असमिका कैलकुलेटर

असमिका कैलकुलेटर के बारे में

समीकरण पूछता है कि दो व्यंजक कहाँ बराबर हैं; असमिका पूछती है कि एक कहाँ दूसरे से बड़ा या छोटा है। उत्तर आमतौर पर एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं की एक परास होता है, जैसे 2 और 3 के बीच के सभी $x$ । उस परास को सही कोष्ठकों और अंत्य बिंदुओं के साथ ठीक-ठीक लिखने में ही सबसे अधिक अंक कटते हैं।

यह कैलकुलेटर $3x - 5 \ge 7$ जैसी रैखिक असमिकाएँ, $x^2 - 5x + 6 < 0$ जैसी बहुपद असमिकाएँ, $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ जैसी परिमेय असमिकाएँ, $-3 < 2x + 1 \le 9$ जैसी संयुक्त असमिकाएँ, और $|x - 4| < 3$ जैसी निरपेक्ष मान असमिकाएँ हल करता है। यह हमेशा दिखाता है कि कौन-से बिंदु संख्या रेखा को बाँटते हैं और हर अंतराल की जाँच करता है, ताकि आप देख सकें कि उत्तर वैसा क्यों है।

असमिका क्या है?

असमिका दो व्यंजकों की तुलना $<$ , $>$ , $\le$ या $\ge$ में से किसी एक चिह्न से करती है। इसका हल समुच्चय चर के वे सभी मान हैं जो तुलना को सत्य बनाते हैं। $x + 2 > 5$ का हल समुच्चय 3 से बड़ी हर संख्या है, जिसे $(3, \infty)$ लिखा जाता है।

अंतराल संकेतन में शामिल न किए गए अंत्य बिंदुओं के लिए गोल कोष्ठक और शामिल किए गए अंत्य बिंदुओं के लिए वर्ग कोष्ठक प्रयोग होते हैं। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है, क्योंकि यह ऐसी संख्या नहीं जिस तक पहुँचा जा सके। अलग-अलग टुकड़ों को सम्मिलन चिह्न से जोड़ा जाता है, जैसे $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ में।

असमिका कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

असमिका को <, >, <= या >= के साथ लिखें, उदाहरण के लिए x^2 - 5x + 6 < 0 या 2x + 3 >= 7।
संयुक्त असमिकाओं के लिए दोनों तुलनाएँ एक ही पंक्ति में लिखें, जैसे -3 < 2x + 1 <= 9।
निरपेक्ष मान के लिए abs() प्रयोग करें, उदाहरण के लिए abs(x - 4) < 3।
“हल करें” दबाएँ। क्रांतिक बिंदु और चिह्न सारणी जाँचें, फिर अंतराल संकेतन में हल समुच्चय पढ़ें।

सूत्र

चिह्न उलटना

a < b \text{ और } k < 0 \Rightarrow ka > kb

ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका उलट जाती है।

निरपेक्ष मान, से कम

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

निरपेक्ष मान, से अधिक

|u| > c \iff u < -c \ \text{या}\ u > c

गुणनफल का चिह्न

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

हल सहित उदाहरण: x² − 5x + 6 < 0

उदाहरण में $x^2 - 5x + 6 < 0$ के गुणनखंड $(x - 2)(x - 3) < 0$ किए जाते हैं। क्रांतिक बिंदु 2 और 3 संख्या रेखा को तीन अंतरालों में बाँटते हैं, और इंजन हर अंतराल में एक मान की जाँच करता है।

केवल बीच वाला अंतराल ऋणात्मक गुणनफल देता है, और अंत्य बिंदु शामिल नहीं होते क्योंकि असमिका कठोर है (बराबर का विकल्प नहीं), इसलिए उत्तर विवृत अंतराल $(2, 3)$ है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

(2, 3)

हमने आपका सवाल कैसे समझा

असमिका हल करें और उत्तर अंतराल संकेतन में दें।

{x}^{2}-5x+6 < 0

स्टेप-बाय-स्टेप हल

सब कुछ एक पक्ष में ले जाएँ और गुणनखंड करें
चिह्न सारणी के लिए f(x) की 0 से तुलना वाला रूप चाहिए, जो गुणनखंडों के गुणनफल/भागफल के रूप में लिखा हो।
$(x - 3)(x - 2) < 0$
क्रांतिक बिंदु निकालें
चिह्न केवल 2 (शून्य), 3 (शून्य) पर बदल सकता है।
हर अंतराल में एक बिंदु जाँचें (चिह्न सारणी)
(-∞, 2): जाँच x = 1 → चिह्न + → शामिल नहीं; (2, 3): जाँच x = 2.5 → चिह्न − → शामिल; (3, ∞): जाँच x = 4 → चिह्न + → शामिल नहीं
अंत्य बिंदु तय करें
2: शामिल नहीं; 3: शामिल नहीं
हल समुच्चय लिखें
$x \in (2, 3)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

चिह्न उलटना
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
निरपेक्ष मान
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ या } A > c$

असमिका ठीक उन x के लिए सत्य है जो (2, 3) में हैं। जिन बिंदुओं पर व्यंजक अपरिभाषित है वे कभी शामिल नहीं होते, और अंत्य बिंदु केवल ≤ या ≥ के लिए शामिल होते हैं, जहाँ व्यंजक शून्य के बराबर है।

जाँच

x = 1: असमिका को संतुष्ट नहीं करता।
x = 2.5: असमिका को संतुष्ट करता है।
x = 4: असमिका को संतुष्ट नहीं करता।

पूरी व्याख्या

रैखिक असमिकाएँ

रैखिक असमिका को बिल्कुल समीकरण की तरह हल करें, एक अतिरिक्त नियम के साथ: जब भी दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दें, चिह्न की दिशा उलट दें। $-2x > 6$ से $x < -3$ मिलता है, क्योंकि $-\tfrac12$ से गुणा करने पर रेखा पर संख्याओं का क्रम उलट जाता है।

कारण यह है कि ऋण चिह्न संख्या रेखा का दर्पण प्रतिबिंब बनाता है। यदि $5 > 2$ , तो $-5 < -2$ । दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ने या घटाने से दिशा कभी नहीं बदलती।

चिह्न सारणी विधि

बहुपद और परिमेय असमिकाओं के लिए सब कुछ एक पक्ष में ले जाएँ ताकि दूसरा पक्ष शून्य हो। फिर क्रांतिक बिंदु निकालें: अंश के शून्यक और, परिमेय व्यंजकों के लिए, हर के शून्यक। बहुपद का चिह्न केवल शून्यक पर बदल सकता है, इसलिए लगातार दो क्रांतिक बिंदुओं के बीच उसका चिह्न स्थिर रहता है।

हर अंतराल के भीतर कोई भी परीक्षण मान चुनें और चिह्न निकालें। वे अंतराल रखें जहाँ चिह्न असमिका से मेल खाता है। अंत में हर अंत्य बिंदु तय करें: $\le$ या $\ge$ के लिए अंश के शून्यक शामिल होते हैं, लेकिन हर के शून्यक कभी शामिल नहीं होते क्योंकि वहाँ व्यंजक अपरिभाषित है।

दोहराए गए मूलों पर ध्यान देना ज़रूरी है। $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ में गुणनखंड $(x - 1)^2$ का चिह्न कभी नहीं बदलता, इसलिए $x = 1$ के दोनों ओर व्यंजक का चिह्न एक जैसा रहता है। चिह्न सारणी इसे अपने आप संभाल लेती है, जबकि चिह्नों को बारी-बारी बदलने वाला छोटा रास्ता नहीं।

संयुक्त और निरपेक्ष मान असमिकाएँ

$-3 < 2x + 1 \le 9$ जैसी संयुक्त असमिका तीनों भागों पर एक साथ एक ही संक्रिया करके हल की जाती है, जिससे $-2 < x \le 4$ मिलता है। निरपेक्ष मान असमिका को संयुक्त असमिका में बदला जाता है: $|x - 4| < 3$ का अर्थ है कि $x$ से 4 की दूरी 3 से कम है, इसलिए $1 < x < 7$ ।

आम गलतियाँ

ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने के बाद चिह्न उलटना भूल जाना।
दोनों पक्षों को $x - 2$ जैसे व्यंजक से गुणा करना जिसका चिह्न अज्ञात है। इसके बजाय चिह्न सारणी का प्रयोग करें।
हर को शून्य करने वाले मान को हल समुच्चय में शामिल करना।
अनंत के पास वर्ग कोष्ठक लगाना।
$|x| > 3$ को $-3 > x > 3$ लिखना, जिसे कोई संख्या संतुष्ट नहीं करती; इसका अर्थ है $x < -3$ या $x > 3$ ।

सुझाव

गुणनखंड करने से पहले एक पक्ष में शून्य लाएँ।
हर बार क्रांतिक बिंदुओं के साथ संख्या रेखा बनाएँ; इससे अंत्य बिंदुओं की अधिकतर गलतियाँ रुकती हैं।
अपने उत्तर में से एक मान और उसके बाहर का एक मान मूल असमिका में रखकर जाँचें।
कठोर चिह्नों (< और >) के साथ गोल कोष्ठक आते हैं; समानता वाले चिह्नों के साथ अंश के शून्यकों पर वर्ग कोष्ठक आते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न क्यों उलटता है?

ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर संख्या रेखा पर संख्याओं का क्रम उलट जाता है। चूँकि 5, 2 से बड़ा है लेकिन ऋण 5, ऋण 2 से छोटा है, तुलना को सत्य बनाए रखने के लिए उसे उलटना पड़ता है।

अंतराल संकेतन क्या है?

कोष्ठकों से हल समुच्चय लिखने का एक तरीका। गोल कोष्ठक अंत्य बिंदु को बाहर रखते हैं, वर्ग कोष्ठक उसे शामिल करते हैं, और टुकड़ों को सम्मिलन चिह्न से जोड़ा जाता है।

द्विघात असमिका कैसे हल करें?

सब कुछ एक पक्ष में ले जाएँ, गुणनखंड करें या मूल निकालें, उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करें, हर अंतराल में एक मान जाँचें, और वे अंतराल रखें जहाँ चिह्न मेल खाता है।

परिमेय असमिकाओं में कुछ अंत्य बिंदु क्यों शामिल नहीं होते?

जो मान हर को शून्य करते हैं, वे व्यंजक को अपरिभाषित बनाते हैं, इसलिए वे कभी हल का हिस्सा नहीं हो सकते, चाहे चिह्न “से कम या बराबर” या “से अधिक या बराबर” हो।

क्या किसी असमिका का कोई हल न हो, ऐसा हो सकता है?

हाँ। उदाहरण के लिए, x का वर्ग जोड़ 1, 0 से कम है, इसका कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि x का वर्ग जोड़ 1 हमेशा धनात्मक होता है। कैलकुलेटर रिक्त समुच्चय बताता है।

क्या कोई असमिका सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हो सकती है?

हाँ। उदाहरण के लिए, x का वर्ग 0 से बड़ा या बराबर है, यह हर वास्तविक x के लिए सत्य है, और कैलकुलेटर पूरी वास्तविक रेखा उत्तर में देता है।

असमिका कैलकुलेटर आज़माएँ

कोई असमिका लिखें और क्रांतिक बिंदुओं, चिह्न सारणी और अंतराल संकेतन में हल समुच्चय को देखें।

कैलकुलेटर इस्तेमाल करें AI सॉल्वर से पूछें