समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर

Q: त्रिघात समीकरण कैसे हल होते हैं?

उपकरण संभावित परिमेय मूलों p/q की जाँच करता है, मिले हर मूल को संश्लिष्ट भाग से हटाता है, और बचे हुए भाग को हल करता है। बचे हुए अपरिमेय मूल संख्यात्मक रूप से निकाले जाते हैं।

Q: किसी बहुपद समीकरण के कितने हल हो सकते हैं?

घात n वाले बहुपद समीकरण के अधिकतम n वास्तविक हल होते हैं, और दोहराए गए मूल गिनने पर ठीक n सम्मिश्र हल। चतुर्घात x^4 - 5x^2 + 4 = 0 के चार वास्तविक मूल हैं: -2, -1, 1 और 2।

Q: परिमेय मूल प्रमेय कैसे मदद करता है?

यह संभावित परिमेय मूलों को ऐसे भिन्नों p/q तक सीमित करता है जहाँ p अचर पद को और q अग्रग गुणांक को विभाजित करता है। इससे अंदाज़ा लगाने के बजाय जाँचने के लिए संभावित मूलों की छोटी सूची मिलती है।

समीकरण हल करने वाले कैलकुलेटर के बारे में

समीकरण हल करने वाले उपकरण को पहचानना होता है कि सामने किस तरह का सवाल है। रैखिक समीकरण को व्युत्क्रम संक्रियाएँ चाहिए, द्विघात को विविक्तकर, और त्रिघात या चतुर्घात को परिमेय मूल प्रमेय से तोड़ा जा सकता है।

जहाँ संभव हो, यह उपकरण पदों को एक बहुपद में इकट्ठा करता है और उसे सटीक रूप से हल करता है। $2^x = 32$ या $\sin x = 0.5$ जैसे समीकरणों के लिए यह वास्तविक मूल संख्यात्मक रूप से खोजता है और उन्हें एक बताए गए अंतराल में सूचीबद्ध करता है। बराबर चिह्न न हो तो यह व्यंजक को सरल करता है या उसका मान निकालता है।

समीकरण हल करने वाला उपकरण क्या है?

समीकरण हल करने वाला उपकरण एक अज्ञात वाला समीकरण लेकर उसे संतुष्ट करने वाले सभी मान विधि सहित लौटाता है। विधि समीकरण के प्रकार पर निर्भर करती है। $5x - 3 = 12$ जैसे रैखिक समीकरण को केवल व्युत्क्रम संक्रियाएँ चाहिए। $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ जैसे बहुपद समीकरण के मूल एक-एक करके निकालने पड़ते हैं। $2^x = 32$ जैसे समीकरण में अज्ञात घातांक में है, इसलिए उसे फिर अलग ढंग से हल किया जाता है।

यह उपकरण पहले समीकरण को एक ऐसे व्यंजक के रूप में लिखता है जो शून्य के बराबर हो, फिर जाँचता है कि वह व्यंजक बहुपद है या नहीं। यदि है, तो मूल सटीक रूप से निकाले जाते हैं; यदि नहीं, तो वास्तविक मूल एक बताए गए अंतराल पर संख्यात्मक रूप से खोजे जाते हैं। बिना बराबर चिह्न वाला व्यंजक लिखने पर उसका विस्तार और सरलीकरण होता है, इसलिए $(x + 3)^2$ बन जाता है $x^2 + 6x + 9$ ।

समीकरण हल करने वाले कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 जैसा समीकरण, या (x + 3)^2 जैसा व्यंजक लिखें।
घात के लिए ^, गुणा के लिए * (संख्या और अक्षर के बीच वैकल्पिक) और मूल के लिए sqrt( ) का प्रयोग करें।
“हल करें” दबाएँ। व्याख्या वाली पंक्ति बताती है कि कौन-सी विधि चुनी गई।

सूत्र

परिमेय मूल प्रमेय

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

द्विघात सूत्र

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

गुणनखंड प्रमेय

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ विभाजित करता है } P(x)

हल सहित उदाहरण: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

हल किया गया उदाहरण त्रिघात $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ को हल करता है। परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार कोई भी परिमेय मूल 6 को विभाजित करना चाहिए, इसलिए उपकरण संभावित मूलों $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ की जाँच करता है। यह $x = 1$ पाता है, उसे भाग देकर हटाता है जिससे $x^2 - 5x + 6$ बचता है, फिर $x = 2$ पाता है, जिससे $x - 3$ बचता है, और अंत में $x = 3$ । हर मूल को मूल त्रिघात में रखने पर 0 मिलता है, जिसकी पुष्टि जाँचें करती हैं।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

हमने आपका सवाल कैसे समझा

x में घात 3 का एक बहुपद समीकरण।

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

स्टेप-बाय-स्टेप हल

समीकरण से शुरू करें
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
सभी पदों को एक पक्ष में ले जाएँ
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
परिमेय मूल प्रमेय से संभावित मूल जाँचें: x = 1 एक मूल है
(x - 1) से संश्लिष्ट भाग के बाद घात 2 का बहुपद बचता है।
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
परिमेय मूल प्रमेय से संभावित मूल जाँचें: x = 2 एक मूल है
(x - 2) से संश्लिष्ट भाग के बाद घात 1 का बहुपद बचता है।
$x - 3 = 0$
परिमेय मूल प्रमेय से संभावित मूल जाँचें: x = 3 एक मूल है
(x - 3) से संश्लिष्ट भाग के बाद घात 0 का बहुपद बचता है।
वास्तविक हल इकट्ठा करें
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

परिमेय मूल प्रमेय
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

घात 3 के बहुपद के बहुलता सहित गिनने पर ठीक 3 मूल होते हैं (कुछ सम्मिश्र हो सकते हैं)। पहले सटीक परिमेय मूल निकाले जाते हैं, फिर बाकी को सटीक रूप से हल किया जाता है या उनका सन्निकट मान निकाला जाता है।

जाँच

x = 1: बायाँ पक्ष = 0, दायाँ पक्ष = 0 ✓
x = 2: बायाँ पक्ष = 0, दायाँ पक्ष = 0 ✓
x = 3: बायाँ पक्ष = 0, दायाँ पक्ष = 0 ✓

पूरी व्याख्या

बहुपद समीकरण, चरण-दर-चरण

गुणनखंड प्रमेय कहता है कि $r$ किसी बहुपद का मूल ठीक तभी है जब $x - r$ उसका गुणनखंड हो। इसलिए उपकरण को मिला हर मूल उसे संश्लिष्ट भाग से बहुपद को $x - r$ से भाग देने देता है, जिससे घात एक कम हो जाती है। जब द्विघात बचता है, तो विविक्तकर और द्विघात सूत्र काम को सटीक रूप से पूरा करते हैं। इसी तरह $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ जैसा चतुर्घात चार मूलों $-2, -1, 1$ और $2$ में टूटता है।

यदि बचे हुए गुणनखंड का कोई परिमेय मूल न हो, तो उसके वास्तविक मूलों का संख्यात्मक सन्निकटन निकाला जाता है और उन्हें ≈ से चिह्नित किया जाता है, जबकि द्विघात भागों के लिए सम्मिश्र मूल बताए जाते हैं।

गैर-बहुपद समीकरण

चरघातांकी, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए उपकरण समीकरण को $f(x) = 0$ के रूप में लिखता है, −100 से 100 तक के अंतराल में वे स्थान खोजता है जहाँ $f$ का चिह्न बदलता है, और हर एक को द्विभाजन से सीमित करता है। $2^x = 32$ के लिए यह $x \approx 5$ पाता है और उसे वापस रखकर दिखाता है कि दोनों पक्ष 32 के बराबर हैं। चूँकि केवल वही अंतराल खोजा जाता है, उपकरण चरणों में यह बताता है; $\sin x = 0.5$ जैसे आवर्ती समीकरणों के अनंत हल होते हैं, और केवल अंतराल वाले हल सूचीबद्ध होते हैं।

आम गलतियाँ

(2x)^2 के अर्थ में 2x^2 लिखना; घात का प्रभाव गुणा से पहले होता है।
त्रिघात से एक ही उत्तर की अपेक्षा करना; घात $n$ वाले बहुपद के अधिकतम $n$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
sin x को बिना कोष्ठक लिखना; sin(x) लिखें।
दोनों पक्षों को $x$ वाले गुणनखंड से भाग देना और वे मूल खो देना जहाँ वह गुणनखंड शून्य है।
गुणनखंड करने से पहले सभी पदों को एक पक्ष में ले जाना भूल जाना।

सुझाव

सूत्रों तक जाने से पहले सब कुछ एक पक्ष में ले जाएँ और उभयनिष्ठ पद बाहर निकालें।
कितने वास्तविक मूल अपेक्षित हैं, यह देखने के लिए ग्राफ़ कैलकुलेटर का प्रयोग करें।
चरघातांकी समीकरणों में देखें कि क्या दोनों पक्ष एक ही आधार से लिखे जा सकते हैं।
यदि सभी गुणांकों का योग 0 है, तो $x = 1$ एक मूल है; हल किए गए उदाहरण में यही स्थिति है।
पहले व्याख्या वाली पंक्ति पढ़ें; वह बताती है कि इनपुट को कैसे समझा गया और कौन-सी विधि लगी।
भाग देने से पहले $x$ जैसा उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें; $x^3 = 4x$ के तीन हल हैं, दो नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह उपकरण किस प्रकार के समीकरण हल कर सकता है?

किसी भी घात के रैखिक, द्विघात और बहुपद समीकरण, हर में x वाले परिमेय समीकरण, और चरघातांकी, लघुगणकीय या त्रिकोणमितीय फलनों वाले एक चर के समीकरण (संख्यात्मक रूप से हल)।

त्रिघात समीकरण कैसे हल होते हैं?

उपकरण संभावित परिमेय मूलों $\frac{p}{q}$ की जाँच करता है, मिले हर मूल को संश्लिष्ट भाग से हटाता है, और बचे हुए भाग को हल करता है। बचे हुए अपरिमेय मूल संख्यात्मक रूप से निकाले जाते हैं।

उत्तर में ≈ क्यों लिखा है?

सन्निकट चिह्न का अर्थ है कि मूल संख्यात्मक रूप से, लगभग 10 सार्थक अंकों तक, खोजा गया, क्योंकि कोई सटीक बंद रूप प्रयोग नहीं हुआ।

क्या मैं बिना बराबर चिह्न के व्यंजक सरल कर सकता हूँ?

हाँ। विस्तार और सरलीकरण के लिए (x + 3)^2 जैसा व्यंजक लिखें, या मान निकालने के लिए कोई संख्यात्मक व्यंजक।

क्या यह सम्मिश्र मूल भी देता है?

द्विघातों के लिए, और वास्तविक मूल अलग करने के बाद बहुपदों के लिए सम्मिश्र मूल दिए जाते हैं। गैर-बहुपद समीकरण वास्तविक संख्याओं पर हल होते हैं।

क्या उत्तरों की जाँच होती है?

हाँ। हर मूल को मूल समीकरण में रखा जाता है और सत्यापन वाले भाग में शेष अंतर दिखाया जाता है।

किसी बहुपद समीकरण के कितने हल हो सकते हैं?

घात $n$ वाले बहुपद समीकरण के अधिकतम $n$ वास्तविक हल होते हैं, और दोहराए गए मूल गिनने पर ठीक $n$ सम्मिश्र हल। चतुर्घात $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ के चार वास्तविक मूल हैं: $-2, -1, 1$ और $2$ ।

परिमेय मूल प्रमेय कैसे मदद करता है?

यह संभावित परिमेय मूलों को ऐसे भिन्नों $\frac{p}{q}$ तक सीमित करता है जहाँ $p$ अचर पद को और $q$ अग्रग गुणांक को विभाजित करता है। इससे अंदाज़ा लगाने के बजाय जाँचने के लिए संभावित मूलों की छोटी सूची मिलती है।

क्या मैं किसी व्यंजक को हल किए बिना केवल सरल कर सकता हूँ?

हाँ। बराबर चिह्न छोड़ दें, तो कैलकुलेटर हल करने के बजाय विस्तार करके समान पदों को मिलाता है। $(x + 3)^2$ लिखने पर $x^2 + 6x + 9$ मिलता है।