फलन का प्रांत और परिसर कैसे निकालें

परिभाषाएँ और संकेतन

फलन प्रांत नामक समुच्चय के हर निवेश को ठीक एक निर्गत देता है। वास्तव में आने वाले सभी निर्गतों का समुच्चय परिसर है। $f(x) = x^2$ के लिए हर वास्तविक संख्या का वर्ग किया जा सकता है, इसलिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होते, इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है।

प्रांत और परिसर आमतौर पर अंतराल संकेतन में लिखे जाते हैं। वर्ग कोष्ठक अंत्य बिंदु को शामिल करता है और गोल कोष्ठक उसे बाहर रखता है; अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। अलग-अलग टुकड़ों को सम्मिलन चिह्न $\cup$ से जोड़ा जाता है, इसलिए 3 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ लिखी जाती हैं। समुच्चय-निर्माण संकेतन, जैसे $\{x \mid x \neq 3\}$, यही बात शब्दों में कहता है।

अगर फलन केवल एक सूत्र से दिया गया हो और कुछ और न कहा गया हो, तो उसका प्रांत अंतर्निहित या स्वाभाविक प्रांत होता है: वास्तविक संख्याओं का वह सबसे बड़ा समुच्चय जिसके लिए सूत्र सार्थक है। कोई प्रश्न जानबूझकर प्रांत को सीमित भी कर सकता है, जैसे किसी शाब्दिक प्रश्न में जहाँ लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

फलन को एक मशीन की तरह सोचना मददगार है। प्रांत उन निवेशों की सूची है जिन्हें मशीन बिना अटके स्वीकार करती है, और परिसर उन सब चीज़ों की सूची है जो बाहर आ सकती हैं। एक ही सूत्र लेकिन अलग प्रांत वाले दो फलन, कड़ाई से कहें तो, अलग फलन हैं, इसीलिए प्रांत परिभाषा का हिस्सा है, बाद में जोड़ी गई बात नहीं।

प्रांत निकालना: तीन प्रतिबंध

बीजगणित और पूर्व-कलन में मिलने वाले फलनों में किसी वास्तविक निवेश के साथ केवल तीन चीज़ें गलत हो सकती हैं। हर एक को जाँचें और उसका कारण बनने वाले मानों को बाहर करें।

1. शून्य से भाग: हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता।
2. ऋणात्मक संख्याओं के सम मूल: वर्गमूल, चतुर्थ मूल आदि के नीचे का व्यंजक कम से कम शून्य होना चाहिए। घनमूल जैसे विषम मूल हर वास्तविक संख्या स्वीकार करते हैं।
3. अधनात्मक संख्याओं के लघुगणक: लघुगणक का कोणांक शून्य से सख़्ती से बड़ा होना चाहिए।

$3x^4 - x + 7$ जैसे बहुपदों में इनमें से कोई विशेषता नहीं होती, इसलिए उनका प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ, $(-\infty, \infty)$, है। यही बात $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ और घनमूलों पर भी लागू होती है।

प्रांत के उदाहरण

उदाहरण 3 में असमिका को ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम इस्तेमाल हुआ। असमिकाएँ हल करने की मार्गदर्शिका इसे समझाती है, साथ ही $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ जैसी शर्तों के लिए चिह्न-सारणी भी।

जब किसी फलन में कई विशेषताएँ हों, तो हर शर्त अलग लिखें, हर एक को हल करें, और फिर परिणामों का सर्वनिष्ठ लें। ज़्यादातर गलतियाँ शर्तों को हल करने से नहीं, किसी एक शर्त को भूलने से होती हैं।

परिसर को बीजगणितीय रूप से निकालना

परिसर अक्सर अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह पूछता है कि कौन-से निर्गत संभव हैं, न कि कौन-से निवेश अनुमत हैं। तीन तकनीकें ज़्यादातर स्थितियों को सँभाल लेती हैं।

पहली, मूल फलनों के ज्ञात परिसरों का उपयोग करें। वर्गमूल और निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होते, $e^x$ हमेशा धनात्मक है, और $\sin x$ तथा $\cos x$ $-1$ और $1$ के बीच रहते हैं। फिर रूपांतरण इन परिसरों को खिसकाते या फैलाते हैं। $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ के लिए मूल से $[0, \infty)$ मिलता है, दोगुना करने पर यह $[0, \infty)$ ही रहता है, और 1 जोड़ने पर $[1, \infty)$ मिलता है।

दूसरी, द्विघात फलनों के लिए शीर्ष निकालने हेतु पूर्ण वर्ग बनाएँ। क्योंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, शीर्ष की ऊँचाई न्यूनतम या अधिकतम मान है।

तीसरी, $y = f(x)$ को $x$ के लिए हल करें और देखें कि कौन-से $y$ मान प्रांत में एक मान्य $x$ देते हैं।

यही तरीका $\frac{1}{x^2 + 1}$ का परिसर देता है। हर कम से कम 1 है, इसलिए निर्गत अधिक से अधिक 1 है, और यह हमेशा धनात्मक है लेकिन 0 के जितना चाहें उतना पास पहुँचता है। परिसर $(0, 1]$ है।

आलेख से प्रांत और परिसर पढ़ना

आलेख पर प्रांत वह छाया है जो वक्र x-अक्ष पर डालता है, और परिसर y-अक्ष पर उसकी छाया है। प्रांत के लिए बाएँ से दाएँ और परिसर के लिए नीचे से ऊपर देखें। भरे बिंदु शामिल अंत्य बिंदु दिखाते हैं, खाली बिंदु बाहर रखे गए बिंदु, और तीर का अर्थ है कि आलेख अनिश्चित रूप से आगे जाता है।

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी प्रांत से गायब मान दिखाती हैं, और क्षैतिज अनंतस्पर्शी अक्सर परिसर से गायब मान दिखाती हैं, जैसा उदाहरण 6 में है। फिर भी सावधान रहें: आलेख क्षैतिज अनंतस्पर्शी को काट सकता है, इसलिए केवल अनंतस्पर्शी से यह सिद्ध नहीं होता कि कोई मान बाहर है। बीजगणितीय पुष्टि से पहले इन विशेषताओं को देखने का अच्छा तरीका ग्राफ़िंग कैलकुलेटर है।

खंडशः फलन और वास्तविक संदर्भ

खंडशः फलन का प्रांत उन अंतरालों का सम्मिलन है जिन पर हर खंड परिभाषित है, और परिसर हर खंड के निर्गतों का सम्मिलन है। मान लीजिए $x < 0$ के लिए $f(x) = x + 2$ और $x \ge 0$ के लिए $f(x) = 3$. प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। पहला खंड 2 से नीचे का हर मान देता है, और दूसरा केवल 3 देता है, इसलिए परिसर $(-\infty, 2) \cup \{3\}$ है।

अनुप्रयोगों में संदर्भ प्रांत को और सीमित करता है। वर्ग का क्षेत्रफल, $A = s^2$, सूत्र के रूप में कोई भी वास्तविक $s$ स्वीकार करता है, लेकिन भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए व्यावहारिक प्रांत $s > 0$ है और परिसर $A > 0$ है। फेंकी गई गेंद की ऊँचाई केवल फेंकने से ज़मीन पर गिरने तक सार्थक है, इसलिए उसका प्रांत समय का एक संवृत अंतराल है, भले ही ऊँचाई का द्विघात सूत्र हर जगह परिभाषित हो।

आगे के विषयों में प्रांत और परिसर

ये विचार बार-बार लौटते हैं। किसी फलन का प्रतिलोम उस प्रांत पर होता है जहाँ वह एकैकी हो, और प्रतिलोम प्रांत और परिसर को आपस में बदल देता है, जैसा प्रतिलोम फलन में समझाया गया है। संयोजन $f(g(x))$ के लिए $g$ का हर निर्गत $f$ के प्रांत में होना चाहिए; फलनों का संयोजन देखें। लघुगणक में समझाए गए लघुगणकीय और चरघातांकी फलन आपस में बदले हुए प्रांत और परिसर वाली एक क्लासिक जोड़ी हैं।

आम गलतियाँ

• प्रांत निकालने से पहले सरल कर देना। $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ सरल होकर $x + 3$ बनता है, लेकिन मूल फलन से $x = 3$ फिर भी बाहर है।
• वर्गमूल के लिए $\ge$ के बजाय $>$ का उपयोग करना, जिससे वह अंत्य बिंदु गलत तरीके से हट जाता है जहाँ मूल शून्य है।
• लघुगणक के लिए $>$ के बजाय $\ge$ का उपयोग करना, जिससे शून्य कोणांक गलत तरीके से शामिल हो जाता है।
• यह मान लेना कि परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि प्रांत है।
• अनंत के पास वर्ग कोष्ठक लिखना।

अपने उत्तर जाँचने के लिए प्रांत और परिसर कैलकुलेटर आज़माएँ, जो मिले हर प्रतिबंध और उससे बने अंतरालों की सूची देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल