हल करना
लघुगणक एक प्रश्न का उत्तर देता है: यह संख्या पाने के लिए आधार को किस घात तक उठाना होगा? इस मार्गदर्शिका का हर नियम और हर तकनीक इसी एक विचार से निकलती है।
कलन-पूर्व गणित
फलन का प्रांत और परिसर कैसे निकालें
प्रांत वे सभी निवेश हैं जिन्हें फलन स्वीकार करता है; परिसर वे सभी निर्गत हैं जो वह दे सकता है। प्रांत निकालने का अर्थ है वर्जित निवेशों को खोजना, और परिसर निकालने का अर्थ है यह पूछना कि कौन-से निर्गत वास्तव में प्राप्त हो सकते हैं।
कलन-पूर्व गणित
फलनों का संयोजन: f(g(x)) कैसे निकालें और इस्तेमाल करें
फलनों के संयोजन का अर्थ है एक फलन का निर्गत दूसरे फलन में डालना। इसी तरह सरल टुकड़ों से जटिल सूत्र बनते हैं, और प्रतिलोम फलनों तथा कलन के शृंखला नियम के लिए इन टुकड़ों को पहचानना ज़रूरी है।
कलन-पूर्व गणित
प्रतिलोम फलन: प्रतिलोम कैसे निकालें, आलेखित करें और जाँचें
प्रतिलोम फलन मूल फलन के किए को पलट देता है। अगर $f$ 2 को 7 पर भेजता है, तो उसका प्रतिलोम 7 को वापस 2 पर भेजता है। यह मार्गदर्शिका समझाती है कि प्रतिलोम कब होता है, उसका सूत्र कैसे निकालें और उसे कैसे जाँचें।
कलन-पूर्व गणित
बहुपद फलन: घात, अंत्य व्यवहार, शून्यक और आलेख
रेखाओं और परवलयों के बाद बहुपद सबसे सरल फलन हैं, और उनके आलेख कुछ भरोसेमंद नियमों का पालन करते हैं। घात, प्रमुख गुणांक और शून्यक जान लेने पर आप लगभग किसी भी बहुपद का रेखाचित्र हाथ से बना सकते हैं।
त्रिकोणमिति
इकाई वृत्त: रेडियन, संदर्भ कोण और त्रिकोणमितीय अनुपातों के यथार्थ मान
इकाई वृत्त त्रिकोणमिति को रटने वाले तथ्यों की सूची से बदलकर एक ऐसा चित्र बना देता है जिसे आप पढ़ सकते हैं। हर कोण वृत्त के एक बिंदु के संगत होता है, और उस बिंदु के निर्देशांक उस कोण के कोसाइन और साइन होते हैं।
त्रिकोणमिति
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ: ज़रूरी सूची और उसका उपयोग
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका ऐसा समीकरण है जो हर उस कोण के लिए सत्य है जहाँ दोनों पक्ष परिभाषित हों। इकाई वृत्त से बनी सर्वसमिकाओं की एक छोटी सूची से आप व्यंजक सरल कर सकते हैं, यथार्थ मान निकाल सकते हैं, परिणाम सिद्ध कर सकते हैं और समीकरण हल कर सकते हैं।
त्रिकोणमिति
साइन नियम, संदिग्ध स्थिति सहित
साइन नियम कहता है कि किसी भी त्रिभुज में हर भुजा को उसके सम्मुख कोण के साइन से भाग देने पर एक ही संख्या मिलती है। यह तब त्रिभुज हल करता है जब दो कोण और एक भुजा ज्ञात हों, और सावधानी के साथ तब भी जब दो भुजाएँ और उनमें से एक के सम्मुख कोण ज्ञात हो।
त्रिकोणमिति
कोसाइन नियम, उदाहरणों के साथ
कोसाइन नियम पाइथागोरस प्रमेय को हर त्रिभुज तक बढ़ाता है। जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो यह तीसरी भुजा निकालता है, और जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, तो कोई भी कोण निकालता है।
त्रिकोणमिति
किसी भी त्रिभुज को कैसे हल करें, स्थिति-दर-स्थिति
त्रिभुज हल करने का अर्थ है दिए गए भागों से तीनों भुजाएँ और तीनों कोण निकालना। कौन-सा साधन लगेगा, यह इस पर निर्भर है कि आपको कौन-से तीन भाग ज्ञात हैं, इसलिए पहला चरण हमेशा स्थिति पहचानना है।
कलन
कलन में सीमा: एक व्यावहारिक मार्गदर्शिका
सीमा वह मान बताती है जिसकी ओर कोई फलन तब बढ़ता है जब उसका निवेश किसी संख्या की ओर बढ़ता है, चाहे फलन उस मान तक वास्तव में पहुँचे या न पहुँचे। सीमाएँ अवकलज, समाकल और अनंत श्रेणियों की नींव हैं, इसलिए उन्हें आत्मविश्वास से निकालना कलन का पहला वास्तविक कौशल है।
कलन
अवकलज क्या है? एक स्पष्ट परिचय
किसी फलन का अवकलज यह मापता है कि किसी एक क्षण पर निवेश बदलने के साथ उसका निर्गत कितनी तेज़ी से बदलता है। आलेख में यह स्पर्श रेखा की ढलान है; बीजगणितीय रूप से यह छोटे से छोटे अंतरालों पर परिवर्तन की औसत दरों की सीमा है।
कलन
हल किए गए उदाहरणों के साथ अवकलज के नियम
सीमा वाली परिभाषा से अवकलज निकालना धीमा काम है। कुछ गिने-चुने नियम, जिनमें से हर एक उसी परिभाषा से एक बार सिद्ध किया गया है, आपको लगभग किसी भी सूत्र का अवकलन कुछ ही पंक्तियों में करने देते हैं। यह मार्गदर्शिका हर नियम को, उसके काम करने के कारण को और नियमों को आपस में जोड़ने के तरीके को समझाती है।
कलन
समाकल क्या है? शुरुआती विद्यार्थियों के लिए सरल व्याख्या
समाकल अनगिनत नन्हे टुकड़ों को जोड़कर कुल मान निकालता है: क्षेत्रफल, दूरी, आयतन या कोई भी संचित राशि। कलन की आधारभूत प्रमेय जोड़ने की इस प्रक्रिया को प्रतिअवकलजों से जोड़ती है, और इसी से समाकलों की गणना व्यावहारिक बनती है।
कलन
निश्चित और अनिश्चित समाकल
अनिश्चित समाकल फलनों का एक कुल है, यानी प्रतिअवकलज, जिसे अचर $+ C$ के साथ लिखा जाता है। निश्चित समाकल की समाकलन सीमाएँ होती हैं और वह एक ही संख्या देता है, जो चिह्नित क्षेत्रफल या संचित कुल होती है। कलन की आधारभूत प्रमेय पहले से दूसरे की गणना संभव बनाती है।
कलन
अस्पष्ट अवकलन, चरण-दर-चरण
अस्पष्ट अवकलन x और y वाले किसी समीकरण से परिभाषित वक्रों के लिए dy/dx निकालता है, पहले y के लिए हल किए बिना। आप दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करते हैं, y को x का फलन मानते हैं ताकि शृंखला नियम लागू हो, और फिर dy/dx के लिए हल करते हैं।
कलन
टेलर श्रेणी: बहुपदों से फलनों का सन्निकटन
टेलर श्रेणी किसी फलन को एक ही बिंदु पर उसके अवकलजों से बने अनंत बहुपद के रूप में फिर से लिखती है। कुछ पदों के बाद श्रेणी को काट देने से टेलर बहुपद मिलता है, एक ऐसा सन्निकटन जिसकी गणना आसान है और जिसकी त्रुटि की सीमा बाँधी जा सकती है।
कलन
श्रेणी अभिसरण परीक्षण, और सही परीक्षण चुनने की रणनीति
अनंत श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या की ओर बढ़ते हैं। उस संख्या की गणना करने के बजाय अभिसरण परीक्षण यह तय करते हैं कि वह संख्या अस्तित्व में है या नहीं, और हर परीक्षण पदों के किसी खास रूप के लिए उपयुक्त होता है। असली कौशल यह जानना है कि कौन-सा परीक्षण किस श्रेणी पर लगता है।
रैखिक बीजगणित
आव्यूह की मूल बातें: शुरुआती विद्यार्थियों के लिए मार्गदर्शिका
आव्यूह संख्याओं का एक आयताकार जाल है जो पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होता है। आव्यूह आँकड़ों को संक्षिप्त रूप में रखते हैं और, इससे भी अहम, रैखिक रूपांतरणों और समीकरण निकायों को दर्शाते हैं। यह मार्गदर्शिका संकेतन और मुख्य संक्रियाओं को समझाती है, जिसमें आव्यूह गुणन पर विशेष ध्यान है।
रैखिक बीजगणित
किसी आव्यूह का सारणिक कैसे ज्ञात करें
सारणिक एक वर्ग आव्यूह से निकाली गई एक अकेली संख्या है। यह बताता है कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं, आव्यूह क्षेत्रफलों और आयतनों को कितने गुना बदलता है, और क्या वह अभिविन्यास को उलट देता है। यह मार्गदर्शिका इसे निकालने की हर मानक विधि को हल किए गए उदाहरणों के साथ दिखाती है।
रैखिक बीजगणित
किसी आव्यूह का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें
किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह के प्रभाव को पलट देता है, ठीक वैसे ही जैसे भाग गुणा को पलट देता है। किसी आव्यूह का व्युत्क्रम ठीक तब होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो। यह मार्गदर्शिका 2 बाय 2 का त्वरित सूत्र, व्यापक गॉस-जॉर्डन विधि और व्युत्क्रम से समीकरण निकाय हल करने का तरीका समझाती है।
रैखिक बीजगणित
आइगेनमान और आइगेनसदिश उदाहरणों सहित
किसी आव्यूह का आइगेनसदिश वह दिशा है जिसे आव्यूह केवल खींचता या पलटता है, कभी घुमाता नहीं, और आइगेनमान उस खिंचाव का गुणक है। ये आव्यूह के मूल व्यवहार को उजागर करते हैं और विकर्णीकरण, स्थायित्व विश्लेषण, मार्कोव श्रृंखलाओं और आँकड़ा संपीड़न का आधार हैं।
रैखिक बीजगणित
अदिश गुणनफल की सरल व्याख्या
अदिश गुणनफल दो सदिशों को मिलाकर एक अकेली संख्या देता है, जो मापती है कि वे कितना एक ही दिशा में इंगित करते हैं। यह सदिशों के बीच कोण ज्ञात करने, लंबवतता जाँचने, एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप लेने और भौतिकी में कार्य की गणना करने का साधन है।
रैखिक बीजगणित
दो सदिशों के सदिश गुणनफल की व्याख्या
सदिश गुणनफल तीन विमाओं में दो सदिशों को गुणा करके एक नया सदिश देता है जो दोनों के लंबवत होता है। इसकी लंबाई उन दो सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है, इसलिए यह अभिलंब सदिशों, क्षेत्रफलों, बल आघूर्ण और आयतनों का मानक साधन है।
सांख्यिकी
माध्य, माध्यिका, बहुलक और मानक विचलन: पूरी मार्गदर्शिका
माध्य, माध्यिका और बहुलक आँकड़ों के केंद्र का वर्णन करते हैं, जबकि परिसर और मानक विचलन बताते हैं कि आँकड़े कितने फैले हुए हैं। इनमें से हर एक को निकालना, और यह जानना कि कब कौन-सा ईमानदार सारांश देता है, सांख्यिकी की नींव है।
सांख्यिकी
मानक विचलन कैसे निकालें (प्रतिदर्श और समष्टि)
मानक विचलन मापता है कि आँकड़ों के मान आमतौर पर अपने माध्य से कितनी दूर होते हैं। यह मार्गदर्शिका गणना को चरण-दर-चरण समझाती है, बताती है कि कब n से और कब n घटा 1 से भाग देना है, और दिखाती है कि उत्तर मिलने के बाद उसे कैसे पढ़ें।
सांख्यिकी
प्रायिकता की मूल बातें: एक व्यावहारिक परिचय
प्रायिकता 0 से 1 के पैमाने पर मापती है कि कोई घटना कितनी संभावित है। पूरक, सम्मिलन, स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं तथा सप्रतिबंध प्रायिकता के कुछ नियम ज़्यादातर प्रश्न हल कर देते हैं, और क्लासिक जालों की जानकारी ज़्यादातर गलतियों से बचाती है।
सांख्यिकी
हल किए गए उदाहरणों के साथ z-स्कोर की व्याख्या
z-स्कोर बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे है। इससे अलग-अलग पैमानों पर मापे गए मानों की तुलना की जा सकती है, और सामान्य रूप से बंटित आँकड़ों में किसी भी मान को शतमक या प्रायिकता में बदला जा सकता है।
सांख्यिकी
क्रमचय और संचय की व्याख्या
क्रमचय उन व्यवस्थाओं को गिनते हैं जिनमें क्रम मायने रखता है, और संचय उन चयनों को जिनमें क्रम मायने नहीं रखता। दोनों गणना के मूल सिद्धांत और क्रमगुणित से निकलते हैं, और ताश के खेलों से लेकर लॉटरी तक प्रायिकता की गणनाओं को शक्ति देते हैं।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
गणित प्रभावी ढंग से कैसे पढ़ें
गणित पढ़कर नहीं, करके सीखा जाता है। सक्रिय रूप से प्रश्न हल करने के छोटे, नियमित सत्र, समय में फैले और विषयों में मिश्रित, साथ में यह समझ कि हर विधि क्यों काम करती है, ऐसे कौशल बनाते हैं जो परीक्षाओं के बाद भी टिकते हैं।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
गणित की लापरवाही वाली गलतियों से कैसे बचें
लापरवाही वाली गलतियाँ शायद ही कभी संयोग से होती हैं। ज़्यादातर कुछ अनुमानित श्रेणियों में आती हैं, जैसे छूटे हुए ऋण चिह्न, कोष्ठक खोलने की गलतियाँ और प्रश्न को गलत पढ़ना, और हर श्रेणी के लिए एक विशिष्ट आदत है जो उसे रोकती है।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
अपना गणित गृहकार्य और उत्तर कैसे जाँचें
लगभग हर गणितीय उत्तर उत्तर-कुंजी के बिना जाँचा जा सकता है। वापस प्रतिस्थापित करना, उल्टा हल करना, अनुमान लगाना, विशेष मान परखना और इकाइयाँ जाँचना मूल हल में लगे समय के छोटे से हिस्से में ज़्यादातर गलतियाँ पकड़ लेते हैं।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
गणित परीक्षा की तैयारी कैसे करें
प्रभावी तैयारी हफ़्तों पहले शुरू होती है। तय करें कि क्या पूछा जाएगा, कमज़ोर विषय पहचानें, पिछले प्रश्नपत्रों से समयबद्ध अभ्यास करें, समय-विभाजन की योजना बनाएँ और अंतिम दिनों में नया सीखने के बजाय दोहराव करें।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
गणित अभ्यास की रणनीतियाँ जो सचमुच काम करती हैं
हर अभ्यास बराबर नहीं होता। प्रभावी गणित अभ्यास विशिष्ट कमज़ोरियों को निशाना बनाता है, प्रश्न-प्रकार मिलाता है, सत्रों को समय में फैलाता है, प्रश्नों की प्रस्तुति बदलता है और जल्दी प्रतिपुष्टि पाता है, ताकि हर घंटा अल्पकालिक परिचय के बजाय स्थायी कौशल दे।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
डिजिटल SAT गणित: प्रारूप, विषय और रणनीति
डिजिटल SAT के गणित खंड में 35 मिनट के दो अनुकूली मॉड्यूलों में 44 प्रश्न होते हैं, और पूरे समय कैलकुलेटर की अनुमति है। यह बीजगणित, उन्नत गणित, समस्या-समाधान व आँकड़ा विश्लेषण, और ज्यामिति व त्रिकोणमिति को परखता है, और धाराप्रवाह बीजगणित, कैलकुलेटर के समझदार उपयोग तथा स्थिर गति को पुरस्कृत करता है।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
ACT गणित: प्रारूप, विषय और रणनीति
उन्नत ACT गणित खंड में 50 मिनट में 45 प्रश्न होते हैं, हर प्रश्न के चार उत्तर विकल्प होते हैं, और पूरे खंड में अनुमत कैलकुलेटर इस्तेमाल किया जा सकता है। इसमें पूर्व-बीजगणित से लेकर त्रिकोणमिति तक के विषय आते हैं, इसलिए किसी एक उन्नत विषय की तुलना में व्यापक सहजता और स्थिर गति अधिक मायने रखती है।
पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ
AP कलन AB और BC परीक्षा मार्गदर्शिका
AP कलन परीक्षाओं में बहुविकल्पी और मुक्त-उत्तर खंड होते हैं, दोनों का भार स्कोर का आधा-आधा है, और इनमें कैलकुलेटर वाले और बिना कैलकुलेटर वाले भाग होते हैं। सफलता अवकलन और समाकलन में सहजता, स्पष्ट औचित्य और जारी किए गए मुक्त-उत्तर प्रश्नों के अभ्यास पर निर्भर करती है।
इन मार्गदर्शिकाओं का उपयोग कैसे करें
इस ब्लॉग का हर लेख एक ही विचार को शुरू से अंत तक सिखाता है। लेख परिभाषा या नियम से शुरू होता है, मुख्य सूत्र दिखाता है और फिर कई उदाहरणों को पूरा, एक-एक पंक्ति करके हल करता है, ताकि आप केवल उत्तर ही नहीं, बल्कि यह भी देख सकें कि हर चरण क्यों मान्य है। हर मार्गदर्शिका के अंत में उस विषय पर विद्यार्थियों द्वारा सबसे अधिक पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर दिए गए हैं।
लेखों को सात श्रेणियों में बाँटा गया है, जो स्कूल और विश्वविद्यालय के शुरुआती पाठ्यक्रम के सामान्य क्रम का पालन करती हैं: बीजगणित, कलन-पूर्व गणित, त्रिकोणमिति, कलन, रैखिक बीजगणित, सांख्यिकी और पढ़ाई की मार्गदर्शिकाएँ। यदि आप किसी पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति कर रहे हैं, तो उस श्रेणी से शुरू करें जो आपकी वर्तमान इकाई से मेल खाती है और मार्गदर्शिकाएँ क्रम से पढ़ें; बाद के लेख पहले के विचारों को मानकर चलते हैं और उनसे जुड़ी कड़ियाँ देते हैं।
हर हल किए गए उदाहरण को संबंधित कैलकुलेटर में जाँचा जा सकता है। पहले हर प्रश्न को कागज़ पर हल करने का प्रयास करें, फिर अपने चरणों की तुलना सॉल्वर से करें। इन मार्गदर्शिकाओं के हल किए गए उदाहरण प्रकाशन से पहले स्वचालित गणितीय परीक्षणों से जाँचे जाते हैं, और हर लेख पर उसके अंतिम अद्यतन की तिथि दिखाई जाती है।