बहुपद फलन: घात, अंत्य व्यवहार, शून्यक और आलेख

कोई फलन बहुपद कब होता है

बहुपद फलन पदों का योग है, जिसमें हर पद एक अचर गुणा $x$ की कोई पूर्ण संख्या घात होता है:

सबसे ऊँची घात $n$ घात कहलाती है, उसके आगे का गुणांक $a_n$ प्रमुख गुणांक है, और $a_0$ अचर पद है, जो y-अंतःखंड भी है। घात 1 से रेखाएँ, घात 2 से परवलय, घात 3 से त्रिघात और घात 4 से चतुर्घात बनते हैं। $\frac{1}{x}$ या $\sqrt{x}$ जैसी ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातों वाले व्यंजक, या जिनमें चर हर अथवा घातांक में हों, बहुपद नहीं हैं।

बहुपद हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित हैं और उनके आलेख चिकने, अटूट वक्र होते हैं, जिनमें कोई नुकीला कोना, अंतराल या अनंतस्पर्शी नहीं होती। यही एक कारण है कि अन्य फलनों के मॉडल बनाने और सन्निकटन के लिए इनका इतना व्यापक उपयोग होता है।

प्रमुख पद से अंत्य व्यवहार

बहुत बड़े धनात्मक या ऋणात्मक $x$ के लिए प्रमुख पद बाकी सभी पदों पर हावी हो जाता है, इसलिए आलेख के सिरे $a_n x^n$ जैसा व्यवहार करते हैं। केवल दो तथ्य मायने रखते हैं: घात सम है या विषम, और प्रमुख गुणांक धनात्मक है या ऋणात्मक।

• सम घात, धनात्मक प्रमुख गुणांक: दोनों सिरे ऊपर उठते हैं, $x^2$ की तरह।
• सम घात, ऋणात्मक प्रमुख गुणांक: दोनों सिरे नीचे गिरते हैं, $-x^2$ की तरह।
• विषम घात, धनात्मक प्रमुख गुणांक: बाईं ओर गिरता है और दाईं ओर उठता है, $x^3$ की तरह।
• विषम घात, ऋणात्मक प्रमुख गुणांक: बाईं ओर उठता है और दाईं ओर गिरता है, $-x^3$ की तरह।

उदाहरण के लिए, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ की घात विषम और प्रमुख गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए यह बाईं ओर उठता है और दाईं ओर गिरता है, भले ही बाकी गुणांक कितने भी बड़े दिखें। इसलिए विषम घात वाला बहुपद x-अक्ष को कम से कम एक बार अवश्य काटता है, क्योंकि उसके दोनों सिरे विपरीत दिशाओं में होते हैं।

शून्यक, गुणनखंड और बहुलता

$p$ का शून्यक, या मूल, ऐसा मान $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$. शून्यक आलेख के x-अंतःखंड हैं, और हर वास्तविक शून्यक $c$ एक गुणनखंड $(x - c)$ से संगत है। इसलिए शून्यक निकालने का मुख्य औज़ार गुणनखंड है, शून्य गुणनफल गुणधर्म के साथ: गुणनफल तभी शून्य होता है जब उसका कोई गुणनखंड शून्य हो।

अगर कोई गुणनखंड दोहराया गया हो, तो शून्यक की बहुलता एक से अधिक होती है, और वहाँ आलेख अलग व्यवहार करता है। विषम बहुलता वाले शून्यक पर आलेख अक्ष को काटता है; सम बहुलता वाले शून्यक पर वह अक्ष को छूकर वापस मुड़ जाता है। बहुलता जितनी अधिक, शून्यक के पास आलेख उतना ही चपटा।

घात $n$ वाले बहुपद के अधिक से अधिक $n$ वास्तविक शून्यक और अधिक से अधिक $n - 1$ वर्तन बिंदु होते हैं, यानी उसके आलेख के शिखर और घाटियाँ। त्रिघात के एक या दो वर्तन बिंदु हो सकते हैं, या बिल्कुल नहीं, जैसा $x^3$ दिखाता है। गुणनखंड निकालने की विधियाँ बहुपदों का गुणनखंड की मार्गदर्शिका में विस्तार से दी गई हैं।

शेषफल और गुणनखंड प्रमेय

बहुपद $p(x)$ को $(x - c)$ से भाग देने पर शेषफल केवल एक संख्या होता है, और शेषफल प्रमेय कहता है कि वह संख्या $p(c)$ है। गुणनखंड प्रमेय इससे तुरंत निकलता है: $(x - c)$ ठीक तब गुणनखंड है जब $p(c) = 0$.

इसके विपरीत, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$, इसलिए $p(x)$ को $(x - 2)$ से भाग देने पर शेषफल $-4$ बचेगा, और $(x - 2)$ गुणनखंड नहीं है।

संश्लिष्ट विभाजन

संश्लिष्ट विभाजन केवल गुणांकों का उपयोग करके $(x - c)$ से भाग देने का संक्षिप्त तरीका है। उदाहरण 3 के लिए $c = 1$ और गुणांक $1, -2, -5, 6$ लिखें।

1. पहला गुणांक नीचे लाएँ: 1.
2. $c$ से गुणा करें और अगले गुणांक में जोड़ें: $1 \times 1 = 1$, और $-2 + 1 = -1$.
3. दोहराएँ: $-1 \times 1 = -1$, और $-5 + (-1) = -6$.
4. दोहराएँ: $-6 \times 1 = -6$, और $6 + (-6) = 0$.
5. अंतिम संख्या, 0, शेषफल है। बाकी, $1, -1, -6$, भागफल के गुणांक हैं: $x^2 - x - 6$.

$x$ की हर घात के लिए जगह चाहिए, इसलिए किसी भी छूटे पद के लिए 0 लिखें। $x^3 - 8$ को $(x - 2)$ से भाग देने में गुणांक $1, 0, 0, -8$ इस्तेमाल होते हैं और भागफल $x^2 + 2x + 4$ तथा शेषफल 0 मिलता है।

संश्लिष्ट विभाजन केवल $x - c$ रूप के भाजकों के लिए काम करता है। $2x - 1$ से भाग देने के लिए $x - \frac{1}{2}$ से भाग दें और फिर भागफल को 2 से भाग दें, या लंबा भाग इस्तेमाल करें।

कितने शून्यक: मूलभूत प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय सुनिश्चित करता है कि घात $n \ge 1$ वाले बहुपद के ठीक $n$ सम्मिश्र शून्यक होते हैं, जब हर शून्यक को उसकी बहुलता जितनी बार गिना जाए। कुछ वास्तविक हो सकते हैं और कुछ सम्मिश्र। जब गुणांक वास्तविक हों, तो सम्मिश्र शून्यक संयुग्मी जोड़ियों में आते हैं, इसलिए अगर $2 + 3i$ शून्यक है, तो $2 - 3i$ भी है।

इससे समझ आता है कि वास्तविक गुणांकों वाले त्रिघात का कम से कम एक वास्तविक शून्यक हमेशा क्यों होता है: उसके तीनों शून्यक सम्मिश्र नहीं हो सकते, क्योंकि सम्मिश्र शून्यक जोड़ियों में आते हैं। दूसरी ओर, चतुर्घात का कोई वास्तविक शून्यक न भी हो, जैसा $x^4 + 1$ दिखाता है।

जब शून्यक ठीक-ठीक न निकल सके, तो मध्यवर्ती मान प्रमेय उसकी स्थिति खोजने में मदद करता है। $p(x) = x^3 + x - 1$ के लिए $p(0) = -1$ और $p(1) = 1$. क्योंकि बहुपद आलेखों में अंतराल नहीं होते, आलेख को 0 और 1 के बीच कहीं शून्य को पार करना ही होगा; संख्यात्मक रूप से मूल लगभग $0.6823$ है।

शून्यकों से बहुपद बनाना

उलटी दिशा में चलें, तो शून्यक एक अचर गुणक तक बहुपद को निर्धारित करते हैं। मान लीजिए किसी द्विघात के शून्यक 2 और $-1$ हैं और वह $(0, 4)$ से गुज़रता है। वह $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$ ही होगा। बिंदु प्रतिस्थापित करने पर $4 = a(-2)(1)$ मिलता है, इसलिए $a = -2$ और $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. विस्तार करके जाँचना कि $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ और $f(-1) = 0$, परिणाम की पुष्टि करता है।

बहुपद आलेख का रेखाचित्र बनाना

1. अंत्य व्यवहार तय करने के लिए घात और प्रमुख गुणांक निकालें।
2. शून्यक और उनकी बहुलताएँ निकालने के लिए गुणनखंड करें।
3. y-अंतःखंड, यानी अचर पद, अंकित करें।
4. हर शून्यक पर उसकी बहुलता से तय करें कि आलेख काटता है या छूता है।
5. बिंदुओं को एक चिकने वक्र से जोड़ें जो अंत्य व्यवहार का पालन करे और जिसके अधिक से अधिक $n - 1$ वर्तन बिंदु हों।

इससे सटीक आकार मिलता है, हालाँकि वर्तन बिंदुओं की ठीक ऊँचाइयाँ नहीं, जिनके लिए कलन चाहिए। अपने रेखाचित्र की तुलना ग्राफ़िंग कैलकुलेटर से करना आत्मविश्वास बढ़ाने का अच्छा तरीका है।

एक अनुप्रयोग: सबसे बड़ा खुला डिब्बा

10 गुणा 16 सेंटीमीटर के कार्ड की शीट के हर कोने से भुजा $x$ का एक वर्ग काटा जाता है, और किनारों को ऊपर मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। इसका आयतन $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$ है। क्योंकि हर लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, यथार्थवादी प्रांत $0 < x < 5$ है।

शून्यक 0, 5 और 8 बताते हैं कि आयतन कहाँ शून्य हो जाता है। इनके बीच आयतन बढ़ता और घटता है, और कलन अधिकतम को ठीक-ठीक बताता है: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, जो प्रांत के अंदर $x = 2$ पर शून्य है। सबसे बड़े डिब्बे का आयतन $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ घन सेंटीमीटर है। अवकलन नियमों की मार्गदर्शिका दिखाती है कि ऐसे अवकलज कैसे निकाले जाते हैं।

आम गलतियाँ

• अंत्य व्यवहार को सबसे ऊँची घात वाले पद के बजाय पहले लिखे गए पद से पढ़ना।
• संश्लिष्ट विभाजन में छूटी घातों के शून्य गुणांक न लिखना।
• सम बहुलता को अनदेखा करके हर शून्यक को काटने वाला बिंदु मान लेना।
• $n - 1$ से अधिक वर्तन बिंदुओं का दावा करना।
• शून्यक $c$ को गुणनखंड के चिह्न से उलझा देना: शून्यक 3 से गुणनखंड $(x - 3)$ मिलता है।

बहुपद कैलकुलेटर हर चरण दिखाते हुए शून्यक निकालता है, गुणनखंड करता है और बहुपदों को भाग देता है, ताकि आप ऊपर के उदाहरण जाँच सकें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल