अवकलज कैलकुलेटर

मूल नियम

पहले पाठ्यक्रम में मिलने वाला लगभग हर अवकलज कुछ ही नियमों से आता है। घात नियम किसी भी वास्तविक $n$ के लिए $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ देता है, जिसमें मूल भी आ जाते हैं, क्योंकि $\sqrt{x} = x^{1/2}$ का अवकलज $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ है। अचर गुणज और योग नियमों से बहुपद का पद-दर-पद अवकलन होता है। चरघातांकी नियम कहता है कि $e^x$ स्वयं अपना अवकलज है, और लघुगणक नियम $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$ देता है। छहों त्रिकोणमितीय फलनों के मानक अवकलज हैं, जिनकी शुरुआत $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ और $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ से होती है।

ये मूल अवकलज तीन संरचनात्मक नियमों से जुड़ते हैं। गुणनफल नियम $f \cdot g$ को, भागफल नियम $\frac{f}{g}$ को, और श्रृंखला नियम किसी फलन के भीतर दूसरे फलन को सँभालता है। आप कौन-सी संरचना देख रहे हैं, यह पहचानना ही ज़्यादातर काम है, और इसीलिए कैलकुलेटर हर चरण के शीर्षक में नियम का नाम लिखता है।

व्यवहार में श्रृंखला नियम

श्रृंखला नियम कहता है कि अगर $y = f(g(x))$ तो $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$: बाहरी फलन का अवकलन करें, भीतरी भाग को वैसा ही छोड़ें, फिर भीतरी भाग के अवकलज से गुणा करें। $\sin(x^2)$ में बाहरी फलन ज्या है और भीतरी भाग $x^2$, इसलिए अवकलज $\cos(x^2) \cdot 2x$ है। कैलकुलेटर इसे $2\cos(x^2)\,x$ लिखता है, जो वही व्यंजक है, बस गुणनखंडों का क्रम अलग है।

श्रृंखला नियम दूसरे नियमों में भी छिपा रहता है। $e^{3x}$ में भीतरी भाग $3x$ है, इसलिए अवकलज $3e^{3x}$ है, और कैलकुलेटर इस चरण को $e^u \cdot u'$ के साथ चरघातांकी नियम कहता है। भीतरी फलन से आने वाला गुणक छूट जाना अवकलज की सबसे आम गलती है, और उसे पकड़ने का सबसे तेज़ तरीका है अपने परिणाम की तुलना भीतरी फलन वाले कैलकुलेटर चरण से करना।

भागफल और सरलीकरण

भागफल $\frac{u}{v}$ के लिए नियम $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ है। अंश में क्रम मायने रखता है, क्योंकि घटाना क्रमविनिमेय नहीं है। $\frac{e^{3x}}{x}$ का अवकलन $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ देता है, जिसे कैलकुलेटर सरल करके $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ बनाता है। दोनों रूप सही हैं, और $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ भी। जब आपका उत्तर दिखाए गए उत्तर से अलग दिखे, तो दोनों में $x = 1$ जैसा कोई मान रखें; कई बिंदुओं पर बराबर मान इस बात का मज़बूत प्रमाण हैं कि व्यंजक तुल्य हैं।

उच्च अवकलज और किसी बिंदु पर मान

फिर से अवकलन करने पर द्वितीय अवकलज मिलता है, जो मापता है कि ढाल स्वयं कैसे बदल रही है। धनात्मक द्वितीय अवकलज का अर्थ है कि आलेख ऊपर की ओर अवतल है, प्याले की तरह मुड़ा हुआ, और ऋणात्मक का अर्थ है नीचे की ओर अवतल। $f(x) = x^3$ के लिए प्रथम अवकलज $3x^2$ और द्वितीय $6x$ है; $x = 2$ पर मान निकालने से $f''(2) = 12$ मिलता है। भौतिकी में, अगर $x^3$ कोई स्थिति होती, तो 12 समय 2 पर त्वरण होता।

किसी बिंदु पर प्रथम अवकलज का मान वहाँ स्पर्श रेखा की ढाल देता है, और उस बिंदु के साथ आप स्पर्श रेखा को बिंदु-ढाल रूप में लिख सकते हैं। यही रैखिक सन्निकटन और समीकरण हल करने की न्यूटन विधि का आधार है।

उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ निकालने में अवकलज

कोई चिकना फलन स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ पर केवल वहीं पहुँच सकता है जहाँ उसका अवकलज शून्य या अपरिभाषित हो, क्योंकि पहाड़ी की चोटी या घाटी के तल पर स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है। किसी फलन का इष्टतमीकरण करने के लिए उसका अवकलन करें, $f'(x) = 0$ रखें, $x$ के लिए हल करें, और हर संभावित बिंदु की जाँच करें। $f(x) = x^3 - 3x$ का अवकलज $3x^2 - 3$ है, जो $x = -1$ और $x = 1$ पर शून्य है। द्वितीय अवकलज $6x$, $-1$ पर ऋणात्मक और $1$ पर धनात्मक है, इसलिए आलेख का स्थानीय उच्चिष्ठ $(-1, 2)$ पर और स्थानीय निम्निष्ठ $(1, -2)$ पर है।

किसी बंद अंतराल पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंत्य बिंदुओं पर भी हो सकता है, इसलिए वहाँ भी फलन की तुलना करें। कई व्यावहारिक प्रश्न, जैसे निश्चित आयतन वाले डिब्बे के लिए न्यूनतम सामग्री, ठीक इसी ढाँचे पर चलते हैं, जब इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिख लिया जाए।

कैलकुलेटर अपने उत्तर की जाँच कैसे करता है

प्रतीकात्मक अवकलन सूक्ष्म तरीकों से, ख़ासकर सरलीकरण के दौरान, गलत हो सकता है, इसलिए परिणाम पर आँख मूँदकर भरोसा नहीं किया जाता। कैलकुलेटर नमूना बिंदुओं के एक समूह पर अपने अवकलज का मान निकालता है और उसकी तुलना छोटे $h$ के लिए केंद्रीय अंतर-भागफल $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ से करता है, जो सीधे आपके मूल फलन से निकाला जाता है। अगर जहाँ भी फलन परिभाषित है उन सब बिंदुओं पर दोनों एक कड़ी सहनसीमा के भीतर मेल खाते हैं, तो जाँच सफल होती है और उत्तर के नीचे दिखाई जाती है। आप यही विचार किसी कैलकुलेटर के साथ हाथ से अपना सकते हैं: $x$ का कोई मान लें, उसे थोड़ा ऊपर और नीचे खिसकाएँ, और देखें कि $f$ के परिवर्तन को $x$ के परिवर्तन से भाग देने पर आपका अवकलज मिलता है या नहीं।