श्रेणी अभिसरण परीक्षण, और सही परीक्षण चुनने की रणनीति

श्रेणी, आंशिक योग और अभिसरण

अनंत श्रेणी अनगिनत पदों का योग है, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, जिसे $\sum a_n$ लिखते हैं। अनगिनत संख्याओं को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता, इसलिए आप उनमें से पहली $N$ को जोड़कर आंशिक योग $S_N$ निकालते हैं, और देखते हैं कि $N$ बढ़ने पर क्या होता है। यदि आंशिक योग किसी परिमित सीमा $S$ की ओर बढ़ते हैं, तो श्रेणी अभिसरित होती है और उसका योग $S$ है। अन्यथा वह अपसरित होती है।

अनगिनत धनात्मक संख्याओं को जोड़ने पर भी परिमित कुल मिल सकता है। श्रेणी $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ के आंशिक योग $0.5$, $0.75$, $0.875$ इत्यादि हैं, जिनमें हर एक 1 के आधा और निकट है, इसलिए योग ठीक 1 है। कल्पना करें कि आप एक दीवार की ओर चल रहे हैं और हर कदम बची हुई दूरी का आधा तय करता है: आप अनगिनत कदम उठाते हैं, पर कभी मूल दूरी से अधिक नहीं चलते। पूरा विषय आंशिक योगों के अनुक्रम पर लागू सीमाओं पर टिका है।

गुणोत्तर श्रेणी

गुणोत्तर श्रेणी में हर बार एक ही अनुपात $r$ से गुणा होता है। यह उन गिनी-चुनी श्रेणियों में से है जिनका योग ठीक-ठीक लिखा जा सकता है:

यदि $|r| \ge 1$, तो पद घटकर शून्य नहीं होते और श्रेणी अपसरित होती है। उदाहरण के लिए, $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ में $a = 3$ और $r = \frac{1}{3}$ है, इसलिए इसका योग $\frac{3}{2/3} = 4.5$ है। आवर्ती दशमलव छिपी हुई गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$।

अपसरण परीक्षण

यदि पद $a_n$, 0 की ओर नहीं बढ़ते, तो श्रेणी अपसरित होती है। यह हमेशा आपकी पहली जाँच होनी चाहिए, क्योंकि इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं। उदाहरण के लिए, $\sum\frac{n}{n + 1}$ अपसरित होती है, क्योंकि इसके पद 1 की ओर बढ़ते हैं, यानी आप लगभग 1 को हमेशा जोड़ते रहते हैं।

इसका विलोम असत्य है, और श्रेणियों के बारे में यही सबसे आम भ्रांति है। पदों का शून्य की ओर बढ़ना अभिसरण की गारंटी नहीं देता। हरात्मक श्रेणी $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ के पद घटकर 0 की ओर जाते हैं, फिर भी यह अपसरित होती है। इसके पदों के समूह बनाएँ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, अगले चार पद $\frac{1}{2}$ से अधिक हैं, उसके अगले आठ भी $\frac{1}{2}$ से अधिक हैं, इत्यादि। अनगिनत आधों को जोड़ने से असीमित कुल मिलता है। फिर भी वृद्धि बहुत धीमी है: पहले दस लाख पदों का योग केवल लगभग 14.4 है।

p-श्रेणी और समाकल परीक्षण

p-श्रेणी का रूप $\sum\frac{1}{n^p}$ होता है। इसका व्यवहार केवल $p$ पर निर्भर है:

इसलिए $\sum\frac{1}{n^2}$ अभिसरित होती है, और इसका योग प्रसिद्ध रूप से $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$ है, जबकि $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ अपसरित होती है। उपपत्ति में समाकल परीक्षण का उपयोग होता है: यदि $f$ धनात्मक, संतत और ह्रासमान है तथा $f(n) = a_n$, तो $\sum a_n$ और $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ या तो दोनों अभिसरित होते हैं या दोनों अपसरित। चूँकि $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ परिमित है और $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ अनंत, दोनों मुख्य स्थितियाँ इसी से निकलती हैं। ये अनुचित समाकल निश्चित और अनिश्चित समाकल में हल किए गए हैं।

तुलना परीक्षण

तुलना परीक्षण किसी श्रेणी को पहले से ज्ञात श्रेणी, आमतौर पर गुणोत्तर श्रेणी या p-श्रेणी, से जोड़कर निर्णय करते हैं। धनात्मक पदों वाली श्रेणियों के लिए:

• प्रत्यक्ष तुलना: यदि $0 \le a_n \le b_n$ और $\sum b_n$ अभिसरित होती है, तो $\sum a_n$ भी। यदि $a_n \ge b_n \ge 0$ और $\sum b_n$ अपसरित होती है, तो $\sum a_n$ भी।
• सीमा तुलना: यदि $\lim\frac{a_n}{b_n}$ कोई धनात्मक परिमित संख्या है, तो दोनों श्रेणियाँ एक जैसा व्यवहार करती हैं।

तुलना के लिए श्रेणी चुनने हेतु अंश और हर दोनों में $n$ की केवल सबसे ऊँची घात रखें। जो बचता है, वह बताता है कि किस p-श्रेणी या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना करनी है।

अनुपात और मूल परीक्षण

अनुपात परीक्षण देखता है कि हर पद अपने से पिछले पद की तुलना में कैसा है। मान लीजिए $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$। यदि $L < 1$ तो श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, यदि $L > 1$ तो अपसरित होती है, और यदि $L = 1$ तो परीक्षण कोई जानकारी नहीं देता। क्रमगुणित या $2^n$ जैसी घातों वाली श्रेणियों के लिए यह स्वाभाविक विकल्प है।

मूल परीक्षण उन्हीं निष्कर्षों के साथ $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ का उपयोग करता है, और घात $n$ तक उठाए गए पदों के लिए उपयुक्त है। $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$ के लिए $n$वाँ मूल $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$ है, इसलिए श्रेणी अभिसरित होती है।

एकांतर श्रेणियाँ

एकांतर श्रेणी में हर पद पर चिह्न बदलता है। एकांतर श्रेणी परीक्षण कहता है कि यदि पदों के निरपेक्ष मान घटते हैं और 0 की ओर बढ़ते हैं, तो श्रेणी अभिसरित होती है। इसलिए एकांतर हरात्मक श्रेणी $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ अभिसरित होती है, और इसका योग $\ln 2 \approx 0.6931$ है।

इसका एक अतिरिक्त लाभ भी है: किसी भी पद पर रुकने के बाद त्रुटि पहले छोड़े गए पद से बड़ी नहीं होती। इसलिए एकांतर हरात्मक श्रेणी को 99 पदों के बाद रोकने पर $\ln 2$ का मान $\frac{1}{100}$ के भीतर मिलता है।

कोई श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसारी है यदि $\sum|a_n|$ अभिसरित होती है, और सप्रतिबंध अभिसारी है यदि वह केवल चिह्नों के एक-दूसरे को काटने के कारण अभिसरित होती है। एकांतर हरात्मक श्रेणी सप्रतिबंध अभिसारी है, क्योंकि चिह्नों के बिना यह अपसारी हरात्मक श्रेणी है। निरपेक्ष अभिसरण अधिक प्रबल गुण है: निरपेक्ष अभिसारी श्रेणी के पदों का क्रम बदलने से उसका योग कभी नहीं बदलता, जबकि सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणी के पदों को ऐसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनका योग आपकी मनचाही कोई भी संख्या हो।

परीक्षण चुनने की रणनीति

1. क्या पद 0 की ओर बढ़ते हैं? यदि नहीं, तो श्रेणी अपसरित होती है।
2. क्या यह गुणोत्तर श्रेणी या p-श्रेणी है? ज्ञात नियम लगाएँ।
3. क्या इसमें क्रमगुणित या $3^n$ जैसी $n$वीं घातें हैं? अनुपात परीक्षण लगाएँ।
4. क्या पूरा पद घात $n$ तक उठाया गया है? मूल परीक्षण लगाएँ।
5. क्या यह $n$ का परिमेय फलन या उससे मिलता-जुलता है? किसी p-श्रेणी के साथ सीमा तुलना करें।
6. क्या चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं? एकांतर श्रेणी परीक्षण लगाएँ, फिर निरपेक्ष अभिसरण जाँचें।
7. क्या पद ऐसा फलन है जिसका समाकलन आसानी से हो सके? समाकल परीक्षण पर विचार करें।

श्रेणी अभिसरण कैलकुलेटर ये परीक्षण लगाता है, बताता है कि किस परीक्षण से प्रश्न तय हुआ और योग का अनुमान देता है। घात श्रेणियाँ, जिनके पदों में $x$ होता है, इसी तरह हल की जाती हैं: अनुपात परीक्षण अभिसरण त्रिज्या देता है, और अंत्य बिंदुओं की अलग से जाँच की जाती है, और हमारी टेलर श्रेणी मार्गदर्शिका के अंतराल इसी तरह निकाले गए हैं।

दूरदर्शी श्रेणियाँ और अभ्यास प्रश्न

दूरदर्शी (टेलीस्कोपिंग) श्रेणी वह है जिसके आंशिक योग इसलिए सिमट जाते हैं क्योंकि पड़ोसी पद एक-दूसरे को काट देते हैं। $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ लिखने से पता चलता है कि आंशिक योग $S_N$, $1 - \frac{1}{N + 1}$ के बराबर है, जो 1 की ओर बढ़ता है। ऐसा पैटर्न पहचानने से, अक्सर आंशिक भिन्नों की मदद से, केवल हाँ या ना के उत्तर के बजाय सटीक योग मिल जाता है।

उत्तर देखने से पहले इन श्रेणियों पर खुद को परखें: $\sum\frac{5}{4^n}$ एक-चौथाई अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी है और अभिसरित होती है; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ अपसरण परीक्षण से अपसरित होती है, क्योंकि इसके पद 1 की ओर बढ़ते हैं; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$, $p > 1$ वाली p-श्रेणी के रूप में अभिसरित होती है; $\sum\frac{3^n}{n!}$ अनुपात परीक्षण से अभिसरित होती है; और $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ सप्रतिबंध अभिसरित होती है, क्योंकि एकांतर श्रेणी परीक्षण लागू होता है, पर निरपेक्ष मानों की श्रेणी एक अपसारी p-श्रेणी है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल