गणित की लापरवाही वाली गलतियों से कैसे बचें

लापरवाही वाली गलतियाँ अनुमानित होती हैं

विद्यार्थी अक्सर कटे अंक को बस एक बेवकूफ़ी भरी गलती कहते हैं, मानो वह दुर्भाग्य हो। व्यवहार में लापरवाही की गलतियाँ पैटर्न पर चलती हैं। एक ही विद्यार्थी बार-बार एक ही तरह की चूक करता है: ऋण चिह्न छोड़ देना, कोष्ठक खोलना भूल जाना, एक पंक्ति से अगली में कोई संख्या गलत उतारना, या पूछे गए प्रश्न के बजाय किसी दूसरे प्रश्न का उत्तर देना। क्योंकि ये गलतियाँ अनुमानित हैं, इसलिए इन्हें रोका भी जा सकता है।

पहला कदम है इन्हें लापरवाही कहना बंद करना और इनका वर्गीकरण शुरू करना। गृहकार्य और परीक्षाओं की हर गलती की एक छोटी सूची रखें, एक शब्द की श्रेणी के साथ। दो-तीन सप्ताह बाद आप आमतौर पर पाएँगे कि दो-तीन श्रेणियाँ ही आपके ज़्यादातर कटे अंकों की ज़िम्मेदार हैं, और सबसे पहले उन्हीं पर काम करना चाहिए। एक बार-बार होने वाली श्रेणी को ठीक करना हर जगह अस्पष्ट रूप से अधिक सावधान रहने की कोशिश से कहीं अधिक मूल्यवान है। इस मार्गदर्शिका का बाकी हिस्सा सबसे आम श्रेणियों और हर एक के लिए एक विशिष्ट आदत को समझाता है।

चिह्न की गलतियाँ

ऋण चिह्न किसी भी दूसरी अकेली चूक से अधिक अंक कटवाते हैं। सबसे ख़तरनाक जगह है किसी कोष्ठक को घटाना, जहाँ ऋण चिह्न अंदर के हर पद पर लागू होना चाहिए:

एक आम गलत उत्तर $3x - 3$ है, जो केवल पहला चिह्न बदलने से आता है। एक और जाल ऋणात्मक संख्याओं का वर्ग करना है: $(-3)^2 = 9$, लेकिन $-3^2 = -9$, क्योंकि घातांक ऋण चिह्न से पहले लागू होता है। कैलकुलेटर भी यही नियम मानते हैं, इसलिए बिना कोष्ठक के $-3^2$ टाइप करने पर $-9$ मिलता है।

• सरल करने से पहले कोष्ठक के घटाव को उसके ऋणात्मक के जोड़ के रूप में फिर से लिखें।
• किसी सूत्र में रखी जाने वाली हर ऋणात्मक संख्या के चारों ओर कोष्ठक लगाएँ, उदाहरण के लिए $x = -4$ के साथ $x^2$ बन जाता है $(-4)^2 = 16$.
• प्रश्न में ऋण चिह्नों पर गोला बना दें ताकि वे दिखते रहें।

कोष्ठक खोलने और घातांक की चूकें

बीजगणित के कुछ नियम इतने स्वाभाविक लगते हैं कि विद्यार्थी उन्हें वहाँ भी लगा देते हैं जहाँ वे लागू नहीं होते। इन झूठे नियमों को चेतावनी के रूप में याद रखना सार्थक है:

• $(a + b)^2$ बराबर $a^2 + b^2$ नहीं है। यह $a^2 + 2ab + b^2$ है।
• $\sqrt{a + b}$ बराबर $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ नहीं है। उदाहरण के लिए, $\sqrt{9 + 16} = 5$, न कि $3 + 4 = 7$.
• $\frac{a + b}{a}$ बराबर $b$ नहीं है। आप केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड काट सकते हैं, पद नहीं: $\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$.
• $2(x + 3)$ बराबर $2x + 6$ है, न कि $2x + 3$. कोष्ठक के अंदर के हर पद को गुणा करें।
• $x^2 \cdot x^3 = x^5$, न कि $x^6$. एक ही आधार की घातों को गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं।

जब आपको किसी नियम के सही होने पर संदेह हो, तो उसे छोटी संख्याओं से परखें। झूठा नियम आमतौर पर तुरंत विफल हो जाता है, जैसा $(1 + 2)^2 = 9$ की $1^2 + 2^2 = 5$ से तुलना दिखाती है।

उतारने और अंकगणित की गलतियाँ

कई गलत उत्तर सही विधियों को गलत संख्याओं पर लगाने से आते हैं। एक पंक्ति से अगली के बीच 6 बन जाता है 0, धन चिह्न ऋण बन जाता है, या कोई घातांक गायब हो जाता है। $7 \times 8 = 54$ जैसी अंकगणित की गलतियाँ भी ऐसी ही हैं: विद्यार्थी को तरीका आता है, लेकिन समय के दबाव में चूक हो जाती है।

• साफ़ लिखें और जगह छोड़ें। ठुँसे हुए काम में ही अंक गलत पढ़े जाते हैं।
• हर पंक्ति में एक ही बदलाव करें। तीन चरण एक साथ मिलाने से गलतियाँ अधिक होती हैं और उन्हें ढूँढना कठिन होता है।
• बराबर के चिह्नों को एक के नीचे एक रखें, ताकि हर पंक्ति की तुलना ऊपर वाली से हो सके।
• गणना से पहले अनुमान लगाएँ। अगर आप लगभग 50 के उत्तर की अपेक्षा करते हैं और 5,000 मिलता है, तो कुछ गलत हुआ है।
• व्यावहारिक प्रश्नों में संख्याओं के साथ इकाइयाँ लिखें, जिससे मिनट और घंटे जैसी असंगतियाँ पकड़ में आती हैं।

प्रश्न को गलत पढ़ना

गलत प्रश्न का पूरी तरह सही गणना वाला उत्तर भी शून्य अंक पाता है। आम जालों में शामिल हैं: प्रश्न $2x + 1$ पूछे तब $x$ के लिए हल करना, क्षेत्रफल पूछे तब लंबाई देना, दशमलव के गलत स्थानों तक पूर्णांकित करना, और केवल धनात्मक मान जैसी किसी शर्त को भूल जाना।

शाब्दिक प्रश्नों पर अतिरिक्त ध्यान देना चाहिए। गणना से पहले एक पंक्ति की योजना लिखें: अज्ञात क्या है, कौन-सा समीकरण उसे दिए गए तथ्यों से जोड़ता है, और अंतिम उत्तर किस रूप में होना चाहिए। इस पर अधिक जानकारी के लिए हमारी अपने गणित के उत्तर जाँचने की मार्गदर्शिका देखें।

समीकरण हल करने के जाल

समीकरण हल करने की दो गलतियाँ हल खो देती हैं या झूठे हल बना देती हैं। दोनों पक्षों को ऐसे व्यंजक से भाग देना जो शून्य हो सकता है, कोई हल मिटा सकता है। उदाहरण के लिए, $x^2 = 5x$ में $x$ से भाग देने पर केवल $x = 5$ मिलता है, लेकिन गुणनखंड $x(x - 5) = 0$ दिखाता है कि $x = 0$ भी हल है। उल्टी दिशा में, दोनों पक्षों का वर्ग करने से बाह्य हल आ सकते हैं, इसलिए वर्ग करने के बाद मिले हर उत्तर को मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचना चाहिए।

असमिकाओं का अपना जाल है: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है। $-2x < 6$ हल करने पर $x > -3$ मिलता है, न कि $x < -3$. अपने उत्तर-क्षेत्र का एक मान, जैसे $x = 0$, जाँचने से गलती पकड़ में आती है: $-2(0) = 0 < 6$ सत्य है, जो $x > -3$ से संगत है।

आदतें जो अंक कटने से पहले गलतियाँ पकड़ लेती हैं

1. जब भी संभव हो, अपना उत्तर मूल समीकरण में वापस रखें।
2. पूछें कि क्या उत्तर उचित है: ऋणात्मक लंबाई, 1 से अधिक प्रायिकता या 3,000 किमी प्रति घंटा की चाल, ये सब गलती के संकेत हैं।
3. हर उस पंक्ति में चिह्न और कोष्ठक जाँचें जहाँ आपने घटाया या कोष्ठक खोला।
4. परीक्षा के अंत में जाँच के लिए समय छोड़ें, कुल समय का लगभग पाँच से दस प्रतिशत।
5. गृहकार्य पूरा करने के बाद सरलीकरण कैलकुलेटर या x के लिए हल कैलकुलेटर जैसे चरण-दर-चरण उपकरण का उपयोग करें, और उसके चरणों की अपने चरणों से पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें।

थकान और जल्दबाज़ी हर श्रेणी को बदतर बनाती है। परीक्षा में सधी हुई गति और नियमित, छोटे अध्ययन सत्र, जैसा गणित कैसे पढ़ें में बताया गया है, लापरवाही की गलतियों को उतना ही कम करते हैं जितना कोई भी जाँच-तकनीक।

कैलकुलेटर की गलतियाँ

कैलकुलेटर अंकगणित की चूकें हटाते हैं, लेकिन अपनी चूकें ले आते हैं। सबसे प्रसिद्ध है कोण का मोड: $\sin 30^\circ = 0.5$, लेकिन रेडियन मोड में छोड़ा गया कैलकुलेटर $\sin 30 \approx -0.988$ लौटाता है। संक्रियाओं का क्रम दूसरा जाल है। 1 ÷ 2x टाइप करने को मॉडल के अनुसार $\frac{1}{2} \cdot x$ या $\frac{1}{2x}$ पढ़ा जा सकता है, इसलिए कोष्ठकों का खुलकर उपयोग करें, जैसे 1 ÷ (2x). $6 + 4 / 2$ के रूप में डाली गई भिन्न 8 देती है, 5 नहीं; जब पूरे अंश से मतलब हो, तो $(6 + 4) / 2$ टाइप करें। अंत में, बीच के परिणामों को पूर्णांकित करने से बचें। कैलकुलेटर की मेमोरी में पूरी परिशुद्धता रखें और केवल अंतिम उत्तर को माँगी गई परिशुद्धता तक पूर्णांकित करें, वरना पूर्णांकन की छोटी त्रुटियाँ आपके परिणाम को स्वीकार्य सीमा से बाहर कर सकती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल