आंशिक अवकलज कैलकुलेटर

आंशिक अवकलज कैलकुलेटर के बारे में

विज्ञान और अर्थशास्त्र की अधिकांश राशियाँ एक से अधिक निवेश पर निर्भर करती हैं। बेलन का आयतन उसकी त्रिज्या और ऊँचाई पर निर्भर है, किसी कंपनी का लाभ कीमत और विज्ञापन खर्च पर, और कमरे का तापमान तीनों निर्देशांकों पर। आंशिक अवकलज ऐसे फलन के बारे में एक केंद्रित प्रश्न का उत्तर देता है: जब एक निवेश बदले और बाकी सब स्थिर रहें, तो निर्गत कितनी तेज़ी से बदलता है?

यह कैलकुलेटर इन दरों की सटीक गणना करता है। $x^2 y + \sin(xy)$ जैसा फलन लिखें, चर चुनें, और वह हर दूसरे अक्षर को अचर मानते हुए योग, अचर गुणज, घात, गुणनफल और श्रृंखला नियमों से पद-दर-पद अवकलन करता है। हर नियम अलग चरण में दिखता है, इसलिए आप देख सकते हैं कि $\cos(xy)$ के आगे $y$ क्यों बचा रहता है और $x$ के सापेक्ष अवकलन में $4y$ जैसा पद क्यों गायब हो जाता है।

उच्च कोटि के अवकलज भी इसी तरह काम करते हैं। $x$ में द्वितीय आंशिक अवकलज के लिए xx लिखें, या पहले $x$ में और फिर $y$ में अवकलन करने वाले मिश्रित आंशिक अवकलज के लिए xy लिखें। परिणाम का मान निकालने के लिए x = 1, y = 2 जैसा बिंदु जोड़ें। हर उत्तर दिखाने से पहले उसकी तुलना परिमित-अंतर वाले संख्यात्मक अनुमान से की जाती है।

आंशिक अवकलज क्या है?

फलन $f(x, y)$ के लिए $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज, जिसे $\frac{\partial f}{\partial x}$ या $f_x$ लिखते हैं, वह साधारण अवकलज है जो $y$ को एक स्थिर संख्या मानने पर मिलता है। औपचारिक रूप से, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ । घुमावदार चिह्न $\partial$ बताता है कि अन्य चर मौजूद हैं और उन्हें अचर रखा जा रहा है।

ज्यामितीय रूप से $f(x, y)$ का आलेख एक पृष्ठ है। उस पृष्ठ को समतल $y =$ अचर से काटने पर एक वक्र मिलता है, और $f_x$ उस वक्र की ढाल है। इसी तरह $f_y$ , $y$ -दिशा वाले काट की ढाल है। प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज मिलकर प्रवणता सदिश $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ बनाते हैं, जो सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा में इंगित करता है।

आंशिक अवकलज इष्टतमीकरण में (क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ सभी प्रथम आंशिक अवकलज शून्य हों), भौतिकी में (ऊष्मा, तरंग और लाप्लास समीकरण इन्हीं से लिखे जाते हैं), अर्थशास्त्र में (सीमांत लागत और सीमांत उपयोगिता) और मशीन लर्निंग में आते हैं, जहाँ प्रवणताएँ हर तंत्रिका नेटवर्क के प्रशिक्षण को चलाती हैं।

आंशिक अवकलज कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चरों के लिए कोई भी अक्षर लेकर फलन लिखें, उदाहरण के लिए x^2 y + sin(x y) या x^3 y^2 + 4y। अक्षरों के बीच रिक्त स्थान या * का अर्थ गुणा है।
दूसरे खाने में वह चर लिखें जिसके सापेक्ष अवकलन करना है, जैसे x या y।
उच्च कोटि के लिए हर अवकलन का एक अक्षर क्रम से लिखें: f_xx के लिए xx, f_xy के लिए xy (पहले x, फिर y), और तीसरी कोटि के लिए तीन अक्षर, इत्यादि।
चाहें तो हर चर का मान दें, जैसे x = 1, y = 2, ताकि उस बिंदु पर अवकलज का मान निकले।
“अवकलन करें” दबाएँ और चरणों को देखें; हर चरण पर प्रयुक्त नियम लिखा होता है।

सूत्र

परिभाषा

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

मिश्रित आंशिक अवकलज का संकेतन

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

क्लेरो प्रमेय

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{जब दोनों संतत हों}

प्रवणता

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

आंशिक अवकलज में श्रृंखला नियम

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

हल सहित उदाहरण: x²y + sin(xy) का ∂/∂x

नीचे का हल किया गया उदाहरण $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ के लिए सीधे निकाला जाता है, जिसका $x$ के सापेक्ष अवकलन किया गया है। $y$ को अचर रखने पर पहला पद एक अचर गुणा $x^2$ है, इसलिए वह $2xy$ बन जाता है। दूसरे पद के लिए श्रृंखला नियम चाहिए: $\sin u$ का अवकलज $\cos u$ गुणा $\frac{\partial u}{\partial x}$ है, और $u = xy$ के लिए यह भीतरी अवकलज $y$ है।

दोनों भागों को जोड़ने पर $2xy + y\cos(xy)$ मिलता है, जिसका कैलकुलेटर गुणनखंड करके $f_x = y(2x + \cos(xy))$ लिखता है। ध्यान दें कि $y$ का कभी अवकलन नहीं होता; वह ठीक वैसा ही व्यवहार करता है जैसा उसी जगह रखी संख्या 5 करती।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

हमने आपका सवाल कैसे समझा

f(x, y) का प्रथम आंशिक अवकलज f_x निकालें।

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

स्टेप-बाय-स्टेप हल

फलन और अवकलन का क्रम पहचानें
x के सापेक्ष अवकलन करें; हर अन्य चर (y) अचर रखा जाता है।
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
श्रृंखला नियम — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
अचर गुणज नियम
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
अचर गुणज नियम
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
घात नियम: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
सरल करें: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

परिभाषा
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
मिश्रित आंशिक अवकलज (क्लेरो)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{जब दोनों संतत हों}$

आंशिक अवकलज मापता है कि केवल एक चर के बदलने पर f कैसे बदलता है: बाकी चरों को ठीक संख्याओं की तरह माना जाता है, इसलिए अवकलन के सामान्य नियम लागू होते हैं।

जाँच

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पूरी व्याख्या

बाकी चरों को अचर रखना

हर आंशिक अवकलज के पीछे एक ही विचार है: जिन चरों के सापेक्ष आप अवकलन नहीं कर रहे, वे जमे हुए हैं। अगर यह देखना कठिन लगे, तो पहले उनकी जगह कोई वास्तविक संख्या रख दें। $x^3 y^2 + 4y$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करना वैसा ही है जैसे $x = 2$ होने पर $8y^2 + 4y$ का अवकलन करना: उत्तर का आकार $2 \cdot 8y + 4$ है, और 8 की जगह वापस $x^3$ रखने पर $f_y = 2x^3 y + 4$ मिलता है।

इससे यह भी समझ आता है कि कौन-से पद गायब होते हैं। जिस पद में केवल जमे हुए चर हों, वह अचर है, इसलिए उसका आंशिक अवकलज शून्य है। $f = x^2 + 3xy$ में $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज $x^2$ को पूरी तरह अनदेखा करता है और $f_y = 3x$ देता है।

परिचित नियम अब भी लागू होते हैं

आंशिक अवकलन में ठीक वही नियम लगते हैं जो एक चर वाले कलन में: घात, योग, अचर गुणज, गुणनफल, भागफल और श्रृंखला। बदलता केवल हिसाब-किताब है। दो गुणनखंडों के गुणनफल में, जिनमें दोनों में $x$ हो, $x$ में अवकलन के लिए गुणनफल नियम चाहिए, लेकिन अगर एक गुणनखंड में केवल $y$ हो, तो वह बस एक अचर गुणक है।

अधिकतर गलतियाँ श्रृंखला नियम में होती हैं। जब कोई फलन कई चरों वाले व्यंजक पर लगाया जाए, जैसे $e^{xy}$ या $\ln(x^2 + y^2)$ , तो भीतरी अवकलज भी आंशिक अवकलज होता है। इसलिए $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ और $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ ।

द्वितीय कोटि और मिश्रित आंशिक अवकलज

किसी आंशिक अवकलज का फिर से अवकलन करने पर द्वितीय कोटि का आंशिक अवकलज मिलता है। दो चरों वाले फलन के ऐसे चार अवकलज होते हैं: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ और मिश्रित अवकलज $f_{xy}$ तथा $f_{yx}$ । अधोलिखित संकेतन बाएँ से दाएँ पढ़ा जाता है, इसलिए $f_{xy}$ का अर्थ है पहले $x$ में, फिर $y$ में अवकलन। भिन्न वाला संकेतन $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ दाएँ से बाएँ पढ़ा जाता है और वही बात बताता है।

$f = x^2 y^3$ के लिए $x$ में अवकलन से $2xy^3$ मिलता है, और फिर $y$ में अवकलन से $f_{xy} = 6xy^2$ , जो बिंदु $(1, 2)$ पर 24 के बराबर है। दूसरे क्रम में अवकलन करने पर $3x^2y^2$ और फिर फिर से $6xy^2$ मिलता है। यह समानता क्लेरो प्रमेय है: जिन फलनों के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हों, उनके लिए मिश्रित अवकलन का क्रम मायने नहीं रखता। जब भी कैलकुलेटर मिश्रित आंशिक अवकलज निकालता है, वह इसे जाँच के रूप में दर्ज करता है।

द्वितीय आंशिक अवकलजों के ठोस उपयोग हैं। $f(x, y)$ के क्रांतिक बिंदु के लिए द्वितीय अवकलज परीक्षण में राशि $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ तय करती है कि बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ है, स्थानीय निम्निष्ठ है या पल्याण बिंदु।

किसी बिंदु पर मान निकालना और संख्या का अर्थ

आंशिक अवकलज स्वयं सभी चरों का फलन है, इसलिए उसका मान इस पर निर्भर करता है कि आप कहाँ हैं। $f = x^2 + 3xy$ के लिए अवकलज $f_x = 2x + 3y$ , बिंदु $(1, 2)$ पर 8 के बराबर है। इसका अर्थ है कि इस बिंदु के पास $y = 2$ रखते हुए $x$ को छोटी मात्रा $\Delta x$ बढ़ाने पर $f$ लगभग $8\,\Delta x$ बढ़ता है।

इकाइयाँ इस व्याख्या को ठोस बनाती हैं। अगर $V(r, h) = \pi r^2 h$ घन सेंटीमीटर में बेलन का आयतन है, तो $V_r = 2\pi r h$ को त्रिज्या के प्रति सेंटीमीटर घन सेंटीमीटर में मापा जाता है, और यह बताता है कि ऊँचाई स्थिर रहने पर त्रिज्या में बदलाव के प्रति आयतन कितना संवेदनशील है।

आम गलतियाँ

अचर रखे गए चर का भी अवकलन कर देना, उदाहरण के लिए $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ लिखना।
$x$ के सापेक्ष अवकलन में $4y$ जैसे पद को बचा हुआ मानना; वह अचर है और 0 देता है।
श्रृंखला नियम में भीतरी आंशिक अवकलज भूल जाना, जैसे $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ के लिए $\cos(xy)$ लिखना।
$f_{xy}$ को गलत क्रम में पढ़ना; अधोलिखित का क्रम ही अवकलन का क्रम है।
जब $y$ स्वयं $x$ पर निर्भर हो, तब $\frac{\partial f}{\partial x}$ को पूर्ण अवकलज $\frac{df}{dx}$ से उलझा देना।

सुझाव

अगर याद न रहे कि क्या अचर है, तो जमे हुए चरों की जगह मन में संख्याएँ रख लें।
अवकलन से पहले अचर बाहर निकालें; $x$ में अवकलन करते समय $x^2 y^3$ का अर्थ है $y^3$ गुणा $x^2$ ।
क्लेरो प्रमेय को मुफ़्त जाँच की तरह इस्तेमाल करें: $f_{xy}$ और $f_{yx}$ निकालकर तुलना करें।
दोनों प्रथम आंशिक अवकलज मिलते ही $\nabla f$ लिख लें; अधिकांश अनुप्रयोगों में पूरी प्रवणता चाहिए।
व्यंजकों को सँभालने लायक रखने के लिए दूसरा अवकलज लेने से पहले पहले अवकलज को सरल करें।
किसी बिंदु पर आंशिक अवकलज का चिह्न देखें, ताकि पता चले कि उस दिशा में फलन बढ़ता है या घटता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

दो चरों वाला फलन कैसे लिखूँ?

चरों के लिए अक्षर और गुणा के लिए रिक्त स्थान या * लिखें, उदाहरण के लिए x^2 y + sin(x y) या x^2*y + sin(x*y)। जो अक्षर sin या log जैसे फलन का नाम नहीं है, उसे चर माना जाता है।

f_xx जैसा द्वितीय आंशिक अवकलज कैसे पाऊँ?

“किसके सापेक्ष अवकलन करें” खाने में हर अवकलन के लिए चर एक बार लिखें: f_xx के लिए xx, f_yy के लिए yy। कैलकुलेटर बार-बार अवकलन करता है और हर चरण अलग दिखाता है।

क्या f_xy और f_yx एक ही हैं?

पाठ्यक्रम में आने वाले लगभग हर फलन के लिए, हाँ। जब भी मिश्रित आंशिक अवकलज संतत हों, क्लेरो प्रमेय इसकी गारंटी देता है। कैलकुलेटर यह तुलना दिखाता है ताकि आप समानता देख सकें।

चिह्न ∂ का क्या अर्थ है?

यह आंशिक अवकलजों के लिए प्रयुक्त गोलाकार d है। यह बताता है कि फलन में कई चर हैं और अवकलन के दौरान हर में लिखे चर को छोड़कर बाकी सब अचर रखे जा रहे हैं।

क्या यह किसी बिंदु पर आंशिक अवकलज का मान निकाल सकता है?

हाँ। वैकल्पिक खाने में हर चर का मान दें, जैसे x = 1, y = 2। कैलकुलेटर उन्हें अंतिम अवकलज में रखकर संख्या देता है; उदाहरण के लिए f_x = 2x + 3y बिंदु (1, 2) पर 8 बन जाता है।

क्या यह तीन चरों के साथ काम करता है?

हाँ। x y z या x^2 + y z जैसे फलन का उसके किसी भी अक्षर के सापेक्ष अवकलन किया जा सकता है। x y z के लिए z के सापेक्ष आंशिक अवकलज xy है।

आंशिक अवकलज साधारण अवकलज से कैसे अलग है?

नियम एक जैसे हैं, लेकिन साधारण अवकलज में एक चर होता है, जबकि आंशिक अवकलज कई चरों में से एक को चुनकर बाकी को अचर मानता है। परिणाम फिर भी सभी चरों का फलन होता है।

प्रवणता क्या है और आंशिक अवकलज उसे कैसे बनाते हैं?

प्रवणता सभी प्रथम कोटि आंशिक अवकलजों का सदिश है, जैसे ⟨f_x, f_y⟩। यह उस दिशा में इंगित करती है जिसमें फलन सबसे तेज़ी से बढ़ता है, और इसकी लंबाई वृद्धि की वही अधिकतम दर है।

मेरा आंशिक अवकलज पाठ्यपुस्तक के उत्तर से अलग क्यों दिखता है?

तुल्य व्यंजकों को कई तरह से लिखा जा सकता है। कैलकुलेटर उभयनिष्ठ पद का गुणनखंड कर सकता है, जैसे 2xy + y cos(xy) की जगह y(2x + cos(xy)), या गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है। पुष्टि के लिए दोनों रूपों का विस्तार करें, या दोनों का एक ही बिंदु पर मान निकालें।

अपना आंशिक अवकलज निकालें

ऊपर फलन और अवकलन का चर या क्रम लिखें, और हर नियम के साथ आंशिक अवकलज और चाहें तो किसी बिंदु पर उसका मान पाएँ।

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