लघुगणक की व्याख्या: परिभाषा, नियम और समीकरण हल करना

लघुगणक क्या है

घातांक और लघुगणक एक ही संबंध को व्यक्त करने के दो तरीके हैं। कथन $2^3 = 8$ कहता है कि 2 को घात 3 तक उठाने पर 8 मिलता है। लघुगणक प्रश्न को पलट देता है: 8 पाने के लिए 2 को किस घात तक उठाना होगा? उत्तर 3 है, जिसे $\log_2 8 = 3$ लिखते हैं।

संख्या $b$ आधार है, $x$ कोणांक है, और $y$ वह घातांक है जिसे आप खोज रहे हैं। शर्तें मायने रखती हैं। आधार धनात्मक और 1 से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि 1 की हर घात 1 ही होती है और ऋणात्मक संख्याओं की घातें हर वास्तविक घातांक के लिए परिभाषित नहीं होतीं। कोणांक धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि धनात्मक आधार को किसी भी वास्तविक घात तक उठाने पर परिणाम धनात्मक होता है।

• $\log_{10} 1000 = 3$, क्योंकि $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, क्योंकि $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, क्योंकि $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$, और हर मान्य आधार के लिए ऐसा ही है, क्योंकि $b^0 = 1$; और $\log_b b = 1$, क्योंकि $b^1 = b$.

दो आधारों का अपना संकेतन है। साधारण लघुगणक $\log x$ आधार 10 का उपयोग करता है, जो दस की घातों में मापनों के लिए उपयुक्त है। प्राकृतिक लघुगणक $\ln x$ आधार $e \approx 2.71828$ का उपयोग करता है, जो वृद्धि, क्षय और कलन में स्वाभाविक रूप से आता है। कुछ पाठ्यपुस्तकें और प्रोग्रामिंग भाषाएँ प्राकृतिक लघुगणक के लिए $\log$ लिखती हैं, इसलिए अपने पाठ्यक्रम की परिपाटी जाँच लें।

लघुगणक के तीन नियम

क्योंकि लघुगणक घातांक ही हैं, घातांक के नियम सीधे लघुगणक के नियमों में बदल जाते हैं। धनात्मक $M$ और $N$ तथा किसी भी मान्य आधार के लिए:

गुणनफल नियम $b^m b^n = b^{m+n}$ से आता है: संख्याओं को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ते हैं, इसलिए उनके लघुगणक भी जुड़ते हैं। भागफल नियम घातों के भाग से आता है, और घात नियम $(b^m)^k = b^{mk}$ से। कैलकुलेटरों से पहले लघुगणक सारणियाँ ठीक इसीलिए इस्तेमाल होती थीं: वे कठिन गुणाओं को जोड़ में बदल देती थीं।

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, और सचमुच $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

व्यंजकों का विस्तार और संक्षेपण

विस्तार में नियमों की मदद से एक लघुगणक को सरल टुकड़ों में तोड़ा जाता है; संक्षेपण में कई को मिलाकर एक बनाया जाता है। दोनों परीक्षा के आम काम हैं और समीकरण हल करते समय दोनों की ज़रूरत पड़ती है।

मिलाने से पहले गुणांकों को घातांक बनाना ज़रूरी है। $2\ln x + \ln y$ बराबर है $\ln(x^2 y)$ के, $\ln(2xy)$ के नहीं।

आधार परिवर्तन

कैलकुलेटरों में आमतौर पर केवल $\log$ और $\ln$ की कुंजियाँ होती हैं। कोई भी दूसरा आधार आधार परिवर्तन सूत्र से संभाला जाता है, जो किसी भी नए आधार $c$ के साथ काम करता है:

उदाहरण के लिए, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. एक मोटी जाँच मदद करती है: $2^3 = 8$ और $2^4 = 16$, इसलिए उत्तर 3 और 4 के बीच होना चाहिए। सूत्र यह भी दिखाता है कि $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, इसलिए $\log_8 2 = \frac{1}{3}$, क्योंकि $\log_2 8 = 3$.

चरघातांकी समीकरण हल करना

जब अज्ञात घातांक में हो, तो घात को अलग करें, फिर दोनों पक्षों का लघुगणक लें ताकि घात नियम घातांक को नीचे ला सके।

उदाहरण 2 में एक आम गलती 5 से भाग देने से पहले लघुगणक लेना है। यह गलत नहीं है, लेकिन इससे $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$ मिलता है, जिसे हल करने में अधिक समय लगता है। पहले घात को अलग करने से काम छोटा रहता है।

लघुगणकीय समीकरण हल करना

जब अज्ञात लघुगणक के अंदर हो, तो लघुगणकों को मिलाकर एक बनाएँ, फिर समीकरण को चरघातांकी रूप में फिर से लिखें। क्योंकि शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के लघुगणक अपरिभाषित हैं, हर संभावित हल को मूल समीकरण में जाँचना ज़रूरी है।

उदाहरण 3 के बीजगणित से द्विघात समीकरण निकला। अगर उसे हल करना दोहराना हो, तो द्विघात समीकरण कैसे हल करें देखें।

लघुगणक का आलेख

फलन $y = \log_b x$ फलन $y = b^x$ का प्रतिलोम है, इसलिए इसका आलेख रेखा $y = x$ में चरघातांकी आलेख का प्रतिबिंब है। $b > 1$ के लिए यह $(1, 0)$ और $(b, 1)$ से गुज़रता है, धीरे-धीरे बिना सीमा के ऊपर उठता है, और y-अक्ष को ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के रूप में छूने की ओर बढ़ता है। इसका प्रांत $(0, \infty)$ है और परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ, जो चरघातांकी फलन के प्रांत और परिसर का ठीक उल्टा है।

स्थानांतरण प्रांत को बदल देते हैं। $y = \ln(x - 3)$ के लिए कोणांक धनात्मक होना चाहिए, इसलिए प्रांत $(3, \infty)$ है और अनंतस्पर्शी $x = 3$ पर खिसक जाती है। ऐसे प्रांत निकालना प्रांत और परिसर की मार्गदर्शिका में समझाया गया है, और चरघातांकी फलनों से संबंध प्रतिलोम फलन में आगे समझाया गया है। आलेखन कैलकुलेटर से आप कई आधारों के आलेख एक साथ बना सकते हैं।

लघुगणक कहाँ इस्तेमाल होते हैं

• चक्रवृद्धि: हर साल 5 प्रतिशत बढ़ने वाली राशि तब दोगुनी होती है जब $1.05^t = 2$, इसलिए $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ वर्ष।
• रसायन: pH बराबर है $-\log[\mathrm{H}^+]$, इसलिए $10^{-3}$ मोल प्रति लीटर हाइड्रोजन आयन सांद्रता से pH 3 मिलता है, और pH का हर चरण दस का गुणक है।
• ध्वनि: डेसिबल स्तर $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$ है, इसलिए 100 गुना तीव्र ध्वनि 20 डेसिबल अधिक तेज़ होती है।
• कंप्यूटर विज्ञान: $n$ वस्तुओं पर द्विआधारी खोज को लगभग $\log_2 n$ चरण चाहिए, इसलिए दस लाख वस्तुओं के लिए केवल लगभग 20 चरण।

चारों में एक ही विशेषता है: लघुगणक दस की कई घातों में फैली राशियों को संभालने योग्य पैमाने में समेट देते हैं, और गुणात्मक परिवर्तन को योगात्मक परिवर्तन में बदल देते हैं।

आम गलतियाँ

• $\log(a + b) = \log a + \log b$ लिखना। गुणनफल नियम गुणनफलों के बारे में है, और योग के लघुगणक का कोई नियम नहीं है।
• $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$ लिखना। बायाँ पक्ष आधार परिवर्तन है, यानी $\log_b a$.
• $(\log x)^2$ को $\log x^2 = 2\log x$ समझ लेना।
• लघुगणकीय समीकरणों के हल जाँचना भूल जाना, जिससे कोणांक को ऋणात्मक बनाने वाला उत्तर छूट जाता है।
• कैलकुलेटर पर $\log$ और $\ln$ में गड़बड़ करना।

लघुगणक कैलकुलेटर किसी भी आधार का मान निकालता है और आधार परिवर्तन का चरण दिखाता है, जिससे ऊपर के उदाहरणों को जाँचने का यह तेज़ तरीका है।

लघुगणक की अध्ययन योजना

लघुगणक मुख्य रूप से इसलिए अमूर्त लगते हैं क्योंकि संकेतन एक सरल प्रश्न को छिपा देता है। प्रवाह बनाने का अच्छा तरीका है दोनों दिशाओं में रूपांतरण का अभ्यास तब तक करना जब तक वह स्वचालित न हो जाए। ऐसी दस घातें लें जो आप पहले से जानते हैं, जैसे $2^5 = 32$ या $10^{-2} = 0.01$, और हर एक को लघुगणक के रूप में लिखें। फिर दस लघुगणक लें और हर एक को घात के रूप में लिखें। थोड़े अभ्यास के बाद $\log_3 81$ या $\log_{10} 0.001$ का मान निकालना पहेली के बजाय एक तेज़ मानसिक चरण बन जाता है।

इसके बाद, चरों पर इस्तेमाल करने से पहले नियमों का अभ्यास संख्याओं पर करें। दोनों पक्ष निकालकर यह जाँचना कि $\log_2 8 + \log_2 4$ बराबर है $\log_2 32$ के, गुणनफल नियम को विश्वसनीय बनाता है, और आपको आम गलतियों वाले भाग में दिए गए गलत रूप पहचानना सिखाता है। तभी बीजीय व्यंजकों के विस्तार और संक्षेपण की ओर बढ़ें।

अंत में, दो परिवारों के समीकरण हल करें: जिनमें अज्ञात घातांक में है और जिनमें अज्ञात लघुगणक के अंदर है। पहला परिवार लघुगणक लेकर हल होता है, दूसरा चरघातांकी रूप में फिर से लिखकर। यह पहचानना कि प्रश्न किस परिवार का है, आधा काम है, और अंत में प्रांत जाँचना वह दूसरी आदत है जो सही उत्तरों को लगभग सही उत्तरों से अलग करती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल