प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर

प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर के बारे में

प्रतिलोम फलन किसी नियम को उलट देता है। अगर $f$ सेल्सियस को फ़ारेनहाइट में बदलता है, तो उसका प्रतिलोम फ़ारेनहाइट को वापस सेल्सियस में बदलता है; अगर $f$ किसी संख्या को दोगुना करके तीन जोड़ता है, तो प्रतिलोम तीन घटाकर आधा करता है। हाथ से प्रतिलोम निकालने का अर्थ है निवेश और निर्गत की भूमिकाएँ बदलकर एक समीकरण हल करना, जो रेखाओं के लिए आसान है पर भिन्नों, मूलों और चरघातांकी फलनों के लिए जल्दी उलझ जाता है।

यह कैलकुलेटर रैखिक, परिमेय, घात, मूल, चरघातांकी, लघुगणकीय और मूल त्रिकोणमितीय फलनों के लिए $f^{-1}(x)$ निकालता है। यह अदला-बदली और हल करने के चरण दिखाता है, प्रतिलोम का प्रांत देता है, और जब $f$ एकैकी न हो तो एक मानक शाखा चुनकर यह बात बताता है। हर उत्तर को नमूना बिंदुओं पर $f$ और $f^{-1}$ का संयोजन करके संख्यात्मक रूप से जाँचा जाता है।

प्रतिलोम फलन क्या है?

फलन $f$ का प्रतिलोम वह फलन $f^{-1}$ है जो $f$ के प्रांत के हर $x$ के लिए $f^{-1}(f(x)) = x$ और $f$ के परिसर के हर $y$ के लिए $f(f^{-1}(y)) = y$ को संतुष्ट करता है। संकेतन $f^{-1}$ का अर्थ प्रतिलोम है, व्युत्क्रम $\frac{1}{f}$ नहीं।

केवल एकैकी फलनों के प्रतिलोम होते हैं, क्योंकि हर निर्गत ठीक एक निवेश से आना चाहिए। आलेख पर यह क्षैतिज रेखा परीक्षण है: कोई भी क्षैतिज रेखा वक्र को दो बार नहीं काट सकती। $f^{-1}$ का आलेख रेखा $y = x$ में $f$ के आलेख का प्रतिबिंब है, और प्रांत व परिसर आपस में जगह बदल लेते हैं।

प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

फलन को $x$ के पदों में लिखें, जैसे (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 या e^x।
“प्रतिलोम फलन निकालें” दबाएँ।
चरण पढ़ें: f(x) की जगह y लिखें, x और y की अदला-बदली करें, और y के लिए हल करें।
f⁻¹ का प्रांत और कैलकुलेटर द्वारा लगाया गया कोई शाखा-प्रतिबंध देखें।
जाँच वाली पंक्तियों से पुष्टि करें कि f और f⁻¹ एक-दूसरे को उलट देते हैं।

सूत्र

परिभाषित करने वाला गुण

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

अदला-बदली करें और हल करें

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

प्रांत और परिसर की अदला-बदली

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

मोबियस फलन का प्रतिलोम

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

हल सहित उदाहरण: (2x + 3)/(x − 1)

उदाहरण $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ का प्रतिलोम निकालता है। अदला-बदली के बाद समीकरण $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ से भिन्न हटाई जाती है, $y$ वाले सभी पद एक पक्ष में इकट्ठे किए जाते हैं, और $y$ बाहर निकाला जाता है।

परिणाम $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ है। इसके प्रांत से 2 बाहर है, क्योंकि $f$ कभी 2 नहीं देता: $x$ बढ़ने पर $f(x)$ क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 2$ के पास पहुँचता है पर उस तक कभी नहीं पहुँचता।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

f⁻¹ निकालें, वह फलन जो f(x) = (2 x + 3) / (x - 1) को उलट देता है।

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

f(x) की जगह y लिखें
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
दोनों पक्षों को हर से गुणा करें
$y(1x+-1) = 2x+3$
x वाले पदों को एक पक्ष में इकट्ठा करें और x बाहर निकालें
$x(1y-2) = 3--1y$
x को अलग करने के लिए भाग दें
$x = \frac{y+3}{y-2}$
x के लिए हल किया गया
$x = \frac{y+3}{y-2}$
प्रतिलोम का नाम देने के लिए x और y की अदला-बदली करें
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
f⁻¹ का प्रांत f का परिसर है
$\text{प्रांत } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

प्रतिलोम
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

किसी फलन का प्रतिलोम निकालने के लिए y = f(x) लिखें, उसकी संक्रियाओं को उलटे क्रम में उलटकर x को अकेला करें, फिर अक्षरों की अदला-बदली करें।

जाँच

जाँचा गया: 12 नमूना बिंदुओं पर f(f⁻¹(y)) = y।
जाँचा गया: 12 नमूना बिंदुओं पर f⁻¹(f(x)) = x।

पूरी व्याख्या

अदला-बदली और हल करने की विधि क्यों काम करती है

$y = f(x)$ लिखना आलेख पर सभी युग्मों $(x, y)$ का वर्णन करता है। अक्षरों की अदला-बदली परावर्तित युग्मों के समुच्चय का वर्णन करती है, जो ठीक प्रतिलोम का आलेख है। बदले हुए समीकरण को $y$ के लिए हल करने से युग्मों का वह समुच्चय फिर से एक सूत्र बन जाता है। विधि तभी विफल होती है जब हल करने वाले चरण के एक से अधिक उत्तर हों, जो संकेत है कि $f$ एकैकी नहीं है।

हर प्रकार के फलन के लिए एक मेल खाती उलटने वाली संक्रिया है: घटाव जोड़ को उलटता है, भाग गुणा को उलटता है, घनमूल घन को उलटता है, $\ln$ $e^x$ को उलटता है और $\log_2$ $2^x$ को उलटता है। $x^3 + 1$ का प्रतिलोम निकालने का अर्थ है इन संक्रियाओं को उलटे क्रम में उलटना: 1 घटाएँ, फिर घनमूल लें, जिससे $\sqrt[3]{x - 1}$ मिलता है।

प्रांत को सीमित करना

$x^2$ जैसा फलन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल होता है, क्योंकि $2$ और $-2$ दोनों 4 पर जाते हैं। इसे प्रतिलोम देने के लिए हम इसके प्रांत का केवल एक भाग रखते हैं। कैलकुलेटर पारंपरिक शाखा $x \geq 0$ लेता है, जिससे $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ मिलता है, और यह प्रतिबंध उत्तर में बताता है। $x^2 + 1$ के लिए यही शाखा प्रांत $[1, \infty)$ के साथ $\sqrt{x - 1}$ देती है।

त्रिकोणमितीय फलनों को भी मानक तरीके से सीमित किया जाता है। $\sin x$ के लिए कैलकुलेटर $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ रखता है, जिससे $[-1, 1]$ पर $\arcsin x$ मिलता है।

उत्तर की जाँच कैसे होती है

संभावित प्रतिलोम मिलने के बाद इंजन $f$ के परिसर में $y$ के नमूना मानों पर $f(f^{-1}(y))$ का मान निकालता है और ज़रूरी मानता है कि यह $y$ लौटाए; ऐसा न हो तो कोई प्रतिलोम नहीं बताया जाता। यह $f^{-1}(f(x))$ का मान भी निकालता है: जब यह केवल कुछ निवेशों के लिए $x$ लौटाए, तो $f$ एकैकी नहीं है, और उत्तर में प्रयुक्त शाखा का नाम दिया जाता है। इससे चिह्न की चूक और गलत शाखाएँ पकड़ी जाती हैं, जो केवल बीजगणित में आसानी से छूट जाती हैं।

आम गलतियाँ

$f^{-1}(x)$ को $\frac{1}{f(x)}$ पढ़ना; यहाँ घातांक वाला संकेतन प्रतिलोम बताता है, व्युत्क्रम नहीं।
$x$ और $y$ की अदला-बदली भूलकर बस $y = f(x)$ को $x$ के लिए हल करना, और उत्तर $y$ के पदों में छोड़ देना।
यह दावा करना कि $x^2$ का प्रतिलोम $\pm\sqrt x$ है; फलन को एक ही निर्गत देना चाहिए, इसलिए शाखा चुनना ज़रूरी है।
प्रतिलोम के प्रांत को अनदेखा करना, जो मूल फलन के परिसर के बराबर होता है।
संक्रियाओं को उलटे क्रम के बजाय मूल क्रम में उलटना।

सुझाव

एक मान से जाँचें: अगर $f(2) = 7$ , तो $f^{-1}(7)$ का मान 2 होना चाहिए।
प्रतिलोम निकालने से पहले आलेख कैलकुलेटर से $f$ का रेखाचित्र बनाएँ और क्षैतिज रेखा परीक्षण करें।
रैखिक पदों की भिन्नों में गुणा करके खोलें, $y$ वाले पद इकट्ठे करें और $y$ बाहर निकालें।
प्रतिलोम का प्रांत पाने के लिए प्रांत और परिसर कैलकुलेटर से $f$ का परिसर निकालें।
फलन संयोजन कैलकुलेटर से पुष्टि करें कि $f(f^{-1}(x))$ सरल होकर $x$ बनता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी फलन का प्रतिलोम कैसे निकालते हैं?

f(x) की जगह y लिखें, x और y की अदला-बदली करें, नए समीकरण को y के लिए हल करें, और परिणाम को f⁻¹(x) के रूप में लिखें। फिर उसका प्रांत बताएँ, जो मूल फलन का परिसर है।

क्या हर फलन का प्रतिलोम होता है?

नहीं। केवल एकैकी फलनों का होता है। जो फलन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल होते हैं, जैसे x² या sin x, उनके प्रतिलोम के लिए पहले प्रांत सीमित करना पड़ता है।

x² के लिए कैलकुलेटर कौन-सी शाखा चुनता है?

यह x ≥ 0 लेता है, इसलिए प्रतिलोम वर्गमूल है। प्रतिबंध उत्तर में लिखा जाता है, ताकि आपको पता रहे कि कौन-सी शाखा ली गई।

क्या f⁻¹(x) और 1/f(x) एक ही हैं?

नहीं। ऊपर लिखा −1 प्रतिलोम फलन बताता है। व्युत्क्रम 1/f(x) एक अलग फलन है और आम तौर पर भिन्न के रूप में या (f(x))⁻¹ लिखा जाता है।

e^x का प्रतिलोम क्या है?

प्राकृतिक लघुगणक, ln x, जिसका प्रांत x > 0 है। इसी तरह 2^x का प्रतिलोम आधार 2 पर x का लघुगणक है।

f और f⁻¹ के आलेख कैसे संबंधित हैं?

वे रेखा y = x में एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, इसलिए एक आलेख पर बिंदु (a, b) दूसरे आलेख पर बिंदु (b, a) से मेल खाता है।

कैलकुलेटर प्रतिलोम की जाँच कैसे करता है?

यह कई नमूना बिंदुओं पर f(f⁻¹(y)) का मान निकालता है और प्रतिलोम तभी बताता है जब हर मान बिना बदले लौट आए। शाखा-प्रतिबंध की ज़रूरत पहचानने के लिए यह दूसरे क्रम में भी संयोजन करता है।

अपने फलन का प्रतिलोम निकालें

ऊपर कोई फलन f(x) लिखें और अदला-बदली, हल, प्रांत और जाँच चरण-दर-चरण देखें।

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