परिमेय व्यंजक कैलकुलेटर

परिमेय व्यंजक कैलकुलेटर के बारे में

परिमेय व्यंजक ऐसी भिन्नें हैं जिनके अंश और हर में बहुपद होते हैं, जैसे $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ । ये सामान्य भिन्नों की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए निम्नतम पदों में लाने, सार्व हर निकालने और भिन्न से भाग देने के बारे में आप जो जानते हैं, वह सब यहाँ भी लागू होता है। अंतर यह है कि अब जिनका गुणनखंडन करना है वे बहुपद हैं, और आपको $x$ के उन मानों का ध्यान रखना होता है जो किसी हर को शून्य बना दें।

यह कैलकुलेटर एक चर वाले परिमेय व्यंजकों पर पाँच संक्रियाएँ करता है: सरलीकरण, योग, व्यवकलन, गुणा और भाग। वह हर अंश और हर का परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन करता है, ज़रूरत हो तो लघुत्तम सार्व हर बनाता है, उभयनिष्ठ गुणनखंड काटता है, और अंतिम उत्तर के वर्जित मान बताता है, जिन्हें कई हल भूल जाते हैं।

परिमेय व्यंजक क्या है?

परिमेय व्यंजक दो बहुपदों का भागफल $\frac{P(x)}{Q(x)}$ है, जहाँ $Q$ शून्य बहुपद नहीं है। जहाँ भी $Q(x) = 0$ हो, वहाँ यह अपरिभाषित है, इसलिए इसका प्रांत हर के मूलों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

दो परिमेय व्यंजक तुल्य हैं यदि वे हर उस बिंदु पर बराबर हों जहाँ दोनों परिभाषित हैं। सरल करना किसी व्यंजक को निम्नतम पदों वाले तुल्य व्यंजक से बदल देता है, जिसमें अंश और हर का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। चूँकि काटने से हर का कोई गुणनखंड हट सकता है, इसलिए मूल व्यंजक के वर्जित मानों को स्पष्ट रूप से आगे ले जाना ज़रूरी है।

परिमेय व्यंजक कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सरलीकरण, योग, व्यवकलन, गुणा या भाग चुनें।
पहला व्यंजक A में लिखें, अंश और हर को कोष्ठकों में रखकर, उदाहरण के लिए (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6)।
चार अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए दूसरा व्यंजक B में लिखें, जैसे 2/(x + 1)।
“गणना करें” दबाएँ और गुणनखंडन, सार्व हर और काटने के चरणों का अनुसरण करें।
परिणाम को उसके वर्जित मानों के साथ उतारें।

सूत्र

निम्नतम पदों में लाना

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

सार्व हर के साथ योग

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

गुणा

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

भाग

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

हल सहित उदाहरण: सरल करें (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

हल किया गया उदाहरण $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ को निम्नतम पदों में लाता है। इंजन अंश में वर्गों का अंतर और हर में गुणनखंडनीय त्रिपद पहचानता है, इसलिए दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड $x + 3$ है।

काटने के बाद इंजन दोनों वर्जित मान, $-3$ और $-2$ , सूचीबद्ध करता है। मान $-3$ अब सरलीकृत हर को शून्य नहीं बनाता, लेकिन मूल व्यंजक में वह वर्जित था, इसलिए वर्जित ही रहता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\frac{x - 3}{x + 2}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

परिमेय व्यंजक को सरलतम रूप में लाएँ।

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

एक ही भिन्न के रूप में लिखें
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
अंश और हर के गुणनखंड करें
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें
गुणनखंड x + 3 अंश और हर दोनों में है। जहाँ भी मूल व्यंजक परिभाषित है, वहाँ इसे काटने से मान नहीं बदलता।
$\frac{x - 3}{x + 2}$
अपवर्जित मान बताएँ
जहाँ कोई भी हर (या भाजक) शून्य हो, वहाँ मूल व्यंजक अपरिभाषित है: x ≠ -3, x ≠ -2। कोई गुणनखंड कट जाए तब भी ये प्रतिबंध बने रहते हैं।

इस्तेमाल किए गए सूत्र

काटना
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

सरलतम रूप में परिणाम (x - 3)/(x + 2) है। अपवर्जित मान: x ≠ -3, x ≠ -2।

जाँच

सरलीकृत रूप की तुलना चार परीक्षण बिंदुओं पर मूल व्यंजक से की गई और दोनों मेल खाते हैं।

पूरी व्याख्या

योग और व्यवकलन

परिमेय व्यंजकों को जोड़ने के लिए उन्हें सार्व हर पर लिखें। लघुत्तम सार्व हर (ल.स.ह.) हरों के हर भिन्न गुणनखंड का गुणनफल है, हर गुणनखंड उस सबसे बड़ी घात में जिसमें वह आता है। $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ के लिए ल.स.ह. $(x - 1)(x + 1)$ है; हर अंश को उस गुणनखंड से गुणा किया जाता है जो उसके हर में नहीं है, जिससे $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ मिलता है।

व्यवकलन भी इसी ढंग से होता है, लेकिन पूरा दूसरा अंश घटाया जाता है, इसलिए ऋण चिह्न वितरित करने से पहले उसे कोष्ठक में रखें। मिलाने के बाद नए अंश का गुणनखंडन करें, ताकि दिखे कि ल.स.ह. के साथ कुछ कटता है या नहीं।

गुणा और भाग

गुणा के लिए सार्व हर की ज़रूरत नहीं होती। पहले सबका गुणनखंडन करें, जो गुणनखंड किसी अंश और किसी हर दोनों में हो उसे काटें, और बचे हुए का गुणा करें। गुणा से पहले काटने से बहुपद छोटे रहते हैं।

भाग देने के लिए दूसरे व्यंजक के व्युत्क्रम से गुणा करें। इससे एक नया प्रतिबंध जुड़ता है: भाजक का अंश शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि पलटने के बाद वह हर बन जाता है। $\frac{x}{x + 2}$ को $\frac{x - 1}{x + 2}$ से भाग देने पर $\frac{x}{x - 1}$ मिलता है, जिसमें $x \neq -2$ और $x \neq 1$ दोनों वर्जित हैं।

वर्जित मान क्यों मायने रखते हैं

वर्जित मान औपचारिकता नहीं हैं। $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ का आलेख $\frac{x - 3}{x + 2}$ के आलेख जैसा दिखता है, लेकिन उसमें $x = -3$ पर एक छिद्र और $x = -2$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। परिमेय व्यंजकों वाले समीकरण हल करते समय किसी वर्जित मान के बराबर संभावित हल बाह्य हल है और उसे अस्वीकार करना होगा।

आम गलतियाँ

गुणनखंडों के बजाय पदों को काटना, जैसे $\frac{x + 2}{x}$ में $x$ को काट देना।
अंशों और हरों को अलग-अलग जोड़ना: $\frac1x + \frac1y$ का मान $\frac{2}{x + y}$ नहीं है।
घटाते समय ऋण चिह्न को पूरे दूसरे अंश पर वितरित करना भूल जाना।
उभयनिष्ठ गुणनखंड काटने के बाद वर्जित मानों को छोड़ देना।
भाग देते समय दूसरी के बजाय पहली भिन्न को पलटना।

सुझाव

कुछ भी और करने से पहले हर अंश और हर का पूरा गुणनखंडन करें।
ल.स.ह. को गुणनखंडित रूप में लिखें; उसे जल्दी गुणा करके फैलाने से काटना कठिन हो जाता है।
काटने से पहले हर हर से वर्जित मान इकट्ठा करें, भाजक के अंश सहित।
परिणाम की जाँच $x = 5$ जैसा कोई मान मूल और सरलीकृत दोनों रूपों में रखकर करें।
परिणाम का पूरा प्रांत देखने के लिए प्रांत और परिसर कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

परिमेय व्यंजक को सरल कैसे करें?

अंश और हर का पूरा गुणनखंडन करें, दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, और x के वे मान जो मूल हर को शून्य बनाते हैं, वर्जित मानों के रूप में बताएँ।

वर्जित मान क्या है?

चर का ऐसा मान जो किसी हर को शून्य बना दे, इसलिए वहाँ व्यंजक अपरिभाषित है। मूल व्यंजक के वर्जित मान सरल करने के बाद भी वर्जित रहते हैं।

लघुत्तम सार्व हर कैसे निकालें?

हर हर का गुणनखंडन करें और सभी भिन्न गुणनखंडों का आपस में गुणा करें, हर गुणनखंड उस सबसे बड़ी घात में जिसमें वह किसी एक हर में आता है।

मैं (x + 2)/x में x को क्यों नहीं काट सकता?

अंश में x जोड़ा जा रहा एक पद है, पूरे अंश का गुणनखंड नहीं। केवल वही गुणनखंड काटे जा सकते हैं जो पूरे अंश और पूरे हर को गुणा करते हैं।

परिमेय व्यंजकों का भाग कैसे करें?

पहले व्यंजक को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करें, फिर गुणनखंडन करें और काटें। दूसरे व्यंजक का अंश नए वर्जित मान जोड़ता है, क्योंकि वह हर बन जाता है।

क्या कैलकुलेटर एक से अधिक चर संभालता है?

यह कैलकुलेटर एक ही चर वाले परिमेय व्यंजकों के साथ काम करता है। कई चरों वाले बहुपद व्यंजकों के लिए सरलीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करें।

छिद्र और अनंतस्पर्शी में क्या अंतर है?

छिद्र वहाँ आता है जहाँ कोई गुणनखंड अंश और हर दोनों से कट जाता है। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी वहाँ आता है जहाँ सरल करने के बाद भी कोई गुणनखंड हर में बचा रहता है।

अपने परिमेय व्यंजक सरल करें

ऊपर एक या दो बीजीय भिन्नें लिखें, और गुणनखंडन, सार्व हर और वर्जित मानों के साथ परिणाम पाएँ।

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