समाकल कैलकुलेटर

विधि चुनना

हर समाकल के लिए हाथ से चलाने लायक कोई एक कलन-विधि नहीं है, इसलिए कौशल रूप को पहचानने में है। रैखिकता से शुरू करें: योगों को अलग करें और अचर गुणनखंड बाहर निकालें, फिर घातों, चरघातांकी फलनों, $\frac1x$ और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मूल समाकलों की सारणी का प्रयोग करें। अगर समाकल्य का एक भाग दूसरे भाग का अवकलज है, तो प्रतिस्थापन आज़माएँ। अगर वह दो अलग प्रकार के फलनों का गुणनफल है, जैसे बहुपद और चरघातांकी या बहुपद और ज्या, तो खंडशः समाकलन आज़माएँ। परिमेय फलनों के लिए आंशिक भिन्न चाहिए, और $\frac{1}{x^2 + 1}$ जैसे रूप प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों तक ले जाते हैं।

कैलकुलेटर इन विधियों को लगभग इसी क्रम में आज़माता है और सफल विधि का नाम बताता है, इसलिए उसके चरण अगली बार सही विधि चुनने में मार्गदर्शक का काम भी करते हैं।

प्रतिस्थापन, चरण-दर-चरण

प्रतिस्थापन श्रृंखला नियम को उलटता है। $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ में भीतरी फलन $x^2$ है और उसका अवकलज $2x$ गुणनखंड के रूप में मौजूद है, इसलिए $u = x^2$ और $du = 2x\,dx$ रखें। समाकल $\int \cos u\,du = \sin u$ बन जाता है, और वापस प्रतिस्थापित करने पर $\sin(x^2) + C$ मिलता है। कैलकुलेटर इनमें से हर पंक्ति दिखाता है। अगर भीतरी फलन का अवकलज केवल किसी अचर गुणज तक मौजूद हो, जैसे $x\cos(x^2)$, तो $\frac12$ से समायोजन के बाद वही प्रतिस्थापन काम करता है।

खंडशः समाकलन और सारणी विधि

खंडशः समाकलन गुणनफल नियम को उलटता है: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$। $u$ ऐसा गुणनखंड चुनें जो अवकलन से सरल होता जाए, आम तौर पर बहुपद, और $dv$ ऐसा जिसका समाकलन आसान हो। जब $u$ घात $n$ का बहुपद हो, तो प्रक्रिया को $n$ बार दोहराने से वह शून्य हो जाता है, और सारणी विधि इन दोहरावों को दो स्तंभों में व्यवस्थित करती है। इसीलिए हल किया गया उदाहरण दो पंक्तियों के बाद समाप्त हो जाता है: $x$ का अवकलज 1 है और फिर 0।

निश्चित समाकल और सीमाएँ

प्रश्न को निश्चित समाकल बनाने के लिए निचली और ऊपरी सीमाएँ भरें। कैलकुलेटर पहले प्रतिअवकलज निकालता है और फिर मूलभूत प्रमेय लगाता है: $\int_0^3 x^2\,dx$ के लिए वह $F(x) = \frac{x^3}{3}$ लेता है और $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ निकालता है। सीमाएँ pi/2 जैसे व्यंजक भी हो सकती हैं। अगर आपको केवल संख्या चाहिए, तो अलग निश्चित समाकल कैलकुलेटर तब भी काम करता है जब कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज न हो, क्योंकि वह क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से निकालता है।

जब कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज न हो

कुछ सरल दिखने वाले फलनों, जैसे $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ और $\sqrt{1 + x^3}$, के प्रतिअवकलज बहुपदों, मूलों, चरघातांकी फलनों, लघुगणकों और त्रिकोणमितीय फलनों के किसी परिमित मेल से नहीं लिखे जा सकते। यह एक सिद्ध तथ्य है, विधि की कमी नहीं। ऐसे निवेशों के लिए कैलकुलेटर कोई प्रतिअवकलज गढ़ने के बजाय बताता है कि उसे प्रतिअवकलज नहीं मिला, और किसी निश्चित अंतराल पर निश्चित समाकल फिर भी संख्यात्मक रूप से निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, निश्चित समाकल कैलकुलेटर $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ संख्यात्मक रूप से निकालता है और परिणाम को सन्निकटन के रूप में चिह्नित करता है।

समाकलन अचर क्यों मायने रखता है

चूँकि किसी भी अचर का अवकलज शून्य है, $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ और $\frac{x^3}{3} - 2$ सभी का अवकलज $x^2$ है। उनके आलेख एक-दूसरे के ऊर्ध्वाधर खिसकाव हैं, और $+ C$ उस पूरे परिवार को दर्शाता है। अचर तब तय होता है जब आपके पास अतिरिक्त जानकारी हो, जिसे प्रारंभिक शर्त कहते हैं। अगर वेग $v(t) = 2t$ है और समय 0 पर स्थिति 4 है, तो समाकलन से $s(t) = t^2 + C$ मिलता है, और $s(0) = 4$ से $C = 4$ तय होता है। निश्चित समाकल में अचर $F(b) - F(a)$ में कट जाता है, इसीलिए वह संख्यात्मक उत्तर में कभी नहीं दिखता।

चिह्नित क्षेत्रफल बनाम कुल क्षेत्रफल

निश्चित समाकल x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल को धनात्मक और नीचे के क्षेत्रफल को ऋणात्मक गिनता है। एक पूरे आवर्त पर $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, जबकि वक्र धनात्मक मात्रा का क्षेत्रफल घेरता है: अक्ष के ऊपर का उभार और नीचे का गड्ढा ठीक-ठीक कट जाते हैं। जब प्रश्न में वक्र और अक्ष के बीच का कुल क्षेत्रफल पूछा जाए, तो पता करें कि फलन कहाँ चिह्न बदलता है, हर भाग का अलग समाकलन करें, और निरपेक्ष मान जोड़ें। $[0, 2\pi]$ पर $\sin x$ के लिए इससे $2 + 2 = 4$ मिलता है।

गति के प्रश्नों में भी यही अंतर दिखता है। वेग का समाकलन स्थिति में शुद्ध परिवर्तन देता है, जबकि चाल का, यानी वेग के निरपेक्ष मान का, समाकलन तय की गई कुल दूरी देता है।

चरणों को पढ़ना

हर चरण समाकल का एक रूपांतरण दिखाता है, जिसके शीर्षक में नियम या सारणी की प्रविष्टि और नीचे सूत्र होता है। रैखिकता वाले चरण प्रश्न को छोटे समाकलों में बाँटते हैं, जो एक-एक करके हल होते हैं और फिर जोड़े जाते हैं, इसलिए लंबा समाकल्य एक बड़ी छलाँग के बजाय छोटे चरणों की लंबी सूची देता है। प्रतिस्थापन होने पर $u$ लाने वाली पंक्ति $du$ भी दिखाती है, जहाँ आप देख सकते हैं कि विधि क्यों लागू होती है। अंतिम चरण अनिश्चित समाकल में हमेशा समाकलन अचर जोड़ता है, या निश्चित समाकल में सीमाएँ रखता है।