बहुपद कैलकुलेटर

Q: बहुपद कैलकुलेटर कौन-सी संक्रियाएँ करता है?

विस्तार, योग, व्यवकलन, गुणा, भागफल और शेषफल के साथ दीर्घ विभाजन, हॉर्नर विधि से x के किसी मान पर बहुपद का मान, और वास्तविक मूल निकालना।

Q: बहुपदों का भाग कैसे करूँ?

भाग चुनें, भाज्य को P और भाजक को Q के रूप में लिखें। कैलकुलेटर दीर्घ विभाजन करता है और भागफल, शेषफल और उत्तर को भागफल जमा शेषफल बटा भाजक के रूप में दिखाता है।

Q: शेषफल प्रमेय क्या है?

जब बहुपद P को x घटा c से भाग दिया जाता है, तो शेषफल P(c) के बराबर होता है। इसलिए c पर बहुपद का मान निकालना शेषफल पाने या यह परखने का तेज़ तरीका है कि c मूल है या नहीं।

Q: क्या बहुपद कैलकुलेटर सम्मिश्र मूल भी बताता है?

नहीं। मूल वाला मोड केवल वास्तविक मूल सूचीबद्ध करता है और बताता है जब बहुपद का कोई वास्तविक मूल न हो। परिमेय मूल सटीक होते हैं और अपरिमेय मूल दशमलव सन्निकटन के रूप में दिखाए जाते हैं।

Q: हॉर्नर विधि क्या है?

गुणाओं को एक-दूसरे में पिरोकर बहुपद का मान निकालने का तरीका, जैसे ax घन जमा bx वर्ग जमा cx जमा d को ((ax + b)x + c)x + d लिखना। इसमें कम संक्रियाएँ लगती हैं और हर घात अलग से निकालने की तुलना में गलती की संभावना कम होती है।

Q: बहुपद की घात क्या है?

शून्येतर गुणांक वाली चर की सबसे बड़ी घात। यह सीमित करती है कि बहुपद के कितने वास्तविक मूल और मोड़ बिंदु हो सकते हैं।

Q: क्या मैं गुणांकों के रूप में भिन्नें उपयोग कर सकता हूँ?

हाँ। भिन्न और दशमलव सटीक भिन्नों में बदल दिए जाते हैं, और सभी परिणाम सटीक रखे जाते हैं।

बहुपद कैलकुलेटर के बारे में

बहुपद बीजगणित के सबसे आम फलन हैं: रेखाएँ, परवलय, त्रिघात वक्र और चर की पूर्ण-संख्या घातों से बनी हर चीज़। उनके साथ काम करने का मतलब है कुछ ऐसी संक्रियाएँ जो बार-बार आती हैं, जैसे दो कोष्ठकों का गुणा, रैखिक गुणनखंड से भाग, कोई मान रखना या शून्यक ढूँढना। हर संक्रिया यांत्रिक है, लेकिन जब बहुपद में कई पद हों, तो हर एक में गलती होना आसान है।

यह कैलकुलेटर एक चर वाले बहुपदों पर सात संक्रियाएँ करता है: विस्तार, योग, व्यवकलन, गुणा, दीर्घ विभाजन, किसी बिंदु पर मान, और वास्तविक मूल। गुणांक सटीक भिन्नों के रूप में रखे जाते हैं, इसलिए दीर्घ विभाजन सटीक भागफल और शेषफल देता है, और परिमेय मूल पूर्णांकित दशमलवों के बजाय सटीक रूप में बताए जाते हैं।

बहुपद क्या है?

$x$ में बहुपद $a x^n$ रूप के पदों का योग है, जहाँ हर गुणांक $a$ एक संख्या है और हर घातांक $n$ एक पूर्ण संख्या। $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ बहुपद है; $\frac1x$ और $\sqrt x$ नहीं हैं, क्योंकि उनके घातांक ऋणात्मक या भिन्नात्मक हैं।

घात शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक है, और अग्र गुणांक उस पद का गुणांक है। घात $n$ वाले बहुपद के अधिकतम $n$ वास्तविक मूल होते हैं और उसके आलेख में अधिकतम $n - 1$ मोड़ बिंदु, ये तथ्य गणना से पहले ही अनुमान लगाने में मदद करते हैं कि उत्तर कैसा दिखना चाहिए।

बहुपद कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

संक्रिया चुनें: विस्तार, योग, व्यवकलन, गुणा, भाग, मान निकालना या मूल।
पहला बहुपद P लिखें, उदाहरण के लिए 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5।
योग, व्यवकलन, गुणा और भाग के लिए दूसरा बहुपद Q लिखें, जैसे x - 2।
मान निकालने के लिए अतिरिक्त खाने में $x$ का मान लिखें।
“गणना करें” दबाएँ और चरणों का अनुसरण करें; दीर्घ विभाजन हर अग्र-पद वाला भाग और व्यवकलन दिखाता है।

सूत्र

विभाजन एल्गोरिद्म

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

शेषफल प्रमेय

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

गुणनखंड प्रमेय

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ इस बहुपद का गुणनखंड है: } P(x)

हॉर्नर विधि

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

हल सहित उदाहरण: 2x³ − 3x² + 4x − 5 को x − 2 से भाग दें

उदाहरण दीर्घ विभाजन से $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ को $x - 2$ से भाग देता है। हर चरण में इंजन बचे हुए भाग के अग्र पद को $x$ से भाग देता है, भाजक को उस पद से गुणा करता है और घटाता है।

तीन दौर में भागफल $2x^2 + x + 6$ और शेषफल 7 मिलते हैं, इसलिए उत्तर $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ लिखा जाता है। जैसा शेषफल प्रमेय बताता है, मूल बहुपद का $x = 2$ पर मान भी 7 है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

बहुपद दीर्घ भाग से P को Q से भाग दें।

स्टेप-बाय-स्टेप हल

P को मानक रूप में लिखें
विस्तार करके समान पदों को मिलाएँ: घात 3, अग्रग गुणांक 2, अचर पद -5।
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Q को मानक रूप में लिखें
घात 1, अग्रग गुणांक 1, अचर पद -2
$Q(x) = x - 2$
अग्रग पदों का भाग करें: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Q को 2x^2 से गुणा करके घटाएँ। नया शेषफल: x^2 + 4x - 5।
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
अग्रग पदों का भाग करें: (x^2) ÷ (x) = x
Q को x से गुणा करके घटाएँ। नया शेषफल: 6x - 5।
$x\cdot(x - 2)$
अग्रग पदों का भाग करें: (6x) ÷ (x) = 6
Q को 6 से गुणा करके घटाएँ। नया शेषफल: 7।
$6\cdot(x - 2)$
जब शेषफल की घात भाजक की घात से कम हो जाए तो रुकें
$\text{भागफल } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{शेषफल } 7$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

विभाजन एल्गोरिथ्म
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q से P पूरा-पूरा विभाजित नहीं होता: शेषफल 7 है।

जाँच

जाँच: Q·भागफल + शेषफल बराबर है P।

पूरी व्याख्या

गुणा और विस्तार

दो बहुपदों के गुणा में पहले का हर पद दूसरे के हर पद से गुणा होता है, और फिर समान घातें एकत्र की जाती हैं। $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ के लिए छह गुणनफल सिमटकर $x^3 + 1$ बनते हैं, जो घनों का योग है। कैलकुलेटर एकत्र करने से पहले पूरा वितरण दिखाता है ताकि कोई गुणनफल छूटे नहीं, जो लंबे कोष्ठकों में गलतियों का आम स्रोत है।

योग और व्यवकलन केवल समान घातों के गुणांकों को मिलाते हैं। व्यवकलन में दूसरे बहुपद के हर पद का चिह्न बदल जाता है, इसीलिए कैलकुलेटर मिलाने से पहले ऋणात्मक किया गया बहुपद स्पष्ट रूप से लिखता है।

दीर्घ विभाजन और उसके उपयोग

बहुपद दीर्घ विभाजन ठीक संख्याओं के दीर्घ विभाजन की तरह काम करता है। यह तब रुकता है जब शेषफल की घात भाजक से कम हो जाए। भाग का उपयोग एक मूल ज्ञात होने पर बहुपद का गुणनखंडन करने, परिमेय फलनों को सरल करने और तिर्यक अनंतस्पर्शी निकालने में होता है: $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ का भागफल $x + 1$ है, इसलिए आलेख रेखा $y = x + 1$ के निकट पहुँचता है।

रैखिक गुणनखंड $x - c$ से भाग को संश्लिष्ट विभाजन से छोटा किया जा सकता है, जिसमें केवल गुणांक रखे जाते हैं। तब शेषफल प्रमेय कहता है कि शेषफल $P(c)$ के बराबर है, जो अपने काम की जाँच का तेज़ तरीका है।

मूल निकालना

मूल वाले मोड में कैलकुलेटर पहले परिमेय संभावित मूल $\frac pq$ परखता है, जहाँ $p$ अचर पद को और $q$ अग्र गुणांक को विभाजित करता है। मिला हर मूल भाग देकर बाहर निकाला जाता है, जिससे घात घटती है। बचे द्विघात को द्विघात सूत्र से हल किया जाता है, और ऊँची घात का कोई भी अखंडनीय शेष भाग संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है, परिणाम को सन्निकटन के रूप में चिह्नित करके। $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ के लिए मूल 1, 2 और 3 सभी सटीक हैं; $x^3 - 2$ के लिए एकमात्र वास्तविक मूल $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ दशमलव के रूप में दिखाया जाता है।

केवल वास्तविक मूल सूचीबद्ध होते हैं। $x^2 + 2x + 5$ जैसे बहुपद का विविक्तकर ऋणात्मक है, इसलिए कैलकुलेटर बताता है कि उसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।

आम गलतियाँ

दीर्घ विभाजन में अनुपस्थित घात को छोड़ देना; स्तंभ सीध में रहें, इसके लिए $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ लिखें।
दीर्घ विभाजन में पूरे गुणनफल के बजाय केवल पहला पद घटाना।
बहुपद घटाते समय हर चिह्न बदलना भूल जाना।
पदों का गुणा करते समय घातांकों को जोड़ने के बजाय गुणा करना: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ ।
शेषफल को उसके भाजक के बिना लिखना; अकेला $+7$ और $+\frac{7}{x - 2}$ एक ही नहीं हैं।

सुझाव

कोई भी संक्रिया करने से पहले दोनों बहुपदों को घटती घातों के क्रम में लगाएँ।
भाग की जाँच के लिए भागफल को भाजक से गुणा करें और शेषफल जोड़ें।
संभावित मूल को जल्दी परखने के लिए शेषफल प्रमेय का उपयोग करें: यदि $P(c) = 0$ , तो $x - c$ एक गुणनखंड है।
कितने वास्तविक मूलों की अपेक्षा करें, यह देखने के लिए आलेख कैलकुलेटर से आलेख बनाएँ।
जब बहुपद को गुणनफल के रूप में लिखा चाहिए, तो गुणनखंड कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

बहुपद कैलकुलेटर कौन-सी संक्रियाएँ करता है?