टेलर श्रेणी कैलकुलेटर

गुणांक कहाँ से आते हैं

मान लीजिए बहुपद $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ को $a$ पर $f$ से मेल खाना है। $x = a$ रखने से $c_0$ के अलावा हर पद शून्य हो जाता है, इसलिए $c_0 = f(a)$। एक बार अवकलन करके $x = a$ रखने पर $c_1 = f'(a)$ बचता है। दो बार अवकलन करने पर $2c_2 = f''(a)$ बचता है, और सामान्य रूप से $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$।

यही पूरी व्युत्पत्ति है, और यह क्रमगुणितों को समझाती है: वे उन अचरों को निरस्त करते हैं जो $(x - a)^k$ का $k$ बार अवकलन करने पर जमा होते हैं। कैलकुलेटर इसे हर $k$ के लिए $f^{(k)}(a)$ और $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ की सारणी के रूप में दिखाता है, जो वही सारणी है जो आप हाथ से बनाएँगे।

मानक श्रेणियों के प्रतिरूप

0 के परितः $\sin x$ के अवकलज $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ के चक्र में घूमते हैं, जिनके 0 पर मान $0, 1, 0, -1$ हैं। हर सम घात का गुणांक शून्य है, और कोटि 7 का बहुपद $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$ है। कोज्या इसके बजाय सम घातें देती है: कोटि 4 तक यह $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ है।

1 के परितः $\ln x$ का $k$वाँ अवकलज $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ है, इसलिए गुणांक $\pm\frac1k$ हैं और श्रेणी $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$ है। इन प्रतिरूपों को पहचानने से आप बिना कोई अवकलज निकाले कई श्रेणियाँ लिख सकते हैं, और उनमें प्रतिस्थापन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए $e^x$ की श्रेणी में $x$ की जगह $-x^2$ रखकर।

सन्निकटन कितना सटीक है?

टेलर प्रमेय त्रुटि को सीमित करता है। शेषफल $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$, $a$ और $x$ के बीच किसी $c$ के लिए $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ के बराबर है। दो बातें इसे छोटा बनाती हैं: केंद्र के निकट होना, जिससे $(x - a)^{n+1}$ बहुत छोटा होता है, और हर में क्रमगुणित, जो अंततः किसी भी घात से आगे निकल जाता है।

वर्गमूल वाला उदाहरण पहला प्रभाव दिखाता है। 4 के परितः $\sqrt{x}$ का कोटि 3 वाला बहुपद $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$ है। $x = 4.1$ पर यह लगभग 2.024845703 देता है, जबकि वास्तविक मान 2.024845673 है, यानी लगभग $3\times10^{-8}$ की त्रुटि, क्योंकि $0.1^4$ पहले से ही बहुत छोटा है।

केंद्र से दूर तस्वीर बदल जाती है। $\frac{1}{1-x}$ के लिए बहुपद $x = 0.1$ पर अच्छी तरह मेल खाते हैं, लेकिन $x = 2$ पर बेकार हैं, क्योंकि श्रेणी केवल $|x| < 1$ के लिए अभिसरित होती है। $x = 2$ पर कोटि 5 का बहुपद 63 देता है, जबकि फलन $-1$ के बराबर है, यानी 64 की त्रुटि, जो हर अतिरिक्त पद के साथ बढ़ती है। कैलकुलेटर की त्रुटि रिपोर्ट इसे दिखाती है: वही फलन और कोटि किसी निकट बिंदु और किसी दूर बिंदु पर आज़माकर तुलना करें।

केंद्र चुनना

ऐसा केंद्र चुनें जहाँ फलन और उसके अवकलजों के मान निकालना आसान हो और जो उस जगह के पास हो जहाँ आपको सन्निकटन चाहिए। $\sqrt{x}$ का 4 के परितः प्रसार स्वाभाविक है क्योंकि $\sqrt4 = 2$ ठीक-ठीक है। $\ln x$ का 0 के परितः प्रसार असंभव है क्योंकि वहाँ फलन अपरिभाषित है, और $|x|$ का 0 के परितः प्रसार विफल होता है क्योंकि उस बिंदु पर उसका अवकलज नहीं है; कैलकुलेटर ऐसे मामलों में अर्थहीन बहुपद बनाने के बजाय कारण समझाता है।

व्यवहार में टेलर बहुपद

लघु-कोण सन्निकटन $\sin\theta \approx \theta$ बस ज्या का कोटि 1 वाला मैकलॉरिन बहुपद है, और लगभग 14 अंश से छोटे कोणों के लिए यह 1% से बेहतर सटीक है। लोलक के आवर्तकाल का सूत्र, प्रकाशिकी का उपाक्षीय सन्निकटन और कमानी का रैखिक नियम, ये सब टेलर प्रसार के केवल पहले एक या दो पद रखने से आते हैं।

टेलर बहुपद कठिन प्रश्नों को आसान भी बना देते हैं। $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ जैसी सीमा तब स्पष्ट हो जाती है जब $\cos x$ की जगह $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ रखा जाए, और $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ जैसे समाकल का, जिसका कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं है, सन्निकटन बहुपद का पद-दर-पद समाकलन करके निकाला जा सकता है।