निश्चित समाकल कैलकुलेटर

F(b) − F(a) क्षेत्रफल क्यों देता है

एक क्षेत्रफल फलन $A(t)$ की कल्पना करें जो $a$ से एक चलते बिंदु $t$ तक $f$ के नीचे का क्षेत्रफल मापता है। अगर आप $t$ को बहुत छोटी मात्रा $h$ आगे बढ़ाएँ, तो अतिरिक्त क्षेत्रफल लगभग $f(t)$ ऊँचाई और $h$ चौड़ाई की पतली पट्टी है, इसलिए $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$। $h$ से भाग देकर उसे घटते जाने देने पर $A'(t) = f(t)$ मिलता है: क्षेत्रफल फलन $f$ का एक प्रतिअवकलज है।

कोई भी दो प्रतिअवकलज केवल एक अचर से भिन्न होते हैं, इसलिए आपको जो भी प्रतिअवकलज $F$ मिला हो, $A(t) = F(t) + C$। चूँकि $A(a) = 0$, अचर $-F(a)$ है, और पूरा क्षेत्रफल $A(b) = F(b) - F(a)$ है। इसीलिए निश्चित समाकल में समाकलन अचर कभी नहीं दिखता: घटाने में वह कट जाता है।

चिह्नित क्षेत्रफल और निरपेक्ष क्षेत्रफल

जब आलेख अक्ष के नीचे जाता है, तो समाकल उस भाग को घटा देता है। $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ में धनात्मक उभार और ऋणात्मक उभार ठीक-ठीक कट जाते हैं, और उत्तर 0 है। यह समाकल का सही मान है, लेकिन यह वह क्षेत्रफल नहीं है जिसे आप आलेख पर छायांकित करेंगे।

कुल क्षेत्रफल के लिए अंतराल के भीतर फलन के शून्यक ढूँढें, हर टुकड़े पर समाकलन करें और टुकड़ों के निरपेक्ष मान जोड़ें। कैलकुलेटर abs() स्वीकार करता है, इसलिए 0 से 2 तक abs(x-1) लिखने पर 1 मिलता है, जो दो त्रिभुजों का संयुक्त क्षेत्रफल है, जबकि उसी अंतराल पर x-1 से 0 मिलता है।

अनुचित समाकल: अनंत सीमाएँ और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी

समाकल तब अनुचित होता है जब कोई सिरा अनंत हो या समाकल्य अंतराल में कहीं अपरिबद्ध हो जाए। तब मान को सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ के लिए कैलकुलेटर $F(x) = -\frac1x$ निकालता है, $x \to \infty$ पर उसकी सीमा लेता है, जो 0 है, $F(1) = -1$ घटाता है और बताता है कि समाकल 1 पर अभिसरित होता है।

यही विचार अनंतस्पर्शियों को भी सँभालता है। $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ का मान 2 पर अभिसरित होता है क्योंकि 0 पर $2\sqrt{x}$ की परिमित सीमा है, जबकि $\int_0^1 \frac1x\,dx$ अपसरित होता है क्योंकि $\ln x$, $-\infty$ की ओर जाता है। दोनों समाकल्य शून्य पर अनंत हो जाते हैं; परिणाम इस बात से तय होता है कि कितनी तेज़ी से। अगर विचित्रता अंतराल के बीच में हो, तो समाकल को वहीं बाँटना होगा और हर आधे भाग को अलग से अभिसरित होना होगा।

पूरी वास्तविक रेखा पर दोनों सिरों के लिए सीमा चाहिए। कैलकुलेटर $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ को $-\frac{\pi}{2}$ से $\frac{\pi}{2}$ तक $\arctan x$ के रूप में निकालता है और ठीक $\pi$ लौटाता है।

जब कोई सूत्र न हो: संख्यात्मक समाकलन

कुछ बिलकुल साधारण फलनों के प्रतिअवकलज प्रारंभिक फलनों से नहीं लिखे जा सकते। घंटी के आकार का $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ और $\sqrt{1 + x^3}$ इसके मानक उदाहरण हैं। उनके निश्चित समाकल फिर भी मौजूद हैं; बस उन्हें संख्यात्मक रूप से निकालना पड़ता है।

ऐसे में कैलकुलेटर अनुकूली सिम्पसन नियम अपनाता है, जो वक्र के छोटे टुकड़ों पर परवलय बिठाता है और जहाँ अनुमान अभी सटीक न हो वहाँ और बाँटता है, ताकि त्रुटि $10^{-10}$ से कम रहे। $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ के लिए वह लगभग 0.7468241328 बताता है, और उसे संख्यात्मक सन्निकटन के रूप में चिह्नित करता है ताकि वह कभी सटीक मान से न उलझे।

काम बचाने वाले उपयोगी गुणधर्म

सीमाओं को आपस में बदलने से चिह्न बदल जाता है, इसलिए $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$। शून्य चौड़ाई के अंतराल पर समाकल शून्य होता है। $x^3$ या $\sin x$ जैसे विषम फलन के लिए सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकल शून्य है, और सम फलन के लिए यह 0 से $a$ तक के समाकल का दोगुना है। गणना से पहले सममिति पहचान लेने से उलझा हुआ प्रश्न एक पंक्ति का उत्तर बन सकता है।

समाकल रैखिक भी होते हैं: अचर बाहर निकल आते हैं और योग अलग-अलग समाकलों में बँट जाते हैं। अंतराल बाँटने के नियम के साथ मिलकर ये गुणधर्म आपको किसी जटिल क्षेत्र को ऐसे टुकड़ों में तोड़ने देते हैं जिनमें से हर एक आसान हो।