गुणनखंड कैलकुलेटर

गुणनखंड कैलकुलेटर के बारे में

गुणनखंडन किसी बहुपद को सरल बहुपदों के गुणनफल के रूप में फिर से लिखता है। यह कोष्ठक खोलकर गुणा करने की उल्टी प्रक्रिया है, और बीजगणित के सबसे अधिक प्रयुक्त कौशलों में से एक है: इससे द्विघात और त्रिघात समीकरण हल होते हैं, परिमेय व्यंजक सरल होते हैं, ग्राफ़ के शून्यक मिलते हैं और समाकल आंशिक भिन्नों के लिए तैयार होते हैं।

यह कैलकुलेटर एक चर वाले बहुपदों, जैसे $6x^2 + 11x - 10$ या $x^4 - 16$ , और दो चर वाले सामान्य रूपों, जैसे $x^2 - 9y^2$ या $x^2 - 5xy + 6y^2$ , के गुणनखंड करता है। यह हमेशा पहले महत्तम समापवर्तक बाहर निकालता है, फिर विशेष पैटर्न खोजता है, फिर ऊँची घातों के लिए AC विधि या परिमेय मूल प्रमेय का प्रयोग करता है। परिमेय संख्याओं पर जो आगे नहीं टूट सकता, उसे बिना व्याख्या छोड़ने के बजाय अखंडनीय बताया जाता है।

बहुपद के गुणनखंड करने का क्या अर्थ है?

बहुपद के गुणनखंड करने का अर्थ है उसे ऐसे गुणनफल के रूप में लिखना जिसके हर गुणनखंड की घात कम हो। उदाहरण के लिए $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ । गुणनखंडों को वापस गुणा करने पर मूल बहुपद मिलता है, और किसी भी गुणनखंडन की जाँच का यही सबसे आसान तरीका है।

गुणनखंडन तब पूरा होता है जब परिमेय गुणांकों से किसी गुणनखंड को और तोड़ा न जा सके। द्विघात $x^2 - 2$ परिमेय संख्याओं पर अखंडनीय है, हालाँकि यह $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ के बराबर है, क्योंकि $\sqrt2$ अपरिमेय है। स्कूली पाठ्यक्रम और यह कैलकुलेटर परिमेय संख्याओं पर काम करते हैं, जब तक कि सवाल स्पष्ट रूप से वास्तविक या सम्मिश्र गुणनखंड न माँगे।

गुणनखंड कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

घातों के लिए ^ का प्रयोग करते हुए बहुपद लिखें, उदाहरण के लिए 6x^2 + 11x - 10 या x^3 - 8।
आप इसे किसी भी क्रम में या कोष्ठकों के साथ लिख सकते हैं, जैसे (x + 1)(x + 2) + 3x; कैलकुलेटर पहले इसका विस्तार करके इसे क्रम में लगाता है।
“गुणनखंड करें” दबाएँ। पहला चरण बहुपद को घटती घातों वाले मानक रूप में लिखता है।
विधि के चरणों का अनुसरण करें: उभयनिष्ठ गुणनखंड, विशेष पैटर्न या AC विधि, और त्रिघात या चतुर्घात बहुपदों के लिए संश्लिष्ट भाग के साथ परिमेय मूल परीक्षण।
अंत में पूरा गुणनखंडन पढ़ें और, यदि जाँचना चाहें, तो सरलीकरण कैलकुलेटर से उसका गुणा करके देखें।

सूत्र

वर्गों का अंतर

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

पूर्ण वर्ग त्रिपद

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

घनों का योग और अंतर

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

AC विधि

ax^2 + bx + c:\ \text{ऐसे } m, n \text{ खोजें कि } mn = ac,\ m + n = b

$bx$ को $mx + nx$ में बाँटें और समूहन से गुणनखंड करें।

परिमेय मूल प्रमेय

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

संभावित मूल अचर पद के गुणनखंडों को अग्रग गुणांक के गुणनखंडों से भाग देकर बनते हैं।

हल सहित उदाहरण: त्रिपद 6x² + 11x − 10

हल किया गया उदाहरण त्रिपद $6x^2 + 11x - 10$ लेता है, यह एक क्लासिक स्थिति है जिसमें अग्रग गुणांक 1 नहीं है, इसलिए अंदाज़ा लगाकर जाँचना धीमा है। इंजन $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ का गुणा करता है और ऐसे दो पूर्णांक खोजता है जिनका गुणनफल $-60$ और योग $11$ हो।

वे पूर्णांक $15$ और $-4$ हैं। बीच वाले पद को $15x - 4x$ में बाँटने से चारों पदों को जोड़ों में समूहित किया जा सकता है, और हर जोड़े में एक द्विपद गुणनखंड उभयनिष्ठ होता है। पुष्टि के लिए उत्तर को वापस गुणा करें।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

(3x - 2)(2x + 5)

हमने आपका सवाल कैसे समझा

परिमेय संख्याओं पर बहुपद के गुणनखंड करें

6x^{2} + 11x - 10

स्टेप-बाय-स्टेप हल

बहुपद को मानक रूप में लिखें
$6x^{2} + 11x - 10$
AC विधि का प्रयोग करें
a·c = 6·-10 = -60 का गुणा करें। ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल -60 और योग b = 11 हो: 15 और -4।
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
समूहन से गुणनखंड करें
पहले दो और अंतिम दो पदों का समूह बनाएँ, हर समूह के गुणनखंड करें, फिर उभयनिष्ठ द्विपद को बाहर निकालें। मूल -5/2 और 2/3 हैं।
पूरा गुणनखंडन लिखें
$(3x - 2)(2x + 5)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

वर्गों का अंतर
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
पूर्ण वर्ग त्रिपद
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
घनों का योग और अंतर
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
परिमेय मूल प्रमेय
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ मूल} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

परिमेय संख्याओं पर 6x^2 + 11x - 10 के पूरे गुणनखंड (3x - 2)(2x + 5) हैं।

जाँच

(3x - 2)(2x + 5) का विस्तार करने पर फिर से 6x^2 + 11x - 10 मिलता है।

पूरी व्याख्या

विधियों का क्रम महत्वपूर्ण है

गुणनखंडन की भरोसेमंद प्रक्रिया हमेशा महत्तम समापवर्तक से शुरू होती है। $2x^2 - 18$ से $2$ बाहर निकालने पर $x^2 - 9$ बचता है, जिसे फिर वर्गों के अंतर के रूप में पहचाना जा सकता है। यह चरण छोड़ने से पैटर्न छिप जाता है और $(2x - 6)(x + 3)$ जैसा अधूरा उत्तर बचता है, जिसमें अब भी 2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

उभयनिष्ठ गुणनखंड के बाद अच्छी प्रक्रिया रूप को देखती है। दो पद वर्गों के अंतर या घनों के योग या अंतर की ओर संकेत करते हैं; तीन पद पूर्ण वर्ग या AC विधि की ओर; चार पदों के गुणनखंड अक्सर समूहन से होते हैं। घात तीन और उससे अधिक के लिए कैलकुलेटर संभावित परिमेय मूलों की जाँच करता है और मिले हर मूल को संश्लिष्ट भाग से हटाता है, जिससे हर बार घात एक कम होती है और वही परिणाम मिलता है जो समूहन से मिलता, उदाहरण के लिए $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ ।

AC विधि क्यों काम करती है

यदि $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , तो विस्तार करने पर $pr = a$ , $qs = c$ और $ps + qr = b$ मिलते हैं। दोनों संख्याओं $ps$ और $qr$ का गुणनफल $pq rs = ac$ और योग $b$ है। इसलिए गुणनफल $ac$ और योग $b$ वाली दो संख्याएँ खोजना ठीक-ठीक तिरछे पद खोजना है, और समूहन से द्विपद वापस मिल जाते हैं।

जब कोई पूर्णांक जोड़ा न हो, तो द्विघात का कोई परिमेय मूल नहीं होता और वह परिमेय संख्याओं पर अखंडनीय है। इसकी पुष्टि विविक्तकर $b^2 - 4ac$ से की जा सकती है: परिमेय गुणनखंड ठीक तभी होते हैं जब यह पूर्ण वर्ग हो।

ऊँची घात वाले बहुपद

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ जैसे त्रिघात के लिए परिमेय मूल प्रमेय संभावित मूलों को $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ तक सीमित करता है। जाँच से पता चलता है कि $x = 1$ एक मूल है, संश्लिष्ट भाग के बाद $x^2 - 5x + 6$ बचता है, और उस द्विघात के गुणनखंड $(x - 2)(x - 3)$ हैं।

बिना परिमेय मूल वाले चतुर्घात भी दो द्विघातों में टूट सकते हैं, जैसे $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ में। किसी चतुर्घात को अखंडनीय घोषित करने से पहले कैलकुलेटर इस स्थिति के लिए पूर्णांक गुणांकों वाले द्विघात जोड़े खोजता है।

आम गलतियाँ

पहले महत्तम समापवर्तक निकालना भूल जाना, जिससे गुणनखंडन अधूरा रह जाता है।
$a^2 + b^2$ को वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंड योग्य मानना। वर्गों के योग के गुणनखंड सम्मिश्र संख्याओं के बिना नहीं होते।
घनों में चिह्न की गलतियाँ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , जिसमें द्विघात के बीच वाले पद पर धन चिह्न है।
एक चरण के बाद रुक जाना, उदाहरण के लिए $x^4 - 16$ को $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ छोड़ देना, जबकि $x^2 - 4$ के फिर से गुणनखंड होते हैं।
ऋणात्मक अग्रग गुणांक बाहर निकालते समय $-1$ का गुणनखंड छोड़ देना।

सुझाव

हमेशा गुणनखंडों को वापस गुणा करके जाँचें।
विधि चुनने से पहले बहुपद को घटती घातों में लिखें।
AC विधि में $ac$ के गुणनखंड जोड़ों को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक व्यवस्थित ढंग से सूचीबद्ध करें।
द्विघात के परिमेय संख्याओं पर गुणनखंड होते हैं या नहीं, यह जल्दी तय करने के लिए विविक्तकर का प्रयोग करें।
यदि गुणनखंडों के बजाय मूल चाहिए, तो हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी भी बहुपद के गुणनखंड का पहला चरण क्या है?

सभी पदों का महत्तम समापवर्तक बाहर निकालें, जिसमें चर की कोई उभयनिष्ठ घात भी शामिल है। बाकी हर विधि बचे हुए भाग पर बेहतर काम करती है।

जब अग्रग गुणांक 1 न हो, तो त्रिपद के गुणनखंड कैसे करें?

AC विधि का प्रयोग करें: a को c से गुणा करें, उस गुणनफल वाली ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका योग b हो, बीच वाले पद को उन दो भागों में बाँटें और समूहन से गुणनखंड करें।

अखंडनीय का क्या अर्थ है?

कोई बहुपद परिमेय संख्याओं पर अखंडनीय है जब उसे परिमेय गुणांकों वाले कम घात के बहुपदों के गुणनफल के रूप में न लिखा जा सके। उदाहरण के लिए x का वर्ग जोड़ 1, और x का वर्ग घटा 2, परिमेय संख्याओं पर अखंडनीय हैं।

क्या कैलकुलेटर त्रिघात और चतुर्घात बहुपदों के गुणनखंड कर सकता है?

हाँ। यह परिमेय मूल प्रमेय से परिमेय मूलों की जाँच करता है, उन्हें संश्लिष्ट भाग से हटाता है, और चतुर्घातों के लिए पूर्णांक गुणांकों वाले दो द्विघातों में बँटवारा भी खोजता है।

क्या यह दो चर वाले व्यंजकों के गुणनखंड करता है?

यह दो चर वाले सामान्य रूप संभालता है: उभयनिष्ठ एकपदी गुणनखंड, समघात बहुपद जैसे x का वर्ग घटा 5xy जोड़ 6y का वर्ग, वर्गों के अंतर और एक चर के अनुसार समूहन। तीन या अधिक चर वाले व्यंजक समर्थित नहीं हैं।

गुणनखंडन का समीकरण हल करने से क्या संबंध है?

यदि कोई गुणनफल शून्य है, तो उसका कोई एक गुणनखंड शून्य होना चाहिए। इसलिए शून्य के बराबर रखे गए बहुपद के गुणनखंड करने से एक कठिन समीकरण कई आसान समीकरणों में बदल जाता है।

मेरा उत्तर पाठ्यपुस्तक से अलग ढंग से क्यों लिखा है?

गुणनखंड किसी भी क्रम में आ सकते हैं, और ऋण एक का गुणनखंड कोष्ठकों के बीच खिसकाया जा सकता है। दोनों रूपों का गुणा करके देखें; यदि वही बहुपद मिले, तो दोनों सही हैं।

गुणनखंड कैलकुलेटर आज़माएँ

कोई बहुपद लिखें और महत्तम समापवर्तक से लेकर पूरे गुणनखंडन तक हर विधि देखें।

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