सरलीकरण कैलकुलेटर — व्यंजकों को चरण-दर-चरण सरल करें

सरलीकरण कैलकुलेटर के बारे में

सरलीकरण बीजगणित का रोज़ का साफ़-सफ़ाई वाला काम है। किसी व्यंजक को हल करने, उसका आलेख बनाने या दूसरे से तुलना करने से पहले आम तौर पर उसे साफ़ मानक रूप में लाना पड़ता है: कोष्ठक खुले हों, समान पद इकट्ठे हों और भिन्न सरलतम रूप में हों। हाथ से यह काम ज़्यादातर सावधानी से हिसाब रखने का है, और एक भी चिह्न छूट जाए तो परिणाम बिगड़ जाता है।

यह कैलकुलेटर एक या कई चरों वाले बहुपद व्यंजकों को सरल करता है, जैसे $3(x + 2) - 2(x - 1)$ या $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ; भिन्नों वाले संख्यात्मक व्यंजकों को; और एक चर वाले परिमेय व्यंजकों को, जैसे $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ , जिनमें यह गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटता है और वे मान बताता है जिन्हें अपवर्जित करना ज़रूरी है।

व्यंजक को सरल करने का क्या अर्थ है?

दो व्यंजक तुल्य होते हैं जब हर अनुमत इनपुट पर वे एक ही मान देते हैं। सरलीकरण किसी व्यंजक की जगह ऐसा तुल्य व्यंजक रखता है जो छोटा या अधिक मानक हो। बहुपदों के मानक रूप में कोई कोष्ठक नहीं होता, घातों के हर संयोजन के लिए एक ही पद होता है, और पद घटती घात के क्रम में लिखे जाते हैं।

परिमेय व्यंजकों में सरलतम रूप का अर्थ है कि अंश और हर में कोई बहुपद गुणनखंड उभयनिष्ठ न हो। $x + 3$ जैसा गुणनखंड काटना केवल वहीं मान्य है जहाँ $x + 3 \ne 0$ , इसलिए पूरे उत्तर में यह प्रतिबंध भी लिखा जाता है।

सरलीकरण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

व्यंजक लिखें, जैसे 3(x + 2) - 2(x - 1) या (x^2 - 9)/(x^2 + 3x)।
घात के लिए ^ और गुणा के लिए * लिखें या संख्याओं को सटाकर लिखें: 2x, 2*x और 2(x + 1) तीनों चलते हैं।
“सरल करें” दबाएँ और चरणों को देखें: बंटन, घातों का विस्तार, समान पदों का मिलान, और भिन्नों में गुणनखंड करके काटना।
अंतिम सरलीकृत रूप और उसके साथ बताए गए अपवर्जित मान पढ़ें।

सूत्र

बंटन नियम

a(b + c) = ab + ac

द्विपद का वर्ग

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

समान पदों को मिलाना

px^k + qx^k = (p + q)x^k

उभयनिष्ठ गुणनखंड काटना

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

हल सहित उदाहरण: 3(x + 2) − 2(x − 1)

उदाहरण $3(x + 2) - 2(x - 1)$ को सरल करता है। इंजन हर गुणांक का बंटन करता है और ध्यान रखता है कि $-2$ दूसरे कोष्ठक के दोनों पदों से गुणा हो, जिससे $-1$ बदलकर $+2$ हो जाता है।

इससे $3x + 6 - 2x + 2$ मिलता है। $x$ वाले पदों और अचरों को अलग-अलग इकट्ठा करने पर $x + 8$ बचता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

x + 8

हमने आपका सवाल कैसे समझा

x में बहुपद व्यंजक को सरल करें।

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

स्टेप-बाय-स्टेप हल

व्यंजक पढ़ें
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
बँटन करें (हर गुणनफल का विस्तार करें)
एक गुणनखंड का हर पद दूसरे के हर पद से गुणा होता है: a(b + c) = ab + ac।
विस्तार के बाद परिणाम
$3x + 6 - 2x + 2$
समान पदों को मिलाएँ
x: 3 − 2 = 1; अचर: 6 + 2 = 8। समान पदों में चर और घातांक एक जैसे होते हैं, इसलिए केवल उनके गुणांक जोड़े जाते हैं।
परिणाम को मानक रूप में लिखें
पदों को कुल घात के घटते क्रम में रखा गया है।
$x + 8$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

बंटन गुण
$a(b + c) = ab + ac$
योग का वर्ग
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
समान पद
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

विस्तार करके और समान पदों को मिलाकर व्यंजक x + 8 बनता है, जो घात 1 का बहुपद है और जिसमें 2 पद हैं।

जाँच

x = 0.73 पर झटपट जाँच: मूल 8.73, सरलीकृत 8.73 ✓

पूरी व्याख्या

समान पद

समान पदों में ठीक वही चर ठीक उन्हीं घातों पर होते हैं; केवल उनके संख्यात्मक गुणांक अलग हो सकते हैं। इसलिए $5x^2y$ और $-2x^2y$ समान पद हैं और मिलकर $3x^2y$ बनते हैं, लेकिन $x^2y$ और $xy^2$ समान पद नहीं हैं और अलग ही रहने चाहिए।

कैलकुलेटर हर पद को घातांकों की एक सूची से जुड़े गुणांक के रूप में रखता है। तब दो व्यंजकों को जोड़ने का अर्थ है एक ही सूची वाले गुणांकों को जोड़ना, और समान पदों को मिलाने का यही अर्थ है। गुणांक सटीक भिन्न होते हैं, इसलिए $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ जैसे परिणाम सटीक आते हैं।

मिलाने से पहले विस्तार

कोष्ठक समान पदों को छिपा लेते हैं। $(a + b)^2 - (a - b)^2$ में तब तक कुछ नहीं मिलाया जा सकता जब तक दोनों वर्गों का विस्तार न हो: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ । फिर $a^2$ और $b^2$ वाले पद कट जाते हैं और $4ab$ बचता है। कैलकुलेटर हमेशा पहले हर गुणनफल और घात का विस्तार करता है, फिर पदों को इकट्ठा करता है।

किसी कोष्ठक को घटाना गलतियों का आम स्रोत है। ऋण चिह्न भीतर के हर पद पर लागू होता है, इसलिए $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ ।

परिमेय व्यंजक

बहुपदों की भिन्न को सरल करने के लिए अंश और हर के पूरे गुणनखंड करें और जो गुणनखंड दोनों में हों उन्हें काटें। $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ में उभयनिष्ठ गुणनखंड $x + 3$ कट जाता है और $\frac{x - 3}{x}$ मिलता है, जहाँ $x \ne 0$ और $x \ne -3$ ।

केवल गुणनखंड काटे जा सकते हैं, अलग-अलग पद कभी नहीं। $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ में $x^2$ को काटना गलत होगा, क्योंकि $x^2$ एक योग का पद है, पूरे अंश का गुणनखंड नहीं।

संख्यात्मक व्यंजक और संक्रियाओं का क्रम

जब व्यंजक में केवल संख्याएँ हों, तो सरल करने का अर्थ है उसका सटीक मान निकालना। कैलकुलेटर सामान्य क्रम मानता है: पहले कोष्ठक, फिर घातें, फिर बाएँ से दाएँ गुणा और भाग, फिर बाएँ से दाएँ जोड़ और घटाव। भिन्न पूरे समय भिन्न ही रहती हैं, इसलिए $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ पूर्णांकित दशमलव के बजाय $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ बनता है।

सटीक अंकगणित इसलिए ज़रूरी है कि जल्दी पूर्णांकन करने से बाद का परिणाम बदल सकता है। अगर व्यावहारिक उत्तर के लिए दशमलव चाहिए, तो अंतिम सटीक मान को एक ही बार, बिल्कुल अंत में बदलें।

आम गलतियाँ

ऋण चिह्न का बंटन कोष्ठक के केवल पहले पद पर करना।
$(a + b)^2$ को $a^2 + b^2$ लिखना और बीच का पद $2ab$ भूल जाना।
असमान पदों को मिलाना, जैसे $x^2$ और $x$ को जोड़कर $2x^3$ पाना।
भिन्न में गुणनखंडों के बजाय पदों को काटना।
गुणनखंड काटने के बाद अपवर्जित मानों को छोड़ देना।

सुझाव

बंटन से पहले किसी कोष्ठक के घटाव को कोष्ठक के $-1$ गुना को जोड़ने के रूप में लिखें।
इकट्ठा करने से पहले समान पदों को एक ही रंग से रेखांकित करें।
सरलीकरण की जाँच के लिए दोनों रूपों में $x = 2$ जैसा कोई आसान मान रखें।
परिमेय व्यंजक में कुछ भी काटने से पहले पूरे गुणनखंड करें।
परिणाम को घटती घातों में लिखें, ताकि दूसरे उत्तरों से तुलना आसान रहे।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

समान पद क्या होते हैं?

वे पद जिनमें वही चर उन्हीं घातों पर हों, जैसे 4xy और ऋण 7xy। केवल उनके गुणांक अलग होते हैं, इसलिए उन्हें जोड़कर एक पद बनाया जा सकता है।

क्या सरल करने से व्यंजक का मान बदलता है?

नहीं। सरलीकृत व्यंजक हर अनुमत इनपुट पर मूल व्यंजक के तुल्य होता है। अंतर बस इतना है कि काटे गए गुणनखंडों से अपवर्जित मान बनते हैं, जिन्हें बताना ज़रूरी है।

क्या कैलकुलेटर कई चरों वाले व्यंजक सरल कर सकता है?

हाँ, कितने भी चरों वाले बहुपद व्यंजकों का विस्तार करके उनके समान पद मिलाए जाते हैं। परिमेय व्यंजक एक चर में सरल किए जाते हैं।

मेरी सरलीकृत भिन्न पर प्रतिबंध क्यों हैं?

जब कोई गुणनखंड अंश और हर दोनों से काटा जाता है, तो जहाँ वह गुणनखंड शून्य है वहाँ मूल व्यंजक अपरिभाषित था। तुल्य बने रहने के लिए सरलीकृत रूप में भी यह प्रतिबंध रहना चाहिए।

क्या सरल करना और हल करना एक ही बात है?

नहीं। सरल करना किसी व्यंजक को दूसरे रूप में लिखता है; हल करना वे मान ढूँढता है जिन पर समीकरण सत्य होता है। पहले दोनों पक्ष सरल करें, फिर हल चाहिए तो समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर इस्तेमाल करें।

बहुपद का मानक रूप क्या है?

सभी कोष्ठक खुले हों, घातों के हर संयोजन के लिए एक पद हो, और पद सबसे ऊँची घात से सबसे नीची घात तक लिखे हों, अचर सबसे अंत में।

क्या मैं संख्यात्मक व्यंजक भी सरल कर सकता हूँ?

हाँ। 3/4 + 5/6 गुणा 2 जैसे व्यंजकों का मान संक्रियाओं के क्रम से सटीक निकाला जाता है और सरलतम रूप में लाया जाता है।

अपना व्यंजक सरल करें

ऊपर कोई भी बहुपद, संख्यात्मक या परिमेय व्यंजक लिखें और हर बंटन और मिलान के साथ उसका सबसे सरल सटीक रूप देखें।

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व्यंजक सरलीकरण कैलकुलेटर